Занятие №1 - stanuprofi.ru

-Высшая математика
Занятие №1
Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Теоретические вопросы.
Понятие функциональной зависимости.
Основные классы элементарных функций.
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
Дифференцирование сложных функций.
Применение производных к исследованию функций.
Понятие дифференциала аргумента.
Дифференциал функции.
Литература для подготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 4-28; 32-50.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М.
2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Найти производные функции и решить задачи из [2], стр. 6, №№ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20,
31, 32
2. Вычислить приращение и дифференциал функции f ( x)  x 2  3x при x  1 и x  0.01 .
3. Найти дифференциалы функций:
y  x 5 ; y  e cos 5 x .
Домашнее задание №1.
а) Найти производные следующих функций:
1. y  x3  x  6
1
ln x
ex
ex 1
13. y 
x
sin x
14. y 
ln x
15. y  sin x( x 2  1)
3 x
1
16. y  cos( 2 x  1)
2. y  
3.
1 1
 1
x3 x
y  55 x 2
4. y 
5.
y
6.
y
x
1
73 x 2
7. y  x 2 cos x
8. y  x  e x
9. y  x 3  (sin x  1)
10. y  x 2  ln x
cos x
11. y 
x
12. y 
17. y  e  x
2
5x
18. y  e
1
19. y  cos 3x
3
20. y  e x
21. y  1  ln x
22. y  ctgx Доказать, что y   
1
sin 2 x
б). Определить ускорение тела в момент времени t 

1
сек, если скорость тела v (t )  2 cos(t  )
4
4
и измеряется в м/сек.
в) Решить задачу. При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жидкости имеют различную
скорость в зависимости от расстояния x от оси трубы.
 ( x) 
P 2
( R  x 2 ) , где P, R,,   константы.
4
Найти выражение для градиента скорости на расстоянии x от оси трубы.
г). Найти дифференциалы следующих функций:
1) y  sin 3x
2) y  ( x 2  1) 4
3) y  e 2 x
д) Самоподготовка к Занятию №2: изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 19-50; стр. 59-66):
1. Производная функции, ее физический и геометрический смысл.
Таблица основных формул дифференцирования функций.
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
2. Дифференцирование сложных функций.
3.Применение производных к исследованию функций.
4.Понятие дифференциала аргумента. Дифференциал функции.
5.Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
6. Понятие неопределенного интеграла;
Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
7.Таблица основных интегралов.
Высшая математика
Занятие №2
Дифференциал функции. Неопределенный интеграл.
Теоретические вопросы:
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Понятие первообразной функции;
Понятие неопределенного интеграла;
Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
5. Таблица основных интегралов.
1.
2.
3.
4.
Литература для подготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 56-59.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов».
На практическом занятии выполнить задания:
а) Решить задачи.
1. При нагревании круга радиусом R=40 мм его площадь увеличилась. Вычислить увеличение площади
круга, если его радиус увеличился на R  0,1 мм. Оценить увеличение площади с помощью дифференциала.
2. Ребро куба равно 10 см. Найти приращение объёма куба при увеличении его ребра на 0,01 см.
б) Выполнить задания из [2]:
1) Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2;
Домашнее задание №2.
а) Найти следующие интегралы:
1.  (2 x 2  5 x  6)dx
2.
3.
4.
 ( x  1) dx
 cos 7dx
 sin x cos xdx
2
2.
 e dx
 sin x  e
3.

1.
3x
cos x
dx
dx
4x  3
б) Решить задачи.
1. Скорость точки задана уравнением V  (2t  4) м/с. Составить уравнение движения точки, если в
начальный момент времени координата точки равна 0. Найти изменение скорости точки за 0,001 с.
2. Сила, действующая на тело в направлении движения, изменяется со временем по закону F  2t (Н).
Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент t=0 она была равна 1 м/с. Масса
тела 3 кг.
3. Скорость частиц жидкости при вытекании из малого отверстия в сосуде определяется по закону Торичелли
v  2 gh ,
где h= 5м – высота поверхности жидкости над отверстием, g10м/c2. Как изменится скорость истечения жидкости при уменьшении высоты поверхности жидкости на Δh= 1см?
в) Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 68-83):
1. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции).
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
3. Вычисление площади криволинейной трапеции помощью определенного интеграла.
4. Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла.
Высшая математика
Занятие №3
Определенный интеграл. Дифференциальные уравнения I порядка
Теоретические вопросы.
1. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
3. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление
работы переменной силы.
4. Понятие дифференциального уравнения.
5. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
6. Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения?
7. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.
Литература для подготовки:
1) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 68-72, 74-76, 79-82, 85-92,
99-102.
2) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М.,
2002.
На практическом занятии выполнить задания из [2]:
1. а) Вычислить определенные интегралы, стр. 26, №№ 1, 2, 4, 7;
б) Вычислить площади фигур, стр. 26, раздел II, №№ 1, 3;
в) вычислить работу переменной силы, стр. 26, раздел III, №1;
г) решить задачи, стр. 26, раздел IV, № 1-2;
д) найти общее решение дифференциальных уравнений: стр. 32, №1, 3, 5, 7;
2. Решить задачи из учебника Ю.В.Морозова [1], стр. 103, раздел VI, 1, 2;
Домашнее задание №4.
а) Вычислить определенные интегралы:

1.
2
 sin xdx
3
4.
2.

1
dx
x
2
)dx
1
0
3
 (1  2 x  3x

5.
10
 cos 5xdx
0
2
6.
e
x2
 dx
1
б) Вычислить площади фигур, ограниченные линиями:
1. y  x 3  6; x  0; y  0.
2. y  x  1; y  0; x  0; x  2.
3. y 2  4 x  0; x  y  0.
4. y 3  4 x  0; y  0.
в) Решить задачу. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2
см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до 35 см.
г) Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 21-50; стр. 85-88):
1. Понятие дифференциального уравнения.
2. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
3.Что называется общим и частным решениями дифференциального уравнения?
4. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
Высшая математика
Занятие №4
Дифференциальные уравнения II порядка.
Решение задач с помощью дифференциальных уравнений
Теоретические вопросы.
1. Понятие дифференциального уравнения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Их решение.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.
Литература для подготовки:
3) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 99-102.
4) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М.,
2002.
На практическом занятии выполнить задания из [1]:
1. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: V, № 1-5
2. Решить задачи из [2], стр. 32, раздел II.
3. Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36
н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние
х0=4 см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости.
Определить:
1. закон отклонения груза
2. отклонение груза от положения равновесия в момент t=/3
3. частоту колебаний груза
б) Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза.
Домашнее задание №5.
а) Решить задачи.
x2
1) Найти общее решение дифференциального уравнения Y   3 4 и частное решение, удовлетворяюy
щее условию y  1 при x  0 .
2) Найти общее решение дифференциального уравнения y   x  2 и подстановкой проверить правильность найденного решения.
3) Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна b.
4) Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить, через какое время после введения в организме останется 10% первоначального
количества, если одноразово при t=0 было введено m=9,7 лекарства. Константа распада лекарственного вещества k=0,05 час -1.
б)Решить дифференциальные уравнения.
a. y   6 y   9 y  0
b. y   25 y  0
c. y   4 y   5 y  0
в) Подготовится к контрольной работе №2.
Высшая математика
Занятие №5
Подготовка к контрольной работе-45 мин.
Контрольная работа № 1.