Решение задания С1 на ЕГЭ по математике. Иррациональные

2 блок.
Иррациональные уравнения.
Самая распространенная ошибка при решении иррациональных уравнений – переход к
уравнению-следствию без последующей проверки получившихся корней.
К появлению посторонних корней может приводить использование различных тождеств,
поскольку левые и правые части тождеств могут иметь различные области определения. Проверку
следует производить с помощью подстановки именно в данное уравнение, а не в то, которое
получилось в результате каких-либо преобразований данного.
𝟑
𝟑
1. √𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟖 = √𝟐𝒙 − 𝟏.
Решение данного уравнения сводится к возведению обеих частей уравнения в третью степень.
При этом подкоренные выражения могут быть и отрицательными, т.к. показатель корня – число
нечетное.
𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟖 = 𝟐𝒙 − 𝟏
Т.е. получаем:
𝒙𝟏 = 𝟏,
𝒙𝟐 = −𝟕
Ответ: 1; −7
𝟔
𝟔
2. √𝒙𝟐 − 𝟐 = √𝒙.
Приступая к решению уравнения необходимо обратить внимание на то, что показатель корня –
число четное. Значит, подкоренное выражение должно быть положительным.
2
{𝑥 − 2 = 𝑥,
𝑥 ≥ 0.
𝑥 = −1,
[
{ 𝑥 = 2,
𝑥 ≥ 0.
𝑥 = 2.
Ответ: 2.
3. √𝟒 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 = 𝒙 − 𝟐.
Уравнение равносильно системе
2
2
{4 + 2𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 4𝑥 + 4,
𝑥 ≥ 2.
Уравнение системы приводится к виду 2𝑥(𝑥 − 3) = 0, откуда 𝑥 = 0 (этот корень не
удовлетворяет неравенству 𝒙 ≥ 𝟐), либо 𝑥 = 3.
Ответ: 3.
4. √𝒙 + 𝟐 + √𝒙 − 𝟏 = 𝟑.
{
𝑥 + 2 + 2√𝑥 + 2 ∙ √𝑥 − 1 + 𝑥 − 1 = 9,
𝑥 + 2 ≥ 0,
𝑥−1 ≥0
(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) = (4 − 𝑥)2 ,
{
𝑥 ≥ 1,
𝑥≤4
Ответ: 2.


{
{√𝑥 + 2 ∙ √𝑥 − 1 = 4 − 𝑥, 
𝑥≥1
x − 2 = 16 − 8x,
1≤x≤4

{
x = 2,
1 ≤ x ≤ 4.
5. (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎)√𝒙 + 𝟒 = 𝟎.
{
[
𝑥 2 + 3𝑥 − 10 = 0,
𝑥 + 4 ≥ 0,
𝑥+4=0
Ответ: −4;
[{

𝑥 = −5,
𝑥 = 2,
𝑥 + 4 ≥ 0,
𝑥 = −4
[
𝑥 = 2,
[
𝑥 = −4.

2.
6. (𝒙 − 𝟑)√𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 − 𝟔
Данное уравнение можно преобразовать: в правой части вынести 2 за скобки, перенести
выражение в левую часть и вынести общий множитель (𝑥 − 3) за скобки:
(𝑥 − 3) ∙ (√𝑥 2 − 5𝑥 + 4 − 2) = 0,
𝑥 = 3,
откуда { 2
– эта система не имеет решений
𝑥 − 5𝑥 + 4 ≥ 0
или √𝑥 2 − 5𝑥 + 4 − 2 = 0,
𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 4.
√𝑥 2 − 5𝑥 + 4 = 2,
Корнями последнего уравнения являются числа 0 и 5.
Ответ: 0; 5
7. √
𝟑−𝒙
𝒙−𝟏
+ 𝟑√
𝒙−𝟏
𝟑−𝒙
= 𝟒.
3−𝑥
Пусть 𝑢 = √
3
. Тогда {
𝑥−1
𝑢 + 𝑢 = 4,
𝑢>0
√
Сделаем обратную замену
3−𝑥
𝑥−1
3−𝑥
[
√
𝑥−1

𝑢 = 1,
[
{ 𝑢 = 3,
𝑢 > 0.
= 1,

[
=3
𝑥 = 2,
3
𝑥 = 2.
Ответ: 2; 1,5
З а д а н и я
д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о
р е ш е н и я
1) √𝟓𝒙 + 𝟒 = −𝒙 − 𝟐
2) √𝟐𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟒 = 𝒙 + 𝟐
3) √𝟒𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟑 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
6)
√𝟑𝒙−𝟐−𝟐𝒙+𝟏
𝟐𝟓𝟔𝒙𝟒 −𝟒𝟎𝒙−𝟓𝟏
=𝟎
7) √𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟖 = √𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖
8) √𝒙 + 𝟒 − 𝟒√𝒙 − √𝒙 + 𝟐𝟓 − 𝟏𝟎√𝒙 = 𝟏
𝟑
4) √𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 = −𝟐
𝟔
𝟑
9) 𝟑 √𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟖 = 𝟒 √𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟖 − 𝟏
5) (𝟑𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟐)√𝟑 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 = 𝟎