Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции

Высшая математика (МПД)
Занятие №1. Элементарные функции. Производная функции одной переменной.
Дифференциал функции.
Теоретические вопросы.
1. Понятие функциональной зависимости.
2. Основные классы элементарных функций.
3. Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций.
4. Дифференцирование сложных функций.
5. Понятие дифференциала аргумента.
6. Дифференциал функции.
Литература для самоподготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 4-37 (составить краткий
конспект).
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М.
2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Найти производные функции и решить задачи из [2], стр. 6, №№ 2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 20,
31, 32.
2. Вычислить приращение и дифференциал функции f ( x)  x 2  3x при x  1 и x  0,01 .
3. Найти дифференциалы функций:
y  x 5 ; y  e cos 5 x .
Домашнее задание №1.
а) Найти производные следующих функций:
ln x
y  x3  x  6
y x
e
y  cos( 2 x  1)
1 1
y   3  1
x
x
y  55 x 2
y  e5x
y  x 2  cos x
ye
y  x  ex
1
y
3
7 x2
y  x 2  ln x
cos x
y
x
y  1  ln x
1
y  cos 3 x
3
y  ctgx
x
Доказать, что
y  
б). Определить ускорение тела в момент времени t 
1
sin 2 x

1
сек, если скорость тела v (t )  2 cos(t  )
4
4
и измеряется в м/сек.
в) При ламинарном течении вязкой жидкости в трубе слои жидкости имеют различную скорость в зависимости от расстояния x от оси трубы.
 ( x) 
P 2
( R  x 2 ) , где P, R,,   константы.
4
Найти выражение для градиента скорости на расстоянии x от оси трубы.
г). Найти дифференциалы следующих функций:
1
1) y  sin 3x
2) y  ( x 2  1) 4
3) y  e 2 x
д) Самоподготовка к Занятию №2: изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 52-58):
1. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
2. Понятие функции нескольких переменных.
3. Частные производные функции нескольких переменных.
4. Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.
Занятие №2. Производные высших порядков. Частные производные.
Частные и полный дифференциалы функции нескольких переменных.
Теоретические вопросы.
Понятие функции нескольких переменных.
Частные производные функции нескольких переменных.
Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных.
Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.
Литература для самоподготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.
На практическом занятии выполнить задания:
1. Самостоятельная работа:
1.
2.
3.
4.
1)
y  3 x2  x  x
3) y 
ln 2 x
ex
2)
y  x2  e x
4) y  
1 1
 x
x2 x
5) Концентрация раствора меняется с течением времени по закону С 
100t
.Найти скорость
1  5t
растворения.
2. Найти вторые производные следующих функций:
x
1) y=(2x+5) ; 2) y  e 5
3
3. Решить задачу:
Рост числа клеток популяции описывается уравнением:
5N 0
(5  N 0 ) e  kt  N 0
Получите формулу для скорости роста численности популяции.
y 
4. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:
1) u  x 3  y  6
ex 1
2) u 
y
sin y
3) u 
ln x
2
5. Решить задачи.
1) Насколько изменится значение функции y  2,5x 4  7,5x 2  8 при изменении её аргумента от
х=2 до х=2,003.
2) Скорость точки задана уравнением V  (2t  4) м/с. Найти изменение скорости точки за 0,001 с.
Домашнее задание №2.
I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы
высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 59-83)
1.
Понятие неопределенного интеграла;
2.
Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
3.
Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)
4.
Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
5.
Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление работы переменной силы.
Таблица основных интегралов.
II. Выполнить задания:
1. Найти производные следующих функций:
ln x  x
1) y 
4) y  sin( x 2  1) 3
x
e
x
e 1
2) y 
5) y  2 x  ln x
3
x
y
3)
1
1

x
x
x4
2. Определить ускорение тела в момент времени t 
v (t )  2 cos(t 

2
1
сек, если скорость тела
2
) и измеряется в м/с.
3. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:
e y 1
x
sin y
2) u 
ln x
3) u  sin y ( x 2  1)
4) u  cos( 2 x  y )
1) u 
5) u  x 2  y 2
Занятие №3. Оценка приращения функции с помощью дифференциала.
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.
Теоретические вопросы:
1. Применение понятия дифференциала в приближенных вычислениях.
2. Понятие первообразной функции;
3. Понятие неопределенного интеграла;
4. Простейшие способы интегрирования:
а) непосредственное интегрирование
б) интегрирование методом подстановки.
5. Таблица основных интегралов.
6. Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции)
7. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла
3
8. Некоторые приложения определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, вычисление
работы переменной силы.
Литература для подготовки:
1. Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 32-36; 59-83.
2. М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов».
На практическом занятии выполнить задания:
1. Решить задачи.
1) При нагревании круга радиусом R=40 мм его площадь увеличилась. Оценить увеличение
площади круга с помощью дифференциала, если радиус круга увеличился на ΔR=0,01мм.
2) При деформации цилиндра радиус его основания R уменьшился c 5 cм до 4,09 cм, а высота h
увеличилась c 10 cм до 10,05 cм. Найти приближенно изменение объёма цилиндра V. Считать
ΔV≈dV. Объём цилиндра V= πR2h.
2. Выполнить задания из [2]:
1) Найти неопределенные интегралы, стр. 21, №№1,3,6,8,10,12, решить задачи 1,2;
2) а) Вычислить определенные интегралы, стр. 26, №№ 1, 2, 4, 7;
б) Вычислить площади фигур, стр. 26, раздел II, №№ 1, 3;
Домашнее задание № 3.
I. Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику Ю.В. Морозова «Основы
высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 82-102)
1. Понятие дифференциального уравнения.
2. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
3. Чем отличается общее и частные решения дифференциального уравнения?
4. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.
5. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.
II. Выполнить задания:
1). При деформации конуса радиус его основания R уменьшился c 30 cм до 20,8 cм, а высота h увеличилась c 60 cм до 60,2 cм. Найти приближенно изменение объёма конуса V. Считать ΔV≈dV. Объём конуса V=1/3πR2h.
2) Давление идеального газа массой m с молярной массой μ зависит от объёма V и температуры T
mRT
P
V , где R – универсальная газовая постоянная.
согласно формуле Клапейрона – Менделеева
Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ΔV и ΔT . Считать ΔP≈dP.
3) Найти следующие неопределенные интегралы:
(2 x 2  5 x  6)dx
e 3 x dx
1. 
4. 
( x  1) 2 dx
sin x  e cos x dx

2.
5. 
dx
cos 7 xdx
 4x  3
3. 
6.
sin x cos xdx
4. 
4) Вычислите определенные интегралы:

1.
2
 sin xdx
3
 (1  2 x  3x
1.
1
0

3
dx
2. 
x
1
10
 cos 5xdx
2.
0
2
e
3.
1
4
x2
x  dx
2
)dx
Занятие №4. Дифференциальные уравнения I порядка.
Дифференциальные уравнения II порядка.
Решение задач с помощью дифференциальных уравнений
Теоретические вопросы.
Понятие дифференциального уравнения.
Чем определяется порядок дифференциального уравнения?
Общее и частные решения дифференциального уравнения.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение на
примере вывода физического закона, определяющего ослабление параллельного монохроматического пучка света при распространении его в поглощающей среде (закон Бугера).
7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение.
2.
3.
4.
5.
6.
Литература для подготовки:
1) Ю.В. Морозов «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 85-92, 99-102.
2) М.С. Федорова «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика и информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов», М.,
2002.
3) Антонов В.Ф., Черныш А.М., Козлова Е.К., Коржуев А.В. Физика и биофизика. ГЭОТАРМедиа.2010.
Самостоятельная работа. Найти неопределенные интегралы:
1.  2e 5 x dx
2.
 cos x  e
3.

sin x
dx
dx
5x  5
На практическом занятии выполнить задания:
1. Найти общие и частные решения следующих задач математического моделирования в биофизике:
1) Фармакокинетическая модель
Уменьшение концентрации лекарственного средства в крови пациента при введении его в организм методом инъекции за единицу времени пропорционально его концентрации в данный момент времени, коэффициент пропорциональности – . Составить дифференциальное уравнение. Найти зависимость концентрации вещества от времени, если при t=0, C=C0, построить график зависимости C(t).
2) Модель естественного роста численности популяции (Модель Мальтуса)
Увеличение численности кроликов, завезённых в Австралию на кораблях Первого флота в 1788 году, за
единицу времени пропорционально их количеству в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – k). Составить дифференциальное уравнение. Найти общее и частное решения, если при t=0,
N= N0. Построить график естественного роста популяции кроликов в Австралии. Проверить полученное
решение на адекватность.
2.Найти общие решения дифференциальных уравнений II порядка:
y   4 y   5 y  0 , при y(0)= -3, y(0)=0.
y   y  0 , при y(0)=0, y(0)=1.
y   12 y   35 y  0 , при y(1)=10, y(1)=2.
3.Решить задачи: а) Груз массой 40 г колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой k=0,36
н/м. Силу трения не учитывать. В начальный момент отсчета времени груз сместили на расстояние х0=4
см от положения равновесия, растянув пружину, и отпустили к нулевой начальной скорости. Определить:
•
закон отклонения груза;
•
отклонение груза от положения равновесия в момент t=𝛑/3;
5
•
частоту колебаний груза.
Решить предыдущую задачу при условии наличия силы трения, v-скорость движения груза. Определить закон движения груза, начертить график движения груза.
Домашнее задание №4.
Решить задачи:
1. Составить дифференциальное уравнение для радиоактивного распада, если скорость уменьшения количества нераспавшихся атомов, пропорциональна их количеству N в данный момент времени (коэффициент пропорциональности – ). Найти общее и частное решения, если при t=0, N= 108.
2.Скорость материальной точки задана уравнением V  (t 2  4) м/с. Составить закон зависимости пути,
пройденного данной материальной точкой, от времени.
3. Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t
выражается уравнением М=5t2+ 6t. Найти скорость реакции.
4. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону
C=C0
где C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.
5.Найти общее решение дифференциального уравнения y  y и подстановкой проверить правильность
найденного решения. Найти частное решение при x=0, y=2.
6.Решить дифференциальные уравнения.
y   2 y   2 y  0
y   4 y  0 .
Занятие №5.Подготовка к контрольной работе-45 мин.
Контрольная работа № 1.
Образец контрольной работы по высшей математике
для медико-профилактического факультета (I семестр).
Вариант №0
1. Найти первую производную и дифференциал функции у = cos3 х.
2. Найти частные производные, частные дифференциалы и полный дифференциал
функций: u=cos(x2/y).
3. Концентрация раствора изменяется с расстоянием по закону
C=C0
центрации.
C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента кон-
4. Шарик совершает колебания по закону
S = 10 sin
Получить формулу для расчета мгновенных скорости и ускорения шарика.
5. Найти неопределённый интеграл:
.
6. Вычислить определённый интеграл:
7. Найти общее и частное решения дифференциального уравнения первого порядка, если при х=0, y=y0 , k=const,
y’= ky.
6
8. Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами
y’’ + 4y=0.
9. Через слой вещества проходит пучок света. Уменьшение интенсивности света (dI),
поглощенного при прохождении через тонкий слой вещества, пропорционально толщине
слоя dx и интенсивности света I, падающего на его поверхность (коэффициент пропорциональности – ). Составить дифференциальное уравнение, решить его и получить
формулу для зависимости интенсивности I от x, если при x=0, I=I0.
7