25.6. Найти общее решение уравнения, приведя его к
advertisement
25.6. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду. 8 16 4 0. Определяем коэффициенты уравнения , и . Имеем: 1, 4, 16. Вычисляем выражение: 4 1 16 0. Поскольку 0 при всех , , данное уравнение является уравнением параболического типа во всей плоскости . Находим общие интегралы уравнения характеристик: 8 16 0. Решаем это уравнение относительно : 4 0, 4. Следовательно, уравнение характеристик имеет единственный интеграл: , 4. Делаем замену переменных: 4, . При этом по правилу дифференцирования сложной функции: 4 0 4 , 1 1 , 4 2 4 0 0 0 0 16 , 4 1 4 1 1 0 0 1 0 0 4 4 , 1 2 1 1 1 0 0 2 . Подставляя в исходное уравнение, получим: 16 84 4 16 2 4 4 0, 16 32 32 16 32 16 4 4 4 0, 16 4 0, 4 0. Составляем соответствующее характеристическое уравнение: 4! ! 0. Находим его корни: !4! 1 0, 1 ! 0, ! . 4 Следовательно, общее решение канонического уравнения можно записать в виде: , " " # $⁄% , где " и " – произвольные дважды дифференцируемые функции. Подставляя 4 и , получаем общее решение исходного уравнения: , " 4 " 4# $⁄% .
