1) Если исходное уравнение можно разрешить относительно

I.
Основные типы дифференциальных уравнений и методы их
решения.
Уравнения, разрешенные относительно производной
Определение. Дифференциальное уравнение вида:
y  f ( x, y ) , (1 )называется
дифференциальным уравнением, разрешенном относительно производной.
Определение. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
y   ( x, C ) , где C - произвольная постоянная. Выбирая частное значение C , мы
получаем частное решение.
Определение. Областью задания уравнения (1) будем называть область задания
функции
f ( x, y ) .
Определение Областью определения уравнения (1) будем называть объединение
1
.
f ( x, y )
областей задания функции f ( x, y ) . и функции
Определение. Дифференциальное уравнение (1) с дополнительным условием
y( x0 )  y0
(2)
называется задачей Коши или начальной задачей, условие (2)
называется начальным условием или условием Коши.
Теорема существования и единственности. Пусть в некотором прямоугольнике
R   x  x0  a; y  y0  b
переменных x и
функция
f ( x, y )
непрерывна по совокупности
y удовлетворяет условию Липшица
f ( x, y )  f ( x, y )  k y  y ,
где  x, y  ;  x, y   R - произвольные точки из прямоугольника R , k - константа
Липшица. Тогда на сегменте
 b
x  x0  H, где H  min a,  , M  sup f ( x, y )
 M
R
существует и единственно решение задачи Коши (1)-(2).
Замечание.
Если
выполнены
все
единственности, кроме условия
условия
теоремы
существования
Липщица, то решение задачи
и
(1)-(2)
существует, но вообще говоря, может быть не единственным.
Определение.
Если
 x0 , y0   R проходит неединственная
через точку
интегральная кривая (нарушены условия единственности решения) или не
проходит ни одной интегральной кривой (нарушены условия существования
1
решения), то такая точка называется особой. Линии, состоящие из особых
точек, называются особыми линиями.
1) Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид:
1 ( x)1 ( y)dx  2 ( x) 2 ( y)dy .
Эти уравнения приводятся к виду уравнений с разделенными переменными:
1 ( x )
 ( y)
dx  2
dy . Проинтегрировав соотношение, получаем общее решение
2 ( x)
1( y)
дифференциального
уравнения
(ДУ):
1 ( x )
 2 ( y)
  ( x) dx  C    ( y ) dy ,
2
здесь
C-
1
произвольная постоянная.
2) Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными:
dy
 f (ax  b) ,
dx
где a, b – константы. Сделав замену переменных z  ax  by , получаем ДУ с
разделяющимися переменными:
dz
 a  bf ( z ) .
dx
3) Однородные дифференциальные уравнения:
dy
y
 f( )
dx
x
Замена переменных z 
y
dz
приводит уравнение к виду: x  z  f ( z ) .
x
dx
4) Уравнения, приводящиеся к однородным ДУ:
dy
a x  b1 y  c1
 f( 1
).
dx
a2 x  b2 y  c2
Замена переменных: перенос начала координат в точку пересечения прямых
a1x  b1 y  c1  0 и a2 x  b2 y  c2  0 , - ( x0 , y0 ) . Новые переменные - x  x  x0 , y  y  y0 .
y

a

b
1
1

dy
x
 f
После замены переменных уравнение примет вид:
y
dx
 a2  b2
x



.


Если прямые a1x  b1 y  c1  0 и a2 x  b2 y  c2  0 параллельны, то ДУ приводится к
уравнению типа 2.
5) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка:
2
dy
 p( x ) y  f ( x) .
dx
Уравнения такого типа решаются методом вариации постоянной:
1. Решение однородного линейного ДУ первого порядка:
решение однородного ДУ имеет вид
dy
 p ( x ) y  0 . Общее
dx
y ( x )  C exp(   p( x )dx ) ,
где C –
произвольная постоянная.
2. Полагаем в решении однородного линейного ДУ первого порядка C  C ( x ) функцией переменной x и определяем эту функцию таким образом, чтобы
решение
y ( x )  C ( x ) exp(   p( x )dx )
было решением неоднородного ДУ.
Подставляя решение в исходное неоднородное ДУ, получаем уравнение для
определения функции
C ( x) :
dC ( x )
 f ( x ) exp(  p( x )dx ) .
dx
Общее решение
неоднородного ДУ имеет вид: y ( x)    f ( x) exp(  p( x)dx)  C  exp(   p( x)dx) , где
C - произвольная постоянная.
6) Уравнение Бернулли:
dy
 p( x ) y  f ( x ) y n , n  1 .
dx
Замена переменных z  y1n приводит уравнение Бернулли к виду линейного
уравнения первого порядка.
7) Уравнение Риккати:
dy
 p ( x ) y  q( x ) y 2  f ( x ) .
dx
Уравнения этого типа в общем виде не интегрируются, но если известно хотя
бы одно частное решение
уравнения, то заменой y( x)  y1( x)  z( x) ( y1 ( x) -
частное решение, z ( x ) - новая неизвестная функция), уравнение Риккати
приводится к виду уравнения Бернулли.
8) Уравнения в полных дифференциалах:
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 ,
3
где
M N
, тогда уравнение представляет собой полный дифференциал

y
x
некоторой функции
U ( x, y ) :
dU ( x, y )  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy .
Решение этого
уравнения имеет вид U ( x, y ( x ))  C , где C – произвольная постоянная. Будем
искать решение ДУ в полных дифференциалах в виде U ( x, y )   M ( x, y )dx  C ( y ) .
Тогда
U

dC ( y )
   M ( x, y )dx  
 N ( x, y ) .


y y
dy
Из
последнего
соотношения
определяется вид функции C ( y ) .
Уравнения, не разрешенные относительно производной
Определение. Уравнения вида: F ( x, y, y )  0 ,
(3)
называются уравнениями,
не разрешенные относительно производной. В уравнении (3) функция y( x)
обычно обозначается параметром p : p( x)  p  y( x) . Так как функция F ( x, y, p) в
общем случае нелинейна по параметру p , то уравнение (3) при определенных
условиях эквивалентно некоторому множеству (возможно бесконечному)
y  fi ( x, y), i  1, 2,...
уравнений вида:
(4)
Достаточные условия приведения уравнения (3) к виду (4) сформулированы в
теореме.
Теорема
существования
и
единственности.
Пусть
в
некотором
параллелепипеде с центром в точке  x0 , y0 , p0  функция F ( x, y, p) непрерывна по
совокупности переменных вместе с частными производными
F
 x0 , y0 , p0   0
p
F F
, причем
,
y p
(5)
Тогда на некотором сегменте
x  x0  H существует единственное решение
уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (2), производная
которого y( x0 )  p0 .
Замечание. Тройка  x0 , y0 , p0  удовлетворяет уравнению (3).
4
Если уравнение (3) можно разрешить относительно параметра p , т.е. привести
к виду (4), то его решение ищется как для уравнения, разрешенного
относительно производной.
В случае, когда уравнение (3) не приводимо к виду (4), можно воспользоваться
методом введения параметра. Рассмотрим уравнение F ( x, y, p)  0 , как
уравнение поверхности в трехмерном пространстве ( x, y, p) .
Сделаем замену переменных: x   (u, v), y  (u, v), p   (u, v) . Тогда так как
dy  y dx ,


 
 
du 
dv   (u, v ) 
du 
dv .
u
v
v 
 u
то
dv
,
du
соотношения
получаем
уравнение,
Выражая
из
разрешенное
последнего
относительно
производной. Особый интерес представляют два частных случая уравнений,
неразрешенных относительно производной [2].
1) Если исходное уравнение можно разрешить относительно y : y  f ( x, y) , то
f
f
считая параметрами x и p  y  , получаем y  f ( x, p), dy  dx  dp . Подставляя
x
p
это соотношение в исходное уравнение, получаем уравнение, разрешенное
относительно производной:
p
f f dp
. Наиболее известные уравнения

x p dx
такого типа – это уравнения Клеро и Лагранжа.
Уравнение Лагранжа: y  x ( y )   ( y ) .
Уравнение Клеро: y  xy   ( y) .
2) Если исходное уравнение можно разрешить относительно x : x  f ( y, y) , то
выбрав в качестве параметров y и p  y  , получим дифференциальное
уравнение:
1 f f dp
.


p y p dy
Определение. Множество точек в пространстве ( x, y, p) , в которых нарушается
условие (5) теоремы существования и единственности задается уравнениями:
F ( x, y , p )  0 ,
Кривая,
F
 x, y , p   0
p
(6)
определяемая условиями (6) называется дискриминантной кривой.
Этой кривой принадлежат все особые точки уравнения
5
(3).. Кривая,
описываемая уравнениями (6)
множество точек, определяющая особое
-
решение уравнения (3).
II.
Системы линейных дифференциальных уравнений.
Однородные
системы
линейных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений (ОСДУ)
dY
 AY ,
dx
(1)
где A – матрица с постоянными коэффициентами ( n  n ) , Y – неизвестная
вектор-функция ( n ) . Общее решение системы имеет вид: Y ( x )  exp( Ax )C , где Cвектор произвольных постоянных [1].
Согласно теореме о приведении матрицы к квазидиагональному виду[3],
матрица A может быть представлена в виде: A  SJS 1 , где J – Жорданова форма
матрицы A, S – матрица, составленная из собственных и присоединенных
векторов матрицы A. Тогда систему (1) можно записать
d ( S 1Y )
 JS 1Y . Сделаем замену переменных
dx
покомпонентно
для
случая,
когда
размерности ( n  n ) :
dz1
  z1  z2 ;
dx
dz2
  z 2  z3 ;
dx
.... ....
dzn 1
  zn 1  zn ;
dx
dzn
  zn .
dx
6
J
–
Z  S 1Y
одна
dY
 SJS 1Y
dx
или
и запишем ОСДУ
Жорданова
клетка
Решая эту систему, получим: zn ( x)  Cn exp( x) , zn1 ( x)  (Cn x  Cn1 ) exp( x) , ...,
z1 ( x )  (Cn x n 1  Cn 1 x n 2 
 C1 ) exp(  x ) .
Тогда
общее
решение
ОЛСДУ:
Y ( x )  SZ ( x ) .
Если все собственные значения матрицы A действительны и различны, то
n
общее решение ОЛСДУ Y ( x )   Ci ei exp(i x ) , где Ci - произвольные постоянные,
i 1
ei - собственные векторы матрицы A, i - собственные значения матрицы A.
Если матрица A вещественная, и среди ее собственных значений есть
комплексно-сопряженные, то частными решениями ОЛСДУ будут не только
решения Y j ( x )  e j exp(( p  iq) x ) , но и решения вида: Y1 j ( x )  Re{e j exp(( p  iq) x )} и
Y2 j ( x )  Im{e j exp(( p  iq ) x )} [1].
Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений.
Метод вариации постоянных.
Рассмотрим неоднородную линейную систему ДУ (НЛСДУ):
dY
 AY  F ( x ) .
dx
Пусть Y ( x )  Y1 Y2
система
решений
(2)
Yn  , ( Yi - частные решения ОЛСДУ) – фундаментальная
однородной
системы
(1).
Будем
искать
решение
неоднородной системы (2) в виде: Y ( x)  Y ( x)C( x) , где C ( x ) - неизвестная векторфункция. Подставляя решение в систему (2), получаем соотношения для C ( x )
dC ( x )
 Y 1F ( x ) . И C ( x )   Y 1 ( x ) F ( x )dx  C , C - вектор произвольных постоянных.
dx
Тогда общее решение неоднородной системы ДУ имеет вид:
Y ( x)  Y ( x)   Y 1( x) F ( x)dx  C  .


Метод Коши.
Рассмотрим однородную систему ДУ (1) и сопряженную к ней систему:
dZ
  AZ .
dx
(3)
7
Пусть 1 ( x),
,n ( x) - нормальная фундаментальная система решений
системы ДУ (1), 1 ( x),
,n ( x) - нормальная фундаментальная система
решений системы ДУ (3). И для этих систем решений выполнены условия
взаимной ортогональности: i ( x ), j ( x )   0, i  j [1]. Это условие выполняется для
всех x  [a, b] . Будем искать решение неоднородной системы ДУ (2) в виде:
n
Y ( x )   ui ( x ) i ( x ) , где ui ( x ) - неизвестные функции. Подставляя решение в
i 1
систему (2) и учитывая, то что i ( x), i  1, , n - решения (1), получаем
n
 u  ( x ) ( x)  F ( x) .
i
i 1
i
получаем
u j ( x)  
( F , j )
( j , j )
Умножая последнее соотношение скалярно на  j ( x ) ,
уравнения
dx  C j , j  1,
для
определения
функций
n.
n
Тогда общее решение НЛСДУ (2) имеет вид: Y ( x )   j ( x )[ 
j 1
III.
ui ( x ) :
( F , j )
( j , j )
dx  C j ] .
Дифференциальные уравнения n-го порядка.
Дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид:
F ( x, y, y,
, y(n) )  0 ,
(4)
если они не разрешены относительно старшей производной и
y ( n )  f ( x, y, y,
, y ( n1) ) ,
(5)
если они разрешены относительно старшей производной. Сделав замену
переменных в уравнении (5):
y  y1 , y1  y2 ,
, yn 2  yn1, yn 1  f ( x, y, y,
, yn1 ) ,
получаем систему ДУ.
Простейшие случаи понижения порядка дифференциального уравнения.
1) Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка
(k  1)
включительно:
F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,
, y(n) )  0 .
понизить до (n  k ) заменой y ( k ) ( x)  p( x) .
8
Порядок уравнения можно
2) Уравнение не содержит независимого переменного x: F ( y, y, y, , y ( n ) )  0 .
Порядок уравнения можно понизить на единицу заменой y( x )  p( y ) .
3) Левая часть уравнения (4) есть производная некоторого дифференциального
выражения (n-1)-го порядка.
F ( x, y, y ,
, y (n) ) 
d
( x, y, y ,
dx
, y ( n 1) ) .
Тогда первый интеграл этого уравнения имеет вид: ( x, y, y, , y ( n1) )  C .
Иногда левую часть уравнения (4) привести к такому виду можно, домножив ее
на некоторую функцию  ( x, y, y, , y ( n1) ) . Введение такого множителя приводит
к появлению лишних решений, обращающих множитель в нуль [1]. Если
множитель разрывен, то возможна потеря решения.
4) Уравнение (4) однородно относительно аргументов x, y, y, , y ( n ) , т.е. для
него выполняется тождество
порядок
F ( x, ky, ky,
, ky ( n ) )  k p F ( x, y, y,
, y ( n ) ) [2].
Тогда
уравнения (4) может быть понижен на единицу заменой:
y ( x )  exp(  z( x )dx ) , где z ( x ) - новая неизвестная функция.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с
постоянными коэффициентами.
Уравнения вида: a0 y ( n )  a1 y ( n 1) 
 an y  0 ,
(6)
где ai - числа, называются линейными дифференциальными уравнениями с
постоянными коэффициентами. Решение уравнения (6) будем искать в виде:
y ( x )  exp( kx ) .
Подставляя
решение
в
уравнение
(6),
получаем
характеристическое уравнение:
a0k n  a1k n 1 
 an  0 .
(7)
1. Если корни уравнения (7) различны и действительны, то общее решение ДУ
(6) можно представить в виде: y( x)  C1 exp(k1 x)  C2 exp(k2 x)  Cn exp(kn x ) , где Ci произвольные постоянные, ki - корни уравнения (7), yi ( x)  exp(ki x) - частные
решения ДУ (6).
9
2. Если коэффициенты уравнения (6) действительные числа, а корни ki    i  и
k j    i  комплексно-сопряженные, то согласно теореме о действительном
линейном операторе [1], решения вида y1( x)  cos  x exp x , y2 ( x)  sin  x exp  x
тоже будут частными решениями ДУ (6).
3. Если некоторый корень k  ki характеристического уравнения (7)
кратность
i ,
то
частные
решения,
определяются
этому
следующим
корню
образом:
, y i ( x)  x i 1 exp(ki x) .
y1 ( x)  exp(ki x), y2 ( x)  x exp(ki x),
Уравнение Эйлера: a0 x n y ( n )  a1 x n 1 y ( n 1) 
уравнению
соответствующие
имеет
 an y  0 . Это уравнение сводится к
(6) заменой x  exp t , частные решения можно искать в виде
y( x)  x k .
Линейные неоднородные ДУ n-го порядка. Метод вариации постоянных.
Пусть дано линейное неоднородное уравнение n-го порядка:
y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1) 
 pn ( x ) y  f ( x ) .
(8)
Будем искать общее решение уравнения (8) в виде:
n
y ( x )   Ci ( x ) yi ( x ) ,
(9)
i 1
где
Ci ( x ) - неизвестные функции, yi ( x ) - частные решения однородного ДУ,
соответствующего уравнению (8). Функции Ci ( x ) должны удовлетворять
уравнению (8). Но так как всего неизвестных функций n, то дополнительные (n1) условия, которым будут удовлетворять функции Ci ( x ) можно выбрать
произвольно [3]. Выберем эти дополнительные условия следующим образом:
производные функции y ( x ) должны иметь такой же вид, какой они имели бы
при постоянных Ci . Например,
постоянных
n
получаем остальные ограничения:
n
 C ( x ) y ( x )  0 ,
i
n
i 1
i 1
Ci - y ( x )   Ci ( x ) yi( x ) и, значит,
i 1
i 1
n
y ( x )   Ci( x ) yi ( x )   Ci ( x ) yi( x ) ,
i
10
n
 C ( x ) y ( x )  0 .
i 1
i
i
но при
Аналогично
n
 C ( x ) y( x )  0 ,
i 1
i
.....
i
......
n
 C ( x) y
i 1
i
n
( n  2)
i
 C ( x ) y
i 1
i
( n 1)
i
( x)  0 ,
( x)  f ( x) .
Решив эту систему, мы определим функции Ci ( x ) .
Варианты заданий.
Определить тип дифференциальных уравнений и решить:
I.
1. y 2 y  x 2 sin3 x  y 3ctgx ;
2. (1  x 2 y )dx  x 2 ( y  x)dy  0 ;
3. ( y)4  4 y( xy  2 y )2 ;

4. 3x 2 1  ln y  dx   2 y 

x3 
 dy ;
y
5. xy  2 y cos x  2 y ;
y
x
y
x
6. ( x  y cos )dx  x cos dy  0 ;
1
dy
7.  y   dx   0 ;

x
y
y
8. ( y)  yy    ;
x
2
2
9. y  x 3 y  3 y ;
10. (2 x  3 y  1)dx  (4 x  6 y  5)dy  0 ;
11. xy  2 y  1  ( y )2 ;
12. y( y)2  1 ;
13. yy  y 2ctgx  cos x ;
14. (cos x  x sin x ) ydx  ( x cos x  2 y )dy  0 ;
15. x 2 ( y)2  2( xy  2) y  y 2  0 ;
11
16.  x2  3ln y  ydx  xdy ;
17. y  y  xy 3 ;
18. (sin x  y )dy  ( y cos x  x 2 )dx  0 ;
19. y 2  x 2 ( y)5  xy(( y)2  ( y)3 ) ;
20. y 2 y  ( y)3 ;
21. ( y  x y )( x 2  1)  xy ;
22. ( x3  2 xy 2 )dx  3x 2 ydy  xdy  ydx ;
x
y
23. y  exp(2 x)  y ;
24. ( y)2  2 xyy  0 ;
25. y  8 x y 
4 xy
;
x2  1
26. 6 x5 ydx  ( y 4 ln y  3x 6 )dy  0 ;
27. ( yy)3  27 x( y 2  2 x 2 ) ;
28. xy2  2 yy  x  0 ;
29.  xy  3 y   7 x ;
2
2
1  x2  y2 
30. yy   x  
 ;
2 x 
31. y  y  2 xy   2 y ;
2
32. ( x 2  1) y  y 2  2 xy  1  0 ;
33. 2( x 2 y  1  x 4 y 2 )dx  x 3dy  0 ;
34. x 2 yy  1  (1  y ) xy ;
35. (1  x 2 ) y  2 xy 2  xy ;
36. 2 y  x  ln y ;
37. 2 xy  y  y ln yy ;
38. 2 xy   y  sin y  ;
39. y  xy  x 2 y3 ;
12
40. x
y
 2 xy ln x  1  0 ;
y
41. (exp y  2 xy )dx  (exp y  x ) xdy  0 ;
42. x( x  1) y  y 3  xy ;
43. (2 x  y  5) y  3x  6 ;
44. y  3 2 x  y  2 ;
45. y  xy  4 y ;
46. 5 y  ( y)2  x( x  y) ;
47. y sin x  y cos x  1 ;
48. xy  1  exp( x  y ) ;
49. ( x y 2  1  1)( y 2  1)dx  xydy ;
50. (2 x exp y  y 4 ) y  y exp y ;
51. y  xy   2  y ;
52. y  xy2  2 y3 ;
53. xy  y  ln y ;
54. y  tg ( y  2 x) ;
55. x  x 1 y  y3  xy ;
4 xy
56. y  8 x y  2 ;
x 1
57. y  e y ;
58. 2 y  y  2  xy2 ;
59. yy  2 yy ln y  y2 ;
60. yy2  y3 ;
61. xy  4  1;
62. y  2 xy 4 ;
63. y  y2  1 ;
64. xyy  xy2  yy ;
13
65. y  xy  y  xy2 1  x  ;
66. xyy  y  y  y ;
67. yy  y2  15 y 2 x ;
68.
y2
2 yy
;
 y2  3xy 
2
x
x
69. yy  xyy  xy2  x3 ;
x2
;
2
70. y  y2  xy 
71. Определить область задания уравнения, область существования решения
задачи Коши, область существования и единственности решения задачи
Коши, особые решения.
1
2
3
1) y  ; 2) y  y ; 3) y   3 ; 4) y  2 x ; 5) y   x 2 ; 6) y  x ;
x
x
2
x
1
1
2
7) y  2 x exp   x  ; 8) y   ; 9) y 
; 10) y 
; 11) y  y ;
x
2 x 1
1  x2
2
12) y  1  y ; 13) y  y 2 ; 14) y  3 y 3 .
Номер
1
2
3
4
5
6
варианта
Номера
1,2,3,4,54,
5,6,7,8,44,
9,10,11,12,
13,14,15,16,
17,18,19,20,
21,22,23,24,
задач
71(5)
71(1)
69, 71(2)
66, 71(3)
65, 71(4)
67, 71(1)
7
8
Номер
9
10
11
12
варианта
Номера
25,27,30,36,
26,29,31,33,
32,34,37,38,
35,39,40,41,
42,43,45,28 ,
44,47,48,49,
задач
64, 71(6)
63, 71(7)
62, 71(8)
61, 71(9)
60, 71(10)
59, 71(11)
Номер
13
14
15
16
17
18
Номера
50,1,4,6, 58,
2,5,8,10,52,
3,7,11,12,
13,18,20,44,
14,16,47,50,
17,19,29,41,
задач
71(12)
71(13)
53, 71(1)
55, 71(14)
54, 71(6)
53,71(5)
варианта
Номер
19
20
21
22
23
24
Номера
21,28,36,48,
22,25,39,45,
24,26,33,49,
28,35,38,43,
29,31,46,41,
17,19,44,46,
задач
63, 71(2)
69, 71(7)
58, 71(4)
64, 71(9)
59, 71(11)
61, 71(12)
варианта
Номер
25
варианта
14
Номера
16,13,9,45,
задач
70, 71(4)
II.
Решить систему линейных неоднородных дифференциальных
уравнений вида
dY
 AY  F ( x ) :
dx
1) методом вариации постоянных
Номер варианта
Матрица A, вектор правой части F
1
 2 0 1
 x


A  1 1 0 F   1 


 
 3 1 1
 0 
2
 4 2 2
1 


A  1 3 1 F   x 
 3 3 1
1 
3
 0 1 1
1


A  1 0 1 F   0 


 
 2 2 3
 x 
4
 2 1 2
 0
A   1 0 2 F   1 


 
 2 0 3
 x 
5
 0 1 1
 1 


A  1 1 0 F   x  1




 0 
 1 0 1
6
 4 1 0 
 1 


A  3 1 1 F   1 




1 0 1 
 x  2
7
 2 1 1
1


A  2 1 2 F   x 2 


 
 1 1 2 
 0 
8
 x2 
2 1 0 
 
A  0 2 4  F   1 


0
 1 0 1
 
15
9
 1 1 2
0


A 4 1 0 F   1 


 
 2 1 1
 x 2 
10
 x 2  1
 1 1 1 


A  1 1 1 F   0 


 1 
0 1 2 


11
 4 4 2 
 1 


A   2 2 1  F  1  x 
 4 4 2 
 0 
12
 4 4 2
 0 


A  1 1 1 F   x 2  1




 5 4 3
 1 
13
 2 1 1 
exp x 


A  5 1 4 F   1 




 5 1 2 
 0 
14
 1 1 1
 0 


A  3 3 3 F   x 




 2 2 2 
1  x 
15
 4 5 2
0
A   2 2 1  F   x 2 


 
 1 1 1 
 x 
16
 8 30 14
 0 


A  5 19 9 F  exp x 




 6 23 11 
 1 
17
3
3 
0
 1 


A   1 8
6  F   0 
 2 14 10
1  x 
18
 4 2 10
 1 


A   4 3 7  F  exp x 
 3 1 7 
 0 
19
1 
 1 1
1


A  5 21 17 F   1 


 
 6 26 21
 x 2 
16
20
3 0 8
exp x 


A  3 1 6 F   0 




 2 0 5
 1 
21
 13 16 16 
 x


A  5 7 6 F   0 


 
 6 8 7
 1 
22
1 1 1
 1 
A  1 1 1 F  exp x 




 2 1 0 
 0 
23
 3 0 1
 x
A   2 1 1  F   0 


 
 3 1 1
 1 
24
4 1 1
exp( 3x ) 



A  2 1 2 F  
0




0

 1 1 4 

25
 1 1 1 
 0 


A   3 2 2 F   1 
 1 1 1 
exp(2 x) 
2) методом Коши:
Номер варианта
1
Матрица A, вектор правой части F
 3 3 1 
 0 


A   3 2 2  F   1 
 1 2 0 
1  x 
2
 3 2 2
 x


A  3 1 1 F   0 


 
 1 2 0
 1 
3
 1 2 2
1


A  2 1 2 F   1


 
 3 2 3
 x 
17
4
 2 1 1
0


A   1 0 1  F   1 
 1 1 0 
  x 
5
1 2 2 
1


A  1 4 2 F   1 


 
1 5 3
 x 2 
6
 2 1 1
1


A  1 0 1 F   x 2 


 
 3 1 2 
 0 
7
 2 5 3
0


A  1 2 3 F   1 


 
 x 
 3 15 12 
8
 x2 
 4 1 2 
 
A   2 1 2  F   0 
1
1 1 1 
 
9
 3 4 2
 0


A  1 0 1 F  0


 
 6 6 5 
 x 
10
 1 2 1
 1 


A  1 1 1 F   x  1




 1 0 1
 1 
11
1 1 2 
1


A  3 3 6 F   1 


 
 x 
 2 2 4 
12
 9 22 6
0
A   1 4 1  F   x 2 


 
 8 16 5
 1 
13
 2 8 6 
1


A  4 10 6 F   1 


 
 4 8 4
 x 2 
14
 7 12 2
0


A  3 4 0 F   x 


 
 2 0 2
 0 
18
15
 4 6 0
1


A  3 5 0 F   x 2 


 
 3 6 1
 0 
16
7 3
3
 0 


A  2 5 2 F   1 




 4 10 3 
exp x 
17
 2 1 2 
1


A 1 0 2 F   1 


 
 2 1 1
 x 2 
18
1 2 0
exp x 


A 0 2 0 F   0 




 1 
 2 2 1
19
2 1 0
 0 


A  1 3 1 F   x 2  1




 0 
 1 2 3 
20
1 1 1
exp x 


A 1 1 0 F   1 




3 0 1 
 0 
21
 4 5 7
 0 


A  1 4 9 F   0 




 4 0 5
exp x 
22
 3 3 2 
exp x 


A   1 5 2 F   1 
 1 3 0 
 0 
23
 7 12 6 
1 


A  10 19 10  F  1 
12 24 13
 x 
19
24
1
 1 3 1






A   3 5 1 F  
0

 3 3 1 
exp(3x) 
25
 3 3 2 
0


A   1 5 2 F   1 
 1 3 0 
 x 2 
III. Решить неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка
методом вариации постоянных:
1. y  2 y  3 y  exp 4 x ;
2. y   y 
1
;
sin x
3. y  y  2exp x  x 2 ;
4. y  2 y  y 
exp x
;
x
5. y  3 y  2 y  sin x ;
6. y  y  2sec3 x ;
7. y  5 y  4 y  4 x 2 exp 2 x ;
8. y  4 y  4 y  x exp 2 x ;
9. y  3 y  4 y  exp( 4 x )  x exp(  x ) ;
10. y  2 y  y  6 x exp x ;
11. y  2 y  3 y  x 2 exp x ;
12. y  4 y  8 y  exp 2 x  sin 2 x ;
13. y  4 y  4 y  x exp 2 x ;
14. y  9 y  exp 3x cos x ;
15. y  y  x sin x ;
16. y  5 y  3x 2  sin5x ;
20
17. y  y  4 x exp x ;
18. y  y  2 y  3x exp x ;
19. y  3 y  2 y 
1
;
exp x  1
20. y  3 y  2 y  x cos x ;
21. y   y  4 shx ;
22. y  2 y  y  2 xe x  e x sin 2 x ;
23. y  y  4sin x ;
24. x 2 y  xy  y  8x 3 ;
25. x 2 y  3xy  5 y  3x 2 .
Номер
1
2
3
4
5
6
варианта
Номера
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10
11,12
задач
Номер
7
8
9
10
11
12
варианта
Номера
13,14
15,16
17,18
19,20
21,22
23,24
13
14
15
16
17
18
25,2
14,24
19
20
задач
Номер
варианта
Номера
10,3
19,1
25,7
15,9
задач
Номер
21
22
23
24
варианта
Номера
18,4
22,6
21,8
20,5
17,7
16,12
задач
Номер
25
варианта
Номера
11,3
задач
IV. Пример выполнения задания:
I. Определить тип дифференциального уравнения и решить:
21
1) y  (4 x  y  3)2 ;
2) 2 xy  y  ln( y) ;
3) (2 x 2 y ln y  x) y  y ;
4) y( xy  y)  x( y)2 (1  x) ;
5) y  y 2  
1
;
4x2
6) Определить область задания уравнения, область существования решения
задачи Коши, область существования и единственности решения задачи
Коши, особые решения. y  
1
.
x2
Решение
1) Уравнение
y  (4 x  y  3)2
- это ДУ, приводящееся к уравнению с
разделяющимися переменными заменой: z  4 x  y  3,
Тогда
z  z 2  4
y  z  4  z 2 . Получаем новое уравнение
разделяющимися переменными
dz
dy
 4
.
dx
dx
- уравнение с
dz
 dx . Общее решение ДУ имеет вид:
z 4
2
arctg ( z  2)  x  C или arctg (4 x  y  1)  x  C , y ( x )  tg ( x  C )  4 x  1 .
2) Уравнение 2 xy  y  ln( y) - уравнение Клеро. Перепишем ДУ в виде:
y  ln( y )  2 xy  продифференцируем по x и сделаем замену переменных:
y ( x )  p( x ) . Тогда получим ДУ: 3 p 
обратной функции x ( p ) [2]:
Перепишем его в виде 3 p

dp  1
 2 x  . Перейдем от функции p ( x ) к

dx  p

dx
1
 3 p   2 x - это линейное ДУ первого порядка.
dp
p
dx
1
 2 x  и решим методом вариации постоянной.
dp
p
Общее решение однородного ДУ 3 p
dx
2
 2 x  0 , имеет вид: x ( p )  C  p 3 . Ищем
dp
решение неоднородного ДУ в виде x( p )  C ( p ) p
2
3
. Подставим решение в
исходное уравнение и получим соотношение для определения неизвестной
22
функции C ( p )
3p
1
3
1
dC ( p )
 p 1 . Тогда C ( p )   p 3  C , а
dp
Решение уравнения Клеро в параметрическом виде

y ( p )  ln p  2 C  p
1
3
p
1
3

p
x ( p )  C  p  p
x( p)  C  p
1
1
3
3
2
2
3
.
3
,
.
3) Уравнение (2 x 2 y ln y  x) y  y - уравнение нелинейное относительно
y ( x ) , перейдем к функции x ( y ) : 2 x 2 y ln y  x  y
yx 2
dx
 x 1  2 y ln y
dy
-
это
уравнение
dx
. Перепишем
dy
Бернулли.
Замена
ДУ в виде:
переменных
dz
dx
dz
, тогда ДУ примет вид  y  z  2 y ln y - неоднородное
z ( y )  1 ,   x 2
x dy
dy
dy
линейное дифференциальное
уравнение первого порядка. Решаем методом
вариации постоянной. Решение однородного ДУ y
Тогда решение неоднородного ДУ
неоднородное ДУ, получаем
dz
 z имеет вид z ( y )  C  y .
dy
z( y )  C ( y ) y .
Подставляя решение в
dC ( y )
ln y
или C ( y )  ln 2 y  C . Общее решение
2
dy
y
неоднородного уравнения z( y )  y (ln 2 y  C ) или x( y )  y 1 (ln2 y  C )1 .
4) Уравнение y( xy  y)  x( y)2 (1  x) - ДУ второго порядка, допускающее
понижение порядка. Проверим выполнение условий однородности [3]: при
замене y  ky , y  ky , y  ky уравнение примет вид - ky (kxy  ky)  k 2 x( y)2 (1  x ) ,
где
k-
постоянная
y ( x )  exp(  z( x )dx )
величина.
Уравнение
однородно,
значит,
замена
понижает порядок уравнения на единицу. Вычислим
y( x )  z( x ) exp(  z( x )dx ) ,
y( x)  ( z( x)  z 2 ( x))exp(  z( x)dx)
и
подставим
эти
выражения в исходное уравнение. После приведения подобных получаем ДУ
xz  z  0 .
Общее
решение
этого
 C

y ( x )  exp   1 dx   C1 x  C2 .
 x

23
уравнения
z( x) 
C1
,
x
тогда
5) Уравнение y  y 2  
1
4x2
- это уравнение Риккати. Определим частное
y1  x  
решение в виде правой части:
a
. Подстановка в ДУ позволяет
x
1
4
1
2
определить параметр a : a 2  a   0 , т.е. a  . Тогда частное решение:
y1  x  
1
1
. Общее решение ищем в виде: y  x   z  x   y1  x   z  . Подставляя
2x
2x
z
x
решение в уравнение Риккати, получаем: z  z 2   0 - это уравнение Бернулли.
Используя прием из пункта 3 решаем уравнение Бернулли. Общее решение
имеет вид: y( x) 
6)
1
 ln x  C  x

1
.
2x
Правая часть уравнения y  
x   ,0
1
x2
-
функция непрерывная для всех
1
 0,  . Общее решение ДУ: y  x    C . Интегральная кривая имеет
x
горизонтальную
асимптоту
y  0.
Условие
теоремы
существования
и
единственности выполнены на всей действительной прямой, кроме точки x  0 .
Обратное уравнение :
dx
1
. Прямая
  x 2 , общее решение - x  y  
dy
y C
x0 -
частное решение обратного уравнения.
II. Решить неоднородную систему дифференциальных уравнений:
1) методом вариации постоянной:
3
3 
0
0
dY


 AY  F ( x ) , где A  1 8
Пусть дана система ДУ
6 , F ( x)   0 .


 
dx
 2 14 10
 x 
Собственные значения матрицы A 1  0, 2,3  1 . Собственный вектор для 1 e1  (2,1, 1)T ,
собственный
и
присоединенный
векторы
для
2
-
 2 3 3
e2  (3,3, 4) , e3  (3,0, 2) . Тогда матрица перехода S   1
3 0 и Жорданова


 1 4 2 
T
T
24
0 0 0 
форма матрицы A имеет вид: J  0 1 1  . Сделаем замену Z  S 1Y
0 0 1
однородной СЛДУ
уравнений:
dY
 AY
dx
в
и получим систему линейных дифференциальных
dz1
dz
dz
 0, 2   z2  z3 , 3   z3 . Общее решение однородной системы :
dx
dx
dx
z1 ( x)  C1, z2 ( x)  (C3 x  C2 )exp(  x), z3 ( x)  C3 exp(  x ) .
x
C1
 2 3 3 
  2 3e

Y ( x )  SZ ( x )   1 3 0  (C3 x  C2 ) exp(  x )    1 3e  x



C3 exp(  x )
 1 4 2  
  1 4e  x
Фундаментальная
система
решений
3( x  1)e  x   C1 
 
3xe  x
 C 2  .
x
( 4 x  2)e  C3 
 2 3e  x

Y ( x )   1 3e  x
 1 4e  x

3( x  1)e  x 

3xe  x
.
( 4 x  2)e  x 
Тогда
решение неоднородной системы ДУ Y ( x)  Y ( x)C( x) , C ( x)   Y 1 ( x ) F ( x )dx .

 2

x2 x
1
Y ( x) F ( x)  
e
 3
 1 x
e

 3
9
5 x  7 x
e
3
5 x
e
3


  0   3x 
x 
(1  x )e 0  (1  x )e x  .

  
x
x
xe




  
x
e


3
3
C1 ( x )  3 xdx   x 2  C1 ,
2
Тогда
C2 ( x )   ( x  x 2 )e x dx  (x 2  2 x  2)e x  C2 ,
C3 ( x )   xe x dx  (x  1)e x  C3 . Общее решение неоднородной линейной системы ДУ
 2 3e  x
- Y ( x )  Y ( x )C ( x )   1 3e  x
 1 4e  x

3


 x 2  C1



(3x  3)e
2



3xe  x  ( x 2  2 x  2)e x  C2  .
(2  4) xe  x   ( x  1)e x  C3 




x
2) методом Коши:
 3 1 1 
1
dY


 AY  F ( x ) , где A  1 1 1 , F ( x )   x  .
Пусть дана система ДУ


 
dx
 4 1 4 
 0 
25
Собственные значения матрицы A : 1  1, 2  2, 3  5 . Собственные векторы e1  (1,1, 1)T , e2  ( 1,2,3)T , e3  (1,1,3)T . Нормальная система фундаментальных
решений
соответствующей
однородной
задачи
dY
 AY
dx
определяется
1
 1
1




следующим образом: 1 ( x )   1  exp x ,  2 ( x)   2  exp 2 x , 3 ( x )  1 exp5 x .
 1
 3 
3
Нормальная фундаментальная система решений для сопряженной задачи
dY
  AY ,где собственные значения и собственные векторы матрицы  A
dx
имеют вид - 1  1, 2  2, 3  5 ; e1  (1, 2, 1)T , e2  (1, 1,0)T , e3  (5, 2,3)T , состоит
1
1
5




из вектор-функций 1 ( x )   2  exp(  x) , 2 ( x )   1 exp( 2 x) , 3 ( x)   2  exp( 5 x) .
 1
 0 
 3 
Проверим выполнение условий ортогональности: (1 ( x),1 ( x))  4 , (1 ( x),2 ( x))  0 ,
(1 ( x),3 ( x))  0 , (2 ( x),2 ( x))  3 , (2 ( x),3 ( x))  0 , (3 ( x),1 ( x))  0 , (3 ( x),2 ( x))  0 ,
(3 ( x),3 ( x))  12 .
ui ( x )  
ui ( x )
определяются выражением:
( F ( x ),i ( x ))
1
3
1
dx, i  1, 2,3 . Тогда u1 ( x )   (1  2 x )e  x dx    x   e  x  C1 ,
(i ( x ),i ( x ))
4
4
2
u2 ( x )  
u3 ( x ) 
Неизвестные функции
1
1 
1
(1  x )e 2 x dx    x   e 2 x  C2 ,

3
12 
6
1
23  5 x
 1
(5  2 x )e 5 x dx   x 
 e  C3 .

12
300 
 30
Общее
решение
неоднородной
273 
 3
  10 x  300 
x

 e
3
4
33   x
Y ( x )   ui ( x )i ( x )    x 
 e
 5
50   x
i 1
 e
 1
77  


x
100 
 10
системы
e2 x
2e 2 x
3e 2 x
ДУ
имеет
вид:
e5 x   C1 

e5 x  C2  .
 
3e5 x  C3 
III. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го
порядка методом вариации постоянной.
26
1) y  3 y  2 y  2 x .
Решение однородного уравнения y  3 y  2 y  0 ищем в виде y ( x )  exp kx .
Характеристическое уравнение k 2  3k  2  0 имеет корни k1  2, k2  1 . Тогда
общее решение однородного ДУ y( x)  C1e2 x  C2e x . Решение неоднородного ДУ y ( x )  C1 ( x )e2 x  C2 ( x )e x . В соответствии с идеей метода вариации постоянной [1],
получаем условия для определения неизвестных функций Ci ( x), i  1,2 :
C1( x)e2 x  C2 ( x)e x  0,2C1( x)e2 x  C2 ( x)e x  2 x .
C1( x )  e 2 x 2 x , C1 ( x ) 
Решая
эту
систему,
определяем
1
1
e 2 x 2 x  C1 , C2 ( x )  e  x 2 x , C1 ( x ) 
e  x 2 x  C2 .
ln 2  2
1  ln 2
Общее решение неоднородного ДУ: y ( x )  
1
1  x
2x
x

 2  C1e  C2e .
 ln 2  2 1  ln 2 
2) x 2 y  3xy  5 y  3x 2 .
Это уравнение Эйлера [3], сделаем замену x  et , тогда ДУ примет вид y  4 y  5 y  3e2t .
Будем искать решение соответствующего однородного
уравнения в виде y (t )  ekt . Характеристическое уравнение:
k 2  4k  5  0 , его
корни k1  2  i, k2  2  i . Согласно теореме о действительном операторе [1]
частные
решения
однородного
y1 (t )  e2t cos t, y2 (t )  e2t sin t .
Тогда
ДУ
общее
определяются
решение
соотношением:
неоднородного
ДУ
y (t )  C1 (t )e2t cos t  C2 (t )e2t sin t . Аналогично пункту 3.1 получаем условия для
определения
неизвестных
функций
Ci (t ), i  1,2 :
C1 (t )e 2 t cos t  C2(t )e 2 t sin t  0, C1( t ) e 2 t (2 cos t  sin t)  C 2( t) e 2 t(2sin t cos t)  3 e 2 t .
Решение
этой системы C1 (t )  3cos t  C1, C2 (t )  3sin t  C2 . Общее решение неоднородного
ДУ: y(t )  3e2t  e2t (C1 cos t  C2 sin t ) или y( x)  3x 2  e2t (C1 cosln x  C2 sin ln x ) .
27
Список литературы
1. Годунов С.К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами: Учеб пособие. – Новосибирск: Изд-во НГУ. - 1994.
2. Дмитриев В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям:
Учеб. пособие. - М.. 2007.
3. Филиппов А.Ф.. Введение в теорию дифференциальных уравнений..– М.:
УРСС. - 2004.
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. МоскваИжевск – 2000.
5. Матвеев
Н.М.
Сборник
задач
и
упражнений
по
обыкновенным
дифференциальным уравнениям: Учеб пособие. – Санкт-Петербург – 2002.
28