Задача 5

Вариант решений представлен организатором олимпиады Юго-Западным государственным университетом (г.Курск)
Задача № 1
Ракета массой m, летящая в

космическом пространстве с
0
выключенным двигателем со
скоростью 0, попадает в облако
пыли средней плотностью  и
L
протяжённостью
L
в
направлении движения ракеты.
Пылинки неподвижны и прилипают к ракете при столкновении с ней.
Площадь поперечного сечения ракеты S. Какую скорость  будет иметь
ракета при вылете из облака пыли? Сколько времени  займёт пролёт через
это облако? (10 баллов).
Решение:

V0
х
L
После того, как ракета пройдёт расстояние х, к ней прилипнет пыль массой
m  Sx .
Из ЗСИ :
откуда
mv 0  (m  m) v ,
v0
v
.
Sx
1
m
.
2 балла (1)
После пролёта всего облака х = L, тогда искомой скоростью будет:
v 
v0
.
SL
1
m
2 балла
Найдём время . Перепишем (1) в виде
1 1
S


x.
v v 0 mv 0
Построим график зависимости 1 v от х. Малое расстояние х ракета
пролетит за малый промежуток времени
t 
1
x .
v
2 балла
1
v
1
v
1
v0
t
х
0
x
L
Т.е. площадь под графиком будет численно равна времени движения:
1 1 1 
L  SL 
    L  1 

2  v 0 v 
v0 
2m 
Ответ: v 
v0
1 1 1 
L  SL 
 L  1 
,   
.
SL

2
v
v
v
2
m

 0

0
1
m
4 балла
Задача № 2
R
По гладкому столу движется, быстро вращаясь вокруг своей оси,
волчок, имеющий форму конуса с размерами указанными на рисунке.
Считая, что ось волчка остаётся вертикальной, определите при какой
скорости  поступательного движения волчок не удариться о край
стола, соскочив с него? (10 баллов)


Решение:
Рассмотрим движение конуса после срыва его вершины с края стола.
Сохраняя свою ось вращения вертикальной конус движется (без учёта
вращения) по ветви параболы, как тело брошенное горизонтально с
начальной скоростью .
2 балла
Выберем оси координат и запишем уравнения движения по осям х и y:
x  t ;
y
gt 2
.
2
2 балла


Исключив
время
получим
уравнение траектории (параболы):
R
х
x
t ,

Н
y
g
2 2
2
x .
2 балла
y
Наименьшая
скорость
должна
обеспечить в момент достижения основанием конуса уровня поверхности
стола (смещение на H по y) смещение на R по оси х. Т.е.:
H
g
2
2
R2
2 балла
Откуда:
Ответ:
R
g
2H
2 балла
Н
Задача № 3
Камень брошен со скалы высотой 20 м, с начальной скоростью 25 м/с. Найдите
дальность полёта мяча по горизонтали, если он брошен под углом 30о вниз от горизонта.
(10 баллов)
Решение:
Запишем уравнения движения по оси х и y:
x  (0 cos ) t ;
(1)
gt 2
y  ( 0 sin ) t 
. (2)
2
2 балла
х

0
В момент падения (х = L,
y  H ) из (1)
L
,. 2 балла
t 
0 cos
H
Тогда из (2)
H  ( tg) L 
L
g
2
202 cos2 
y
L .
2 балла
Получим квадратное уравнение:
L2  k( tg)L  kH  0 ,
202 cos2 
 93,75
где k 
g
После подстановки значений получим:
L2  54,13  L  1875  H  0
2 балла
Решая квадратное уравнение и исключая отрицательный корень, получим:
Ответ: L 
 54,13  10430
 24 м
2
2 балла
Задача № 4
Тело находится на поверхности Земли на широте 600. Определить на какой
угол отклоняется вертикаль от истинного направления вследствие вращения
Земли. Землю считать сферой. (10 баллов)
Решение:
Сила
тяжести

F2
GMm
 mg направлена к
r2
F1 
 
F1 

F
центру Земли и давала бы направление вертикали,
если бы Земля не вращалась. Во вращающейся
системе отсчета на тело действует фиктивная
центробежная сила инерции, направленная по
радиусу от центра окружности вращения
F2  maöñ  m 2 r 
 2 
 m Rç cos   m 
 Rç cos 
T


2
2
Реальная вертикаль направлена вдоль равнодействующих этих сил. Искомый
угол находим из треугольника сил:
F  F12  F22  2F1 F2 cos 600  F12  F22  F1 F2
Из теоремы синусов
F2
F

sin 600 sin 
F2 sin 600
F2 3
sin  


F
2 F12  F22  F1 F2
F1

F2
mg
 2 
m
 Rç cos 
T


2
10   24  3600 
3
2
F 
F
2  1  1 1
F2
 F2 
gT 2
 2

4 Rç cos 
2
576 12.96 106


4 10  6.4 106  0.5
2  6.4 106
580
Откуда
F1
= 580.
F2
sin  
3
2

3
 1.5  103
2  580
F 
F
2  1  1 1
F2
 F2 
  0 sin     ðàä   1.5–3103  57,30–3 86.0 103 ãðàä 
Учитывая малость угла sin    =1.510 рад = 8610 градуса = 5,16
 86.0  103  60  5.16 óãëî âû õ ì èí óò
(минут)
Ответ: 5,16 (минут)
Критерии оценки:
Понимание физической ситуации и направление вертикали
Рисунок
Выражение для центробежной силы
Равнодействующая и искомый угол
Знание величин и расчет
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
Задача № 5
Какую минимальную (по модулю и направлению) силу необходимо
приложить к центру ящика массой 100 кг, стоящему на горизонтальном
полу, чтобы сдвинуть его с места? Коэффициент трения между ящиком и
полом μ = 0,75. (10 баллов)
Решение:
Если сдвигающая сила направлена горизонтально, то ее величина
должна быть не менее:

F
F  FÒð.ñê   mg  750H .
Если вертикально
F  mg  1000 H .

N


Возможно, сила будет
F
тр
минимальной, когда она
направлена под углом к
горизонту.

mg
Моменту сдвига ящика
соответствует
равенство
нулю проекций сил на горизонтальную и вертикальную оси.
F cos   FTP.cê  0
F sin   N  mg  0
N  mg  F sin 
FTP.cê   N   (mg  F sin  )
Подставим последнее выражение для силы трения в первое уравнение и
выразим силу
F cos    (mg  F sin  )  0
F cos    mg   F sin   0
F (cos    sin  )   mg
 mg
F
(cos    sin  )
Дробь, при постоянном числителе, принимает минимальное значение,
когда ее знаменатель максимален. Для определения максимального значения
выражения стоящего в знаменателе дроби можно использовать известный
прием исследования функции на экстремум или способ введения
дополнительного угла, известный из тригонометрии.
a sin   b cos   a 2  b 2 (
a
a b
2
2
sin  
b
a b
2
2
cos  ) 
 a 2  b 2 (cos  sin   sin  cos  )  a 2  b 2 sin(   )
Так как
1  sin(   )  1, òî
 a 2  b 2  a sin   b cos   a 2  b 2
и наибольшее по модулю значение выражения cos   sin  будет равно:
cos   sin   1   2
Тогда наименьшее по модулю значение силы
F  Fmin 
 mg
1 2

0, 75 1000 10
1
9
16
3 4
  106  6000 H
4 5
А угол, под которым эта сила направлена к горизонту, найдем так:
f ( )  cos    sin 
f / ( )   sin    cos   0
sin    cos 
t g  
  arct g   arct g (3 / 4)
Критерии оценки
Рисунок, силы, понимание вариативности внешней силы
Система уравнений и выражение силы F 
Определение минимума модуля силы
Определение направления силы
2 балла
 mg
4 балла
(cos    sin  )
2 балла
2 балла