ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ СЕМЕЙСТВА

Уфа : УГАТУ, 2009
Т. 13, № 1 (34). С. 32–37
МАШИНОСТРОЕНИЕ • ТЕПЛОВЫЕ, ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ЭНЕРГОУСТАНОВКИ ЛА
УДК 533.6
Э. Г. ГИМРАНОВ
ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ
СЕМЕЙСТВА ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В КАНАЛАХ ДЛА И ЭУ
Приводится обобщенная импульсная функция течения газа в каналах ДЛА и ЭУ, выраженная в модифицированных газодинамических функциях полного импульса. Решение системы уравнений законов сохранения дано
для газодинамики торможения вязкого сверхзвукового потока, для псевдоскачков в каналах, принадлежащих к
семейству со степенной зависимостью между давлением и площадью поперечного сечения. Импульсная функция; торможение вязкого сверхзвукового потока; псевдоскачок
Установление закономерностей изменения
параметров газового потока на псевдоскачке [1]
имеет важное значение для решения целого ряда практических задач, разработки методов
расчета газодинамики технических устройств.
Параметры газа за псевдоскачком определяются законами сохранения массы, импульса
и энергии. Эти законы связывают между собой
значения параметров газа перед псевдоскачком
с параметрами газа за псевдоскачком со скоростью движения газа. Под параметрами газа на
псевдоскачке здесь понимаются приведенные
скорости λ1 в начальном х1 и λ2 ; в конечном х2
сечении полностью развитого псевдоскачка
отношение статических давлений р = р2 /p1 и
полных σ = р*2 /p*1 − коэффициент восстановления полного давления на псевдоскачке.
Приближенное определение соотношения
параметров развитого псевдоскачка производится методами одномерной газовой динамики
установившихся течений с использованием модифицированных газодинамических функций
потока полного импульса, учитывающих неравномерность распределения параметров газа
в каналах газодинамических установок или
струях по площади поперечного сечения.
Здесь их − осевая составляющая скорости
ρu 2
τ
=
C
f
вторичной массы газа; w
2 − касательное напряжение на стенке канала, Сf − коэффициент гидравлического трения.
После несложных преобразований уравнения (19) получим
u dG 1
dx
dФ = pdF + Gu x
− ξGu
u G 2
Dг , (2)
где ξ = 4Cf − коэффициент гидравлического
сопротивления (важнейшая гидравлическая характеристика канала); Dг = 4 F/П − гидравлический диаметр канала; П − периметр сечения
канала.
Уравнение состояния совершенного газа
записывается в виде
p=ρRг Т .
(3)
Связь между заторможенными изоэнтропическими параметрами и параметрами газа в потоке определется известными газодинамическими функциями:
T
γ −1 2
= 1−
λ = τ(λ);
T*
γ +1
γ
1. ОБОБЩЕННАЯ ИМПУЛЬСНАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ ИНТЕГРАЛЫ
P  γ −1 2  γ−1
= 1−
λ
= π(λ);
P *  γ +1 
Уравнение импульсов для течения газа с
трением, подводом или отводом массы вторичного газа в канале переменного поперечного
сечения запишется в виде
ρ  γ−1 2 γ−1
= 1−
λ  = ε(λ).
ρ*  γ +1 
dФ = pdF + u x dM − τ w dFw .
Контактная информация: (347) 273-09-44
(1)
(4)
1
Используя выражения для потока полного импульса типа (3), представим уравнение
(2) в следующих трех различных видах:
u dG 1
 γ +1

dx
d
Gaкр Z i (λ0 ) = pdF + Gu x
− ξGu ;
γ
u
G
2
D


г
(5)
Э . Г . Г и м р а н о в • Обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ
dZ i (λ 0 ) d ψ
dF
+
− R i (λ 0 )
−
i
ψ
F
Z (λ 0 )
F

u x dG 1
1 
dx
d  рF i
− ξGu
;
 = pdF + Gu
R (λ 0 ) 
u G 2
Dг

u dG 1
dx
d  p * F i (λ 0 )  = pdF + Gu x
− ξGu .
u G 2
Dг
dG
+
G
1
dx
+ ξ 1 − R i (λ 0 ) 
= 0;
2
F
dр dR i (λ 0 )
dF
− i
+ 1 − R i (λ 0 ) 
−
р
F
R (λ 0 )
− 1 − R i (λ 0 )  λ G
В уравнениях (5) индексом i обозначены
формы записи модифицированных газодинамических функций потока полного импульса.
Разделив почленно соответственно первое
dG
+
G
dx
1
+ ξ 1 − R i (λ 0 ) 
= 0;
2
F
− 1 − R i (λ 0 )  λ G
 γ +1

уравнение на  γ Gaкр  , второе на (pF)1 и
третье на (р*F)1, после ряда преобразований
уравнения (1) запишутся в безразмерном виде:
dG
+
G
1
dx
+ ξ 1 − R i (λ 0 ) 
= 0.
2
F
− 1 − R i (λ 0 )  λG
(6)
1
dx
+ ξ 1 − Ri (λ0 ) 
= 0;
2
F
d σ d F i (λ0 )
dF
dG
−
+ 1 − Ri (λ0 ) 
− 1 − Ri (λ0 ) λG
+
F 
G
σ F i (λ0 ) 
1
dx
+ ξ 1 − Ri (λ0 ) 
= 0.
2
F
Здесь ψ – комплексный параметр
ψ=
G
G1
∗
T  γ +1   γ +1 
Rг  / 
Rг  = G θϑ,

T1∗  γ
  γ
1
где G = G / G1 − коэффициент массового воздействия; θ = T ∗ /T1* − коэффициент теплового
воздействия;
(7)
d σ d F i (λ 0 )
dF
− i
+ 1 − Ri (λ 0 ) 
−
σ
F (λ 0 ) 
F
dZ i (λ0 ) d ψ
dF
dG
+
− Ri (λ0 )
− 1 − Ri (λ0 )  λG
+
Z i (λ0 ) ψ
F 
G
1
dx
+ ξ 1 − Ri (λ0 ) 
= 0;
2
F
dр dRi (λ0 )
dF
dG
− i
+ 1 − Ri (λ0 )
− 1 − Ri (λ0 ) λG
+
р R (λ0 )
F
G
33
 γ +1   γ +1 
ϑ= 
Rг  / 
Rг  − коэф γ
  γ
1
фициент термического воздействия; F = F / F1 −
безразмерная площадь поперечного сечения
канала; λ G = λ Gx / λ 0 − относительная безразмерная скорость подведенной (отведенной)
массы газа, приведенной к расчетному сечению.
Общие
интегралы
дифференциальных
уравнений (6) будут определять изменение
приведенной скорости и относительного давления в конечном сечении псевдоскачка в
функции начальных условий, физических воздействий и изменения геометрии канала:
Здесь для краткости записи принято
I (λ 0 ) = 1 − R i (λ 0 ) . Правые части уравнений
(7) представляют собой произведения четырех сомножителей, где первый сомножитель
1 / ψ учитывает влияние внутренних воздействий теплом θ массой G и изменением термодинамических свойств потока газа ϑ ; второй
сомножитель
i
F

F

exp  ∫ Ri (λ 0 )d ℓnF  или exp  ∫ I i (λ 0 )d ℓnF 
 1

 1

учитывает влияние изменения геометрии канала F = F ( x ) ; третий сомножитель
G

exp  ∫ I i (λ 0 ) λ G d ℓnG 
 1

учитывает влияние изменения потока полного
импульса за счет подведенной (отведенной)
массы газа G =G(x); четвертый сомножитель
 1x i
dx 
exp  − ∫ I (λ 0 )ξ

F
 20
учитывает влияние закона трения ξ = ξ( x ) .
Влияние начальной неравномерности потока определяют модифицированные газодинамические функции потока полного импульса
Zi(λ0), Ri(λ0) и Ii(λ0), Fi(λ0). Таким образом,
уравнения (6) представляют собой дифференциальные (а с учетом интегральных характеристик вязкого диссипативного слоя − интегродифференциальные) уравнения движения газа в
псевдоскачке, а уравнения (7) − уравнения
движения в интегральной форме. Указанные
34
МАШИНОСТРОЕНИЕ • ТЕПЛОВЫЕ, ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ЭНЕРГОУСТАНОВКИ ЛА
уравнения по форме и содержанию напоминают уравнения Л. А. Вулиса [2] − «условия обращения воздействия» и уравнения движения
недиссоциированного газа В. Н. Крымасова [3],
но при этом существенно отличаются от них
модифицированными
газодинамическими
функциями потока полного импульса и дозвуковыми решениями при сверхзвуковых начальных условиях с высоким переходным непрерывным (только в одном частном случае локальным) градиентом параметров газового потока. В этом смысле уравнения (6–7) могут
быть названы как общие условия перехода от
сверхзвукового (М > 1) течения к дозвуковому
(М < 1) в псевдоскачке. В частном случае, в
предельно упрощающем предположении об
отсутствии начальной неравномерности потока
в канале, физических воздействий и трения в
канале постоянной площади поперечного сечения уравнения (7) приводятся к виду
Z (λ 2 ) = Z (λ1 ),
p = r (λ 2 ) / r (λ1 ),
σ = f (λ1 ) / f (λ 2 ),
решение которых дает известные соотношения
для единичного прямого скачка уплотнения:
λ1· λ2 = 1 − основное кинематическое соотношение для прямого скачка уплотнения;
γ −1
λ12 −
p
γ +1
p= 2 =
;
γ −1 2
p1
1−
λ1
γ +1
σп.ск.
γ −1 2

1−
λ1
*

p2
γ
+
1
2
= * = λ1 
p1
 1− γ −1 1

γ + 1 λ12

1
 γ −1

 ,



по отношению к которым в последующих расчетах будут даны сравнительные оценки.
Точные решения уравнений (6−7) можно
получить, если известны зависимости ψ = ψ ( x )
или G = G ( x ) , θ = θ( x ) , γ = γ ( x ) , F = F ( x ) ,
ξ = ξ( x ) , λ 0 = λ 0 ( x ) или M 0 = M 0 ( x ) , а также
начальные условия: числа M1 и Re1 , профиль
скорости вязкого слоя u = u(η) (пограничного
слоя или в сечении канала, заполненного вязким течением). При этом подынтегральные выражения получаются достаточно сложными,
что приводит к существенным затруднениям
аналитического метода, который рациональнее
использовать для решения частных задач. В
общем случае лучше переходить к приближенным или численным методам.
Форма записи уравнений (7) позволяет рассматривать раздельно и в любой комбинации
воздействия на газовый поток на длине псевдоскачка.
Выражение для определения изменения
площади поперечного сечения канала F = F ( x )
(обратная задача) находится из решения первого дифференциального уравнения (6), которое
после ряда преобразований приводится к линейному неоднородному дифференциальному
уравнению первого порядка относительно искомой функции
F и производной
d F
;
dx
 i
d F
1
dlnG
+ i
−
 I (λ0 )λG
dx
2 R (λ 0 ) 
dx
(8)
dln ( ψZ i (λ0 ) ) 

1 1
−
− 1 ξ( x ).
 F=  i
dx
4  R (λ 0 ) 

Общее решение уравнения (8) запишется в
виде
F =
= exp  - ∫ p(x)dx 
где
{∫ Q(x)  exp ∫ p(x)dx  dx + C } ,
1
i

1
dlnG dln ( ψZ (λ 0 ) ) 
i
p( x ) i
−
 I (λ 0 )λ G
,
2 R (λ 0 ) 
dx
dx


Q( x ) =

1 1
− 1 ξ( x ).
 i
4  R (λ 0 ) 
Если возмущающая функция Q(х) ≡ 0, то
уравнение (8) становится линейным однородным и решается способом разделения переменных
1
d ln F = − i
I i ( λ 0 ) λ G d ln G −
{
R (λ 0 )
}
− d ln ( ψ Z i ( λ 0 ) ) .
Тогда после интегрирования получим
1 x 1
F = exp  ∫ i
dln ψZ i (λ 0 )  −
 2 0 R (λ 0 )
x

1
1
− ∫ i
λ G dlnG .
2 0 R (λ 0 )

К обратной задаче можно отнести определение из первого уравнения (6) при известном
характере изменения площади поперечного сечения канала F = F ( x ) коэффициента внутреннего воздействия на газовый поток на длине
псевдоскачка, ψ = ψ (x ) . Эта зависимость имеет вид
Э . Г . Г и м р а н о в • Обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ
ψ=
F i
Z i (λ 01 )
exp
 ∫ R (λ 0 ) dlnF +
Z i (λ 0 )
 1
G
+ ∫ I i (λ 0 )λ G dlnG −
1

1 i
I (λ 0 )ξ( x ) dx  .
∫
20

x
d  p * FF i (ε, λ 0 )  =
Пусть зависимости вида p ( x ) и F ( x ) будут
объединены функцией  p ( x ), F ( x )  , которая
представляет собой степенное выражение вида
ε
(10)
заимствованное из [1]. Предполагается существование течения в таком канале, для которого в
каждом сечении справедливо соотношение
ε
ε
ε
pF ε−1 = p1 F1ε−1 = p2 F2ε−1 = const .
1
γ +1
;
Gaкр Z (ε, λ0 ); Ф = pF
r (ε, λ0 )
γ
r( , 0 )
(11)
Ф = p∗ Ff (ε, λ 0 ),
где газодинамические функции обобщенного
полного импульса имеют вид
1  2 γ − ε( γ − 1)
ε 
λ0 +  ;

2
γ +1
λ0 
1
1
=
+ (ε − 1);
r ( ε, λ 0 ) r ( λ 0 )
u dG 1
1− ε
dx
Fdp + Gu x
− Guξ .
u G 2
Dг
ε
Разделив почленно соответственно первое
 γ +1

Gaкр  , второе на (pF)1 и
уравнение на 
 γ
1
*
третье на (p F)1, после преобразований уравнения импульса запишем в безразмерном виде
dZ i (ε, λ0 ) d ψ ε − 1 i
dр
+
+
R (ε, λ0 ) −
i
Z (ε, λ0 )
ψ
ε
р
− 1 − Ri (ε, λ0 ) λG
dG
G
1
dx
+ 1 − Ri (ε, λ0 )  ξ
= 0;
2
F
dр dRi (ε, λ0 )  ε − 1 i
 dр
R (ε, λ0 ) − 1 −
− i
+
р R (ε, λ0 )  ε
 р
dG
+
G
1
dx
+ 1 − Ri (ε, λ0 )  ξ
= 0;
2
F
d σ dF d F i (ε, λ0 )
+
+ i
+
σ
F
F (ε, λ0 )
− 1 − Ri (ε, λ0 ) λG
Рассмотрим семейство сверхзвуковых течений с переходом от М > 1 к М < 1 (псевдоскачок) в таких каналах сначала в общем виде.
Поток обобщенного полного
импульса
(«обобщенная импульсная функция» по
Л. Крокко) запишется следующим образом:
Ф = GW + εpF
или с помощью газодинамических функций для
однородного потока
Ф=
=
(9)
2. СЕМЕЙСТВО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В КАНАЛАХ,
ДЛЯ КОТОРЫХ ДАВЛЕНИЕ И ПОПЕРЕЧНОЕ
СЕЧЕНИЕ СВЯЗАНЫ СТЕПЕННОЙ
ЗАВИСИМОСТЬЮ
pF ε−1 = const ,
35
Z ( ε, λ 0 ) =
+
( 13)
dp
dG
ε −1 i
R (ε, λ0 ) − 1 − Ri (ε, λ0 ) λG
+
ε
p
G
1
dx
+ 1 − Ri (ε, λ0 )  ξ
= 0.
2
F
Общие
интегралы
дифференциальных
уравнений (13) имеют такое же содержание,
что и обобщенные уравнения движения газа в
[4].
Z i (ε, λ 0 ) =
F

Z i (ε, λ 01 )
exp  ∫ Ri (ε, λ 0 )dlnF  ×
ψ( х )
 1

G
 1x i
dG 
dx 
×exp  ∫ I i (ε, λ 0 )λ G
 exp  − ∫ I (ε, λ 0 )ξ
;
G 
F
 20
 1
(12)
f (ε, λ 0 ) = (ε − 1) π(λ 0 ) + f (λ 0 ).
Согласно (5) поток полного импульса представим в следующих трех различных видах:
R i (ε, λ 0 )
ε −1 i
R
(
,
)
d
ln
p
ln
ε
λ
=
+
0
∫1 ε
Ri (ε, λ 01 )
F
G
x
dG 1 i
dx
+ ∫ I (ε, λ 0 )λ G
− ∫ I (ε, λ 0 )ξ
;
G
2
F
1
0
i
 p ε −1 i

F i (ε, λ 01 )
exp  ∫
I (ε, λ 0 )dlnp  ×
i
F (ε, λ 0 )
 1 ε

u dG 1
 γ +1
 1− ε
dx
d
Gaкр Z i (ε, λ0 ) =
Fdp + Gu x
− Guξ ;
γ
ε
u
G
2
D


г
σ=

u dG 1
1  1− ε
dx
d  рF
Fdp + Gu x
;
− Gu ξ
=
r
(
ε
,
λ
)
ε
u
G
2
D
0 
г

G
 1x i
dG 
dx 
×exp  ∫ I i (ε, λ 0 )λ G
exp

 − ∫ I (ε, λ 0 )ξ
.
G 
F
 20
 1
(14)
36
МАШИНОСТРОЕНИЕ • ТЕПЛОВЫЕ, ЭЛЕКТРОРАКЕТНЫЕ ДВИГАТЕЛИ И ЭНЕРГОУСТАНОВКИ ЛА
Использование обобщенных уравнений (13)
и (14) для решения практических задач по расчету параметров псевдоскачка требует определения значений ε. Так, в [1] показано, что физический смысл имеют значения ε, заключенных в пределах
0≤ε≤
γ −1
.
γ
1
 р1  ε

2 
ρ2 р2 1 + uкр  р2 
=
,
2
1
ρ1
р1 uкр
 р2  ε
 
 р1 
2
uкр
=
p1
T1
*
= m 2 y ( λ 02 ) F2
p2
T 2*
или
р2 F2 m1
=
р1 F1 m2
T2* y (λ01 )
.
T1* y (λ02 )
Тогда получим
Соответствующим образом представленные
уравнения законов сохранения массы, энергии
и обобщенного полного импульса приводит к
«обобщенному уравнению Ренкина-Гюгонио» –
«псевдоударная адиабата».
где
m 1 y ( λ 0 1 ) F1
ε = ln
 m T * y (λ ) 
р2
01
/ ln  1 2*
,
р1
m
T
y
(
λ

02 ) 
 2 1
(16)
т. е. вместо геометрии канала (отношение площадей) можно использовать чисто газодинамические и термодинамические параметры потока. При T* = const будем иметь
ε = ln
р2
y (λ 01 )
/ ln
.
р1
y (λ 02 )
(17)
ε ( γ − 1)
2 γ − ε ( γ − 1) .
Для воздуха (γ = 1,4) 0 ≤ ε ≤ 3,5, а и2кр =
= 0,4ε / (2,8 – 0,4ε). При ε = 0 имеет место течение с постоянным давлением без трения,
p=const ( р = 1) . При ε = 1 − течение без
трения в канале постоянной площади поперечного сечения, F = const (F=1). При ε =
ε=
=
γ
«обобщенное уравнение Ренкина-Гюгоγ −1
нио» совпадает с уравнением изоэнтропы, ds =
= 0. При всех остальных значениях ε происходит увеличение энтропии, ds > 0, при условии
р2/р1 > 1, т. е. в соответствии со вторым законом
термодинамики физически осуществляются
только течения сжатия.
Тогда может быть предложен следующий
способ решения смешанной задачи при заданных p2/p1 > 1 и F2/F1 < 1 или F2/F1 > 1 (слаборасширяющийся или слабосужающийся канал
без нарушения одномерности течения). Из условия Л. Крокко получим
ε = ln
р F 
р2
/ ln  2 2  ,
р1
 р1 F1 
Рис. 1. Сравнительные характеристики:
1 – идеальной адиабаты Пуассона; 2 – ударной
адиабаты Рэнкина-Гюгонио; 3 – псевдоударной
обобщенной адиабаты Рэнкина-Гюгонио; γ = 1,4.
(15)
а затем из уравнений (13) или (14) определяются закономерности p = p ( x ) и F = F ( x ) . Заметим, что разрешить уравнения относительно
искомых функций в явном виде не удается.
Вместо (15) может быть предложено соотношение, полученное с использованием уравнения расхода, записанного в виде
Рис. 2. Характеристики обобщенной псевдоударной
адиабаты Рэнкина-Гюгонио; γ = 1,4
Э . Г . Г и м р а н о в • Обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ
На рис. 1 и 2 представлены характеристики
адиабаты Пуассона, ударной адиабаты и обобщенной псевдоударной адиабаты РэнкинаГюгонио.
В Ы В О ДЫ
Таким образом, получены:
● обобщенная импульсная функция семейства течений газа в каналах ДЛА и ЭУ, позволяющая рассматривать изменение параметров
потока в условиях влияния начальных факторов
и различных физических воздействий;
● уравнения законов сохранения массы,
энергии и импульсов функции приводят к
«обобщенному уравнению Рэнкина–Гюгонио –
псевдоударная адиабата» в каналах, принадлежащих к степенному семейству между давлением и площадью поперечного сечения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крокко Л. Одномерное рассмотрение газовой
динамики установившихся течений // Основы газовой динамики. 1963. С. 64–324.
37
2. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков.
М.: Госэнергоиздат, 1950. 320 с.
3. Крымасов Н. Н. Газодинамические течения в
каналах при наличии тепломассообмена // Тр.
ЦАГИ. 1973. Вып. 1443. 64 с.
4. Гимранов Э. Г., Михайлов В. Г. Обобщенные квазиодномерные уравнения движения газа в
каналах ДЛА и их интегралы // Вестник УГАТУ.
2006. Т. 7, № 1(14). С.153–160.
ОБ АВТОРЕ
Гимранов Эрнст Гайсович,
проф. каф. прикладной гидромеханики. Дипл. инж.-мех. по
авиац. двигателям (УАИ, 1965).
Д-р техн. наук по тепловым двигателям (УАИ, 1990). Иссл. в
обл. газовой динамики двигателей.