Высшая математика Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции.

Высшая математика
Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной.
Дифференциал функции.
Теоретические вопросы.
1. Понятие функциональной зависимости.
2. Основные классы элементарных функций.
3. Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
4. Дифференцирование сложных функций.
5. Применение производных к исследованию функций.
6. Понятие дифференциала аргумента.
7. Дифференциал функции.
Литература для самоподготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 4-50 (составить краткий
конспект).
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М.
2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Найти производные функции и решить задачи из [2], стр. 6, №№ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20,
31, 32
2. Вычислить приращение и дифференциал функции f ( x)  x 2  3x при x  1 и x  0,01 .
3. Найти дифференциалы функций:
y  x 5 ; y  e cos 5 x .
Домашнее задание №1.
а) Найти производные следующих функций:
ln x
y  x3  x  6
y x
e
y  cos( 2 x  1)
1 1
y   3  1
x
x
y  55 x 2
y  e5x
y  x 2  cos x
ye
y  x  ex
1
y
3
7 x2
y  x 2  ln x
cos x
y
x
y  1  ln x
1
y  cos 3 x
3
y  ctgx
x
Доказать, что
y  
b). Определить ускорение тела в момент времени t 
1
sin 2 x

1
сек, если скорость тела v (t )  2 cos(t  )
4
4
и измеряется в м/сек.
в) При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жидкости имеют различную скорость в зависимости от расстояния x от оси трубы.
 ( x) 
P 2
( R  x 2 ) , где P, R,,   константы.
4
Найти выражение для градиента скорости на расстоянии x от оси трубы.
c). Найти дифференциалы следующих функций:
1) y  sin 3x
2) y  ( x 2  1) 4
3) y  e 2 x
d) Дана функция y  x 3  3x 2 . Определите, возрастает или убывает функция в точках х= -1, х=0, х=2.
Исследуйте функцию на экстремум.
e) Самоподготовка к Занятию №2: изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 19-58):
1. Производная функции, ее физический и геометрический смысл.
Таблица основных формул дифференцирования функций.
Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
2. Дифференцирование сложных функций.
3.Применение производных к исследованию функций.
4.Понятие дифференциала аргумента. Дифференциал функции.
5.Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
6. Понятие функции нескольких переменных.
7.Частные производные функции нескольких переменных.
8.Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.
Занятие №2. Производные высших порядков. Частные производные. Частные и
полный дифференциал функции нескольких переменных.
Теоретические вопросы.
Понятие функции нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.
Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.
Литература для самоподготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Самостоятельная работа:
1.
2.
3.
4.
1)
y  3 x2  x  x
3) y 
ln 2 x
ex
2)
y  x2  e x
4) y  
1 1
 x
x2 x
5) Концентрация раствора меняется с течением времени по закону С 
растворения.
2. Найти вторые производные следующих функций:
x
1)y=(2x+5)3 ; 2) y  e 5
3. Исследовать функцию y  x 3  2х 2
с помощью второй производной на экстремум.
100t
.Найти скорость
1  5t
4. Решить задачу:
Рост числа клеток популяции описывается уравнением:
5N 0
(5  N 0 ) e  kt  N 0
Получите формулу для скорости роста численности популяции.
y 
5. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:
1) u  x 3  y  6
2) u 
ex 1
y
sin y
ln x
6. Решить задачи.
1) Насколько изменится значение функции y  2,5x 4  7,5x 2  8 при изменении её аргумента от
х=2 до х=2,003.
2) Скорость точки задана уравнением V  (2t  4) м/с. Найти изменение скорости точки за 0,001 с.
3) Скорость частиц жидкости при вытекании из малого отверстия в сосуде определяется по закону
Торичелли:
3) u 
v  2 gh , где h= 5м – высота поверхности жидкости над отверстием, g10м/c2. Как изменится
скорость истечения жидкости при уменьшении высоты поверхности жидкости на Δh= 0,01см?
Домашнее задание №2.
I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы
высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 59-66)
1.
Понятие неопределенного интеграла;
2.
Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
Таблица основных интегралов.
II. Выполнить задания:
1. Найти производные следующих функций:
1) y 
2) y 
ln x  x
ex
ex 1
x
y
3)
4) y  sin( x 2  1) 3
5) y  2 x  ln x
3
1
1
 x
4
x
x
2. Определить ускорение тела в момент времени t 
v (t )  2 cos(t 

2
1
сек, если скорость тела
2
) и измеряется в м/с.
3. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:
e y 1
x
sin y
2) u 
ln x
3) u  sin y ( x 2  1)
4) u  cos( 2 x  y )
1) u 
5) u  x 2  y 2
4. Решить задачу:
Укорочение мышцы при одиночном раздражении можно описать уравнением Релея:
 kt 2
y  bte 2 , где t- время, b и k – постоянные величины. Найти моменты времени, при которых ско-
рость укорочения мышцы будет равна нулю.
Занятие №3. Оценка приращения функции с помощью дифференциала.
Неопределенный интеграл.
Теоретические вопросы:
1. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
2. Понятие первообразной функции;
3. Понятие неопределенного интеграла;
4. Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
5. Таблица основных интегралов.
Литература для подготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 56-59.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов».
На практическом занятии выполнить задания:
1. Решить задачи.
1) При нагревании круга радиусом R=40 мм его площадь увеличилась. Оценить увеличение
площади круга с помощью дифференциала, если радиус круга увеличился на ΔR=0,01мм.
2) При деформации цилиндра радиус его основания R уменьшился c 5 cм до 4,09 cм, а высота h
увеличилась c 10 cм до 10,5 cм. Найти приближенно изменение объёма цилиндра V. Считать
ΔV≈dV. Объём цилиндра V= πR2h.
2. Выполнить задания из [2]:
1) Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2;
Домашнее задание № 3.
I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы
высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 68-75, 78-83)
1. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции).
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
3. Вычисление площади криволинейной трапеции помощью определенного интеграла.
4. Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла.
II. Выполнить задания:
1). Ребро куба равно 10 см. Найти приращение объёма куба при увеличении его ребра
на 0,01 см.
2) Найти следующие интегралы:
(2 x 2  5 x  6)dx
e 3 x dx


1.
5.
2
(
x

1
)
dx
sin x  e cos x dx

2. 
6.
dx
cos
7
xdx


3.
4x  3
7.
sin x cos xdx

4.
3) Решить задачи.
1. Скорость точки задана уравнением V  (t 2  4) м/с. Найти изменение скорости точки за 0,001 с.
2. Сила, действующая на тело в направлении движения, изменяется со временем по закону F  2t (Н).
Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент t=0 она была равна 1 м/с. Масса
тела 3 кг.
4) Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t
выражается уравнением М=5t2+ 6t. Найти скорость реакции.
Занятие №4.Определенный интеграл. Дифференциальные уравнения
I порядка
Теоретические вопросы.
1. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)
2. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
3. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление
работы переменной силы.
4. Понятие дифференциального уравнения.
5. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
6. Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения?
7. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.
Литература для подготовки:
1) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 68-72, 74-76, 79-82, 85-92,
99-102.
2) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М.,
2002.
1. Самостоятельная работа. Найти неопределенные интегралы:
2.  2e 5 x dx
3.
 cos x  e
4.

sin x
dx
dx
5x  5
На практическом занятии выполнить задания из [2]:
1. а) Вычислить определенные интегралы, стр. 26, №№ 1, 2, 4, 7;
б) Вычислить площади фигур, стр. 26, раздел II, №№ 1, 3;
в) вычислить работу переменной силы, стр. 26, раздел III, №1;
г) решить задачи, стр. 26, раздел IV, № 1-2;
д) найти общее решение дифференциальных уравнений: стр. 32, №1, 3, 5, 7;
2. Решить задачи из учебника Ю.В.Морозова [1], стр. 103, раздел VI, 1, 2;
Домашнее задание №4.
а) Вычислить определенные интегралы:

1.
3
2
 sin xdx
1.
2.

1
2
)dx
1
0
3
 (1  2 x  3x

dx
x
2.
10
 cos 5xdx
0
2
3.
e
x2
 dx
1
б) Вычислить площади фигур, ограниченные линиями:
1. y  x 2  4, y  0.
2. x  y  5  0; x 2  6 x  y  9  0
3. y 2  4 x  0; x  y  0.
4. x 3  3 y  0;3x  y  0.
в) Решить задачу. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2
см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до 35 см.
г) Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. стр. 85-102):
1. Понятие дифференциального уравнения.
2.
Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
3.
Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения?
4.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.
5.
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.
Занятие №5. Дифференциальные уравнения II порядка.
Решение задач с помощью дифференциальных уравнений
Теоретические вопросы.
1. Понятие дифференциального уравнения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Их решение.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.
Литература для подготовки:
3) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 99-102.
4) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М.,
2002.
Самостоятельная работа:
1. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону
C=C0
ции.
где C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентра
6
2. Вычислите  sin 6 xdx
0
На практическом занятии выполнить задания из [1]:
1. Решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: V, № 1-5
2. Решить задачи из [2], стр. 32, раздел II.
3. Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36
н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние
х0=4 см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости.
Определить:
 закон отклонения груза;
 отклонение груза от положения равновесия в момент t=/3;
 частоту колебаний груза.
Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза.
y
Y
4 x и частное решение, удовлетворяющее
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
условию y= -10 при x=16.
2
5. Найти общее решение дифференциального уравнения x y   y и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=0, y=5.
6. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна .
7. Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства в крови пациента. Определить зависимость массы данного вещества в крови от времени, если она в начальный момент времени равна 0,2 мг, а через 23 часа уменьшилась вдвое.
3x
8. Проверить подстановкой, что дифференциальное уравнение Y   2Y  e имеет общее решение в ви3x
2x
де Y  e  Ce . Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=3 при x=0.
9. Решить дифференциальные уравнения.
y   4 y   5 y  0 , при y(0)= -3, y(0)=0.
y   y  0 , при y(0)=0, y(0)=1.
y   12 y   35 y  0 , при y(1)=10, y(1)=2.
10. При деформации конуса радиус его основания R уменьшился c 30 cм до 20,8 cм, а высота h увеличилась c 60 cм до 60,2 cм. Найти приближенно изменение объёма конуса
V. Считать ΔV≈dV. Объём конуса V=1/3πR2h.
11. Давление идеального газа массой m с молярной массой μ зависит от объёма V и темmRT
P
V , где R – универпературы T согласно формуле Клапейрона – Менделеева
сальная газовая постоянная. Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ΔV и ΔT . Считать ΔP≈dP.
Домашнее задание №5.
Подготовиться к контрольной работе №1.
Выполнить задания:
1. Найти общее решение дифференциального уравнения (x+1)dy – (y+1)dx=0 и частное решение,
удовлетворяющее условию y= 1 при x=-1.
2. Найти общее решение дифференциального уравнения xy   y и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=1, y=2.
3. Скорость гибели некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа убыли численности бактерий равна .
4. Скорость растворения некоторого лекарственного вещества в таблетках пропорциональна количеству лекарства в таблетке. Найти закон растворения таблетки ( т.е. закон изменения массы), если период полурастворения таблетки T.
5. Проверить постановкой, что данная функция является общим решением данного дифференциального уравнения: y  x для 2Y Y   1 .
6. Решить дифференциальные уравнения.
y   2 y   2 y  0 , при y(0)= 1, y(0)=1.
y   4 y  0 , при y(0)=0, y(0)=8.
7. При деформации цилиндра радиус его основания R уменьшился c 5 cм до 4,09
cм, а высота h увеличилась c 10 cм до 10,5 cм. Найти приближенно изменение
объёма цилиндра V. Считать ΔV≈dV. Объём цилиндра V= πR2h.
8. Объём V одного моля идеального газа зависит от давления P и температуры T
RT
V
P ,
согласно формуле Клапейрона – Менделеева
где R – универсальная газовая постоянная. Найти приращение объёма газа при одновременном изменении его давления и температуры соответственно на ΔP и ΔT . Считать
ΔV≈dV.
Занятие №6.Подготовка к контрольной работе-45 мин.
Контрольная работа № 1.