Высшая математика (МПД) Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы. 1. Понятие функциональной зависимости. 2. Основные классы элементарных функций. 3. Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. 4. Дифференцирование сложных функций. 5. Понятие дифференциала аргумента. 6. Дифференциал функции. Литература для самоподготовки: 1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 4-37 (составить краткий конспект). 2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000. На практическом занятии выполнить задания: 1. Найти производные функции и решить задачи из [2], стр. 6, №№ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20, 31, 32. 2. Вычислить приращение и дифференциал функции f ( x) x 2 3x при x 1 и x 0,01 . 3. Найти дифференциалы функций: y x 5 ; y e cos 5 x . Домашнее задание №1. а) Найти производные следующих функций: ln x y x3 x 6 y x e y cos( 2 x 1) 1 1 y 3 1 x x y 55 x 2 y e5x y x 2 cos x ye y x ex 1 y 3 7 x2 y x 2 ln x cos x y x y 1 ln x 1 y cos 3x 3 y ctgx x Доказать, что y б). Определить ускорение тела в момент времени t 1 sin 2 x 1 сек, если скорость тела v(t ) 2 cos(t ) 4 4 и измеряется в м/сек. в) При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жидкости имеют различную скорость в зависимости от расстояния x от оси трубы. ( x) P 2 ( R x 2 ) , где P, R,, константы. 4 Найти выражение для градиента скорости на расстоянии x от оси трубы. г). Найти дифференциалы следующих функций: 1 1) y sin 3x 2) y ( x 2 1) 4 3) y e 2 x д) Самоподготовка к Занятию №2: изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 52-58): 1. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 2. Понятие функции нескольких переменных. 3. Частные производные функции нескольких переменных. 4. Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных. Занятие №2. Производные высших порядков. Частные производные. Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных. Теоретические вопросы. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях. Литература для самоподготовки: 1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998. 2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000. На практическом занятии выполнить задания: 1. Самостоятельная работа: 1. 2. 3. 4. 1) y 3 x2 x x 3) y ln 2 x ex 2) y x2 e x 4) y 1 1 x x2 x 5) Концентрация раствора меняется с течением времени по закону С 100t .Найти скорость 1 5t растворения. 2. Найти вторые производные следующих функций: x 1) y=(2x+5) ; 2) y e 5 3 3. Решить задачу: Рост числа клеток популяции описывается уравнением: 5N 0 (5 N 0 ) e kt N 0 Получите формулу для скорости роста численности популяции. y 4. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций: 1) u x 3 y 6 ex 1 2) u y sin y 3) u ln x 2 5. Решить задачи. 1) Насколько изменится значение функции y 2,5x 4 7,5x 2 8 при изменении её аргумента от х=2 до х=2,003. 2) При деформации цилиндра радиус его основания R уменьшился c 5 cм до 4,09 cм, а высота h увеличилась c 10 cм до 10,05 cм. Найти приближенно изменение объёма цилиндра V. Считать ΔV≈dV. Объём цилиндра V= πR2h. 3) Давление идеального газа массой m с молярной массой μ зависит от объёма V и темпераmRT P V , где R – универсальная газовая туры T согласно формуле Клапейрона – Менделеева постоянная. Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ΔV и ΔT . Считать ΔP≈dP. 4) Скорость точки задана уравнением V (2t 4) м/с. Найти изменение скорости точки за 0,001 с. Домашнее задание №2. I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 59-83) 1. Понятие неопределенного интеграла; 2. Простейшие способы интегрирования: а) непосредственное интегрирование б) интегрирование методом подстановки. 3. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции) 4. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла 5. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление работы переменной силы. Таблица основных интегралов. II. Выполнить задания: 1. Найти производные следующих функций: ln x x 1) y 4) y sin( x 2 1) 3 x e x e 1 2) y 5) y 2 x ln x 3 x y 3) 1 1 x 4 x x 2. Определить ускорение тела в момент времени t v (t ) 2 cos(t 2 1 сек, если скорость тела 2 ) и измеряется в м/с. 3. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций: e y 1 x sin y 2) u ln x 3) u sin y ( x 2 1) 4) u cos( 2 x y ) 1) u 5) u x 2 y 2 4. При нагревании круга радиусом R=40 мм его площадь увеличилась. Оценить увеличение площади круга с помощью дифференциала, если радиус круга увеличился на ΔR=0,01мм. 3 Занятие №3. Оценка приращения функции с помощью дифференциала. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Теоретические вопросы: 1. Применение понятия дифференциала в приближенных вычислениях. 2. Понятие первообразной функции; 3. Понятие неопределенного интеграла; 4. Простейшие способы интегрирования: а) непосредственное интегрирование б) интегрирование методом подстановки. 5. Таблица основных интегралов. 6. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции) 7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла 8. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление работы переменной силы. Литература для подготовки: 1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 59-83. 2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов». На практическом занятии выполнить задания: Выполнить задания из [2]: 1) Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2; 2) а) Вычислить определенные интегралы, стр. 26, №№ 1, 2, 4, 7; б) Вычислить площади фигур, стр. 26, раздел II, №№ 1, 3; Домашнее задание № 3. I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 82-102) 1. Понятие дифференциального уравнения. 2. Чем определяется порядок дифференциального уравнения? 3. Чем отличается общее и частные решения дифференциального уравнения? 4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение. 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение. II. Выполнить задания: 1). При деформации конуса радиус его основания R уменьшился c 30 cм до 20,8 cм, а высота h увеличилась c 60 cм до 60,2 cм. Найти приближенно изменение объёма конуса V. Считать ΔV≈dV. Объём конуса V=1/3πR2h. 2) Найти следующие неопределенные интегралы: (2 x 2 5 x 6)dx e 3 x dx 1. 5. ( x 1) 2 dx sin x e cos x dx 2. 6. dx cos 7 xdx 4x 3 3. 7. sin x cos xdx 4. 5) Вычислите определенные интегралы: 1. 3 2 3. (1 2 x 3x 2 )dx sin xdx 1 0 3 dx 2. x 1 10 4. cos 5 xdx 0 4 2 5. e x x dx 2 1 6) Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 1. 1) y 16 x 2 , y 0. 2. 2) x y 5 0; x1=1; x2=5. Занятие №4. Дифференциальные уравнения I порядка. Дифференциальные уравнения II порядка. Решение задач с помощью дифференциальных уравнений Теоретические вопросы. Понятие дифференциального уравнения. Чем определяется порядок дифференциального уравнения? Общее и частные решения дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение на примере вывода физического закона, определяющего ослабление параллельного монохроматического пучка света при распространении его в поглощающей среде (закон Бугера). 6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение. 1. 2. 3. 4. 5. Литература для подготовки: 1) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 85-92, 99-102. 2) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М., 2002. 3) Антонов В.Ф., Черныш А.М., Козлова Е.К., Коржуев А.В. Физика и биофизика. ГЭОТАРМедиа.2010. Самостоятельная работа. 1. Найти неопределенные интегралы 1) 2e 5 x dx 2) sin x dx dx 5x 5 2. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями: 1) y 4 x 2 , y 0. 2) x y 0; x1=0; x2=10. На практическом занятии выполнить задания: 1. Найти общие и частные решения следующих задач математического моделирования в биофизике: 1) Фармакокинетическая модель Уменьшение концентрации лекарственного средства в крови пациента при введении его в организм методом инъекции за единицу времени пропорционально его концентрации в данный момент времени, коэффициент пропорциональности – . Составить дифференциальное уравнение. Найти зависимость концентрации вещества от времени, если при t=0, C=C0, построить график зависимости C(t). 2) Модель естественного роста численности популяции (Модель Мальтуса) Увеличение численности кроликов, завезённых в Австралию на кораблях Первого флота в 1788 году, за единицу времени пропорционально их количеству в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – k). Составить дифференциальное уравнение. Найти общее и частное решения, если при t=0, 3) 3. 4. cos x e 5 N= N0. Построить график естественного роста популяции кроликов в Австралии. Проверить полученное решение на адекватность. 2.Найти общие решения дифференциальных уравнений II порядка: y 4 y 5 y 0 , при y(0)= -3, y(0)=0. y y 0 , при y(0)=0, y(0)=1. y 12 y 35 y 0 , при y(1)=10, y(1)=2. 3.Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36 н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние х0=4 см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости. Определить: • закон отклонения груза; • отклонение груза от положения равновесия в момент t=𝛑/3; • частоту колебаний груза. Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза. Домашнее задание №4. Решить задачи: 1. Составить дифференциальное уравнение для радиоактивного распада, если скорость уменьшения количества нераспавшихся атомов, пропорциональна их количеству N в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – ). Найти общее и частное решения, если при t=0, N= 108. 2.Скорость материальной точки задана уравнением V (t 2 4) м/с. Составить закон зависимости пути, пройденного данной материальной точкой, от времени. 3. Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением М=5t2+ 6t. Найти скорость реакции. 4. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону C=C0 где C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации. 5.Найти общее решение дифференциального уравнения y y и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=0, y=2. 6.Решить дифференциальные уравнения. y 2 y 2 y 0 y 4 y 0 . Занятие №5.Подготовка к контрольной работе-45 мин. Контрольная работа № 1. Образец контрольной работы по высшей математике для медико-профилактического факультета (I семестр). Вариант №0 1. Найти первую производную и дифференциал функции у = cos3 х. 2. Найти частные производные, частные дифференциалы и полный дифференциал функций: u=cos(x2/y). 3. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону C=C0 центрации. C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента кон- 6 4. Шарик совершает колебания по закону S = 10 sin Получить формулу для расчета мгновенных скорости и ускорения шарика. 5. Найти неопределённый интеграл: . 6. Вычислить определённый интеграл: 7. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, если при х=0, y=y0 , k=const, y’= ky. 8. Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами y’’ + 4y=0. 9. Через слой вещества проходит пучок света. Уменьшение интенсивности света (dI), поглощенного при прохождении через тонкий слой вещества, пропорционально толщине слоя dx и интенсивности света I, падающего на его поверхность (коэффициент пропорциональности – ). Составить дифференциальное уравнение, решить его и получить формулу для зависимости интенсивности I от x, если при x=0, I=I0. 7