Е.К.Волосова Точное решение уравнения Блэка

ОБОЗРЕНИЕ
ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ
Т о м 19
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 3
2012
Е. К. В о л о с о в а
(Москва, МГУПС). Точное решение уравнения
Блэка–Шоулса с переменной процентной ставкой.
Различные попытки модификации формулы Блэка–Шоулса (Б–Ш) предпринимались неоднократно [1, 2]. Рассмотрим некоторое платежное обязательство (европейский опцион на покупку), контрактная функция которого V (s1 , s2 , t) зависит от цен
s1 , s2 на два разных актива, и предположим, что рынок безарбитражен. Экономические броуновские движения соответствуют параметрам диффузии (средние дисперсии,
волатильности), обозначим их σ1 , σ2 . Стоимость самофинансируемого портфеля Π(t)
в момент времени t имеет вид Π(t) = V −δ1 s1 −δ2 s2 . Предположим, что цены активов,
лежащих в основе опционного контракта, испытывают логарифмические блуждания
dsj = μ1 sj dt + σj sj dW , j = 1, 2 . Здесь μj — положительные коэффициенты сноса,
W = Wt — процесс броуновского движения. Изменение стоимости всего портфеля записывается как dΠ = dV − δ1 ds1 − δ2 ds2 , а невозможность арбитража приводит к
условию dΠ = r(t)Π dt = r(t)(V − δ1 s1 − δ2 s2 ) dt , где r = r(t) — мгновенная процентная ставка. Далее используем формулу Ито для изменения стоимости всего портфеля
[1, 2] и после последующих стандартных преобразований получим уравнение для определения цены финансового инструмента
1
1
(σ1 s1 )2 Vs001 s1 + (σ2 s2 )2 Vs002 s2 + σ1 σ2 s1 s2 Vs001 s2 + rs1 Vs01
2
2 σ2
σ2
σ2
σ2
Vs02 + δ2 s2 μ1
+ s2 μ2 − μ1
+r
− μ2 − r
+ r − r(t)V = 0.
σ1
σ1
σ1
σ1
Vt0 +
(1)
Данное уравнение имеет точное решение смешанной задачи, используя которое
строится модифицированная формула Б–Ш.
Теорема. Пусть дано уравнение (1) с начальными и краевыми условиями
V (s1 , s2 , T ) = max {s1 − X, 0},
V (0, s2 , t) = g(s2 ),
X = const > 0,
V (s1 , 0, t) = p(s1 , t).
Тогда точное решение смешанной задачи для уравнения (1) (анзац) имеет вид
Z
V (s1 , s2 , t) = W (y1 , y2 , τ )Ca exp − r(T − τ ) dτ + s2 Φ(τ ),
где введены обозначения t = T − τ, sj = eχj /αj , j = 1, 2, y1 = C1 χ1 + C2 χ2 ,
y2 = C3 χ1 +C4 χ2 , Ca = const, Ck = const, k = 1, 2, 3, 4, и справедливы соотношения
между константами
C3 = −C4
σ2 α 2
,
σ1 α 1
C1 =
1 − C2 σ2 α2
,
σ1 α 1
c Редакция журнала «ОПиПМ», 2012 г.
μ2 =
2μ1 σ2 − σ12 σ2 + σ22 σ1
.
2σ1
2
XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике
Функция Φ(τ ) имеет вид
Φ(τ ) = δ2 + Ca exp
σ2 − σ 1
2σ1
Z
(σ1 σ2 + 2r(T − τ )) dτ ,
(2)
R
функция Q(y1 , y2 , τ ) = U (y3 , y2 , τ ), где y3 = y1 + B(τ ), B(τ ) = (2σ1 )−1 (−σ12 +
2r(T − τ )) dτ, удовлетворяет линейному параболическому уравнению теплопроводности (диффузии)
1
Uτ0 (y3 , y2 , τ ) − Uy003 y3 = 0.
(3)
2
Схема д о к а з а т е л ь с т в а. После подстановки анзаца (заготовки) в уравнение (1) и после замен переменных получим ОДУ
2σ1 Φ0 (τ ) + (σ1 − σ2 )(σ1 σ2 + 2r(T − τ ))Φ(τ ) + δ2 (σ1 − σ2 )(σ1 σ2 + 2r(T − τ )) = 0,
решение которого дается формулой (2). Переменную y2 в данной задаче можно считать параметром, так как в линейном параболическом уравнении нет производной по
ней. Существует симметричный вариант формул, когда параметром может стать переменная y1 . Подставляем начальное условие и краевое условие в формулу [4] для
первой краевой задачи для уравнения (3):
Z
(y3 + y0 )2
M (y2 ) ∞
(y3 − y0 )2
− exp −
dy0
u(y0 ) exp −
U (y3 , y2 , τ, y0 ) = √
2τ
2τ
2πτ 0
Z τ
pe(y3 , T − θ)
M (y2 )y3
y32
dθ + M1 (y2 ).
+ √
exp −
3/2
2(τ − θ)
(τ − θ)
2π
0
Здесь функции M (y2 ), M1 (y2 ) связаны с заданным краевым условием сделанными выше заменами. За счет выбора вида краевого условия можно добиться того, чтобы решение представляло собой «контрастную» структуру. Имеется в виду, что возможен
такой характер гиперплоскости, описывающей решение, который напоминает ступеньку в трехмерном пространстве. В классической формуле Б–Ш слагаемое, связанное с
краевым условием, не учитывалось. В тексте выше сделано важное замечание, дающее ключ к пониманию того, как получить функцию, описывающую граничное условие. Полагая, что имеем один актив, по классическим формулам Б–Ш вычислим цену
опциона. Функцию, которая аппроксимирует этот переход старой цены на новую, и
можно принять за краевое условие для задачи с двумя активами. Все формулы верны
и легко упрощаются в случае постоянной процентной ставки.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мартынов М. А. О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с
активами, зависящими от одинакового случайного фактора. — Вестник Московского гос. ун-та, 2010, с. 18–24.
2. Bjork T. Arbitrage Theory in Continuous Time. Oxford: Oxford Univ. Press, 2003.
3. Волосов К. А., Вдовина Е. К., Синицын С. О. Неподвижные точки стохастических
полумаятников и точные решения уравнения Колмогорова–Фоккера–Планка. М.:
МИИТ, 2011, 158 с.
4. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964, 488 с.