Олимпиадные задание для II курса ( с решениями)

Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ
2009/2010 уч.год
Задания для 2 курса
1. Найти уравнение движения точки, если ускорение в зависимости от времени
выражается формулой a  1,2t и, если при t  0 расстояние S  0 , а при t  5
расстояние S  20 . (3 балла)
Ответ: S  0,2t 3  t
dv
dS
 1,2t ; dv  1,2tdt ; v  0,6t 2  C1 ;
 0,6t 2  C1 ; dS  (0,6t 2  C1 )dt ;
Решение:
dt
dt
S  0,2t 3  C1t  C 2 ; подставляем условия: 0  C2 ; 20  25  5C1  C2 ; откуда:
C2  0 ; C1  1 . Откуда и следует ответ.
2. Какой наименьший угол могут образовывать векторы
(1-5x; 1; 3) и (-1; 1+4x; 3-3x)? (2 балла)
Решение: Согласно формуле скалярного произведения векторов косинус угла φ
между двумя векторами равен их скалярному произведению, деленному на произведение
длин. В данном случае
 1  (1  5 x)  1  (1  4 x)  3  (3  3 x)
9
cos  

.
2
2
2
2
2
2
2
25 x  10 x  11
(1  5 x)  1  3 (1)  (1  4 x)  (3  3x)
Угол φ будет наименьшим, когда его косинус наибольший. В свою очередь, cos  будет
наибольшим, когда знаменатель 25 x 2  10 x  11 принимает наименьшее значение. Это
1
значение достигается при x  и равно 10.
5
Ответ: arccos 0,9 .
3. Доказать справедливость соотношения
f ( x)  2 f ( / 4  x / 2)  2 f ( / 4  x / 2)  x ln 2 ,
x
где f ( x)   ln cos ydy .
0
Вычислить с помощью найденного соотношения
 2
 
f      ln cos ydy . (5 баллов)
2
0
Указание: Преобразовать интеграл f (x) подстановкой
 2 x
f ( x)  
y   2  z к виду
 ln cos zdz . Учитывая, что sin z  2 sin( z / 2) cos( z / 2) , привести последний
 2
интеграл к сумме трех интегралов.
4. Доказать неравенство
 n 1
n! 
 для натурального n  1.
 2 
Указание: Перемножить очевидные неравенства:
n
(4 балла)
1  n  (n  1) / 2;
2(n  1)  (n  1) / 2;
.................................
(n  1)  2  (n  1) / 2;
n  1  (n  1) / 2.

 r
5. Найти векторные линии для случая векторного поля a  3 . (2 балла)
r
Решение: Уравнение векторных линий
dx dy dz
.


ax a y az
dy
dx
dy dx

;
;

y r xr
y
x
dz dy
2)
;

z  C2 y
az a y
1)
y  C1 x
dz dx

;
z  C3 x
az ax
Векторными линиями являются прямые, проходящие через начало координат.
3)
6. Найти наибольшее значение определителя третьего порядка, составленного из
чисел 0 и 1. (3 балла)
Ответ и указание: 2; показать, что все три члена определителя, входящие в
развернутое выражение со знаком плюс, не могут равняться 1, и рассмотреть
определитель с нулем на главной диагонали и остальными единицами.