Олимпиадные задание для I курса ( с решениями)

Олимпиада по высшей математике на физическом факультете КемГУ
2009/2010 уч.год
Задания для 1 курса
1. Отправились друг к другу одновременно в гости по одной и той же дороге Баба-Яга
на мотоступе и Кащей Бессмертный – пешком. Через некоторое время они
встретились. Если бы Кащей двигался со скоростью мотоступы, то встреча
произошла бы на 15 минут раньше, а если бы Баба-Яга шла пешком со скоростью
Кащея – то на 1 час позже. Сколько времени прошло от начала движения персонажей
до встречи? (3 балла)
Решение: Пусть S (км) – расстояние между начальными пунктами; t (ч) – время,
прошедшее от начала движения до встречи; скорости движения Бабы-Яги и Кащея соответственно x и y (км/ч). Из условия задачи вытекает следующая система уравнений:
S  ( x  y )t , S  2 x(t  0,25), S  2 y (t  1).
Выражая x и y из второго и третьего уравнений и подставляя в первое, придем к
уравнению
 S

S
 .
S  t  

 2(t  1) 2(t  0,25) 
После сокращения на S (по смыслу задачи S≠0) и умножения на 2(t  1)(t  0,25)
получаем 2(t  1)(t  0,25)  t (2t  0,75), 0,75t  0,5, t  2 / 3 часа, или 40 минут.
2. Решить уравнение
1
64 cos 2 x  16 2 sin x  .
(3 балла)
4
Решение: Логарифмируя левую и правую части уравнения по основанию 4, приходим к
равносильному уравнению 3 cos 2x  4 sin x  1 . Используя формулу cos 2 x  1  2 sin 2 x и
полагая y  sin x , получаем для y квадратное уравнение 3 y 2  2 y  2  0 , корнями
1 7
1 7
, y2 
. Заметим, что y1  1 , в то время как
3
3
1 7
1 7
. Ответ: x  (1) n arcsin
 n, n  Z .
y 2  1 . Следовательно, sin x 
3
3
3. Точки M и N – середины меньших дуг AB и BC окружности, описанной около
остроугольного треугольника ABC. Определить радиус этой окружности, если
известно, что AC  11 , MN  3 . (4 балла)
4. Решить уравнение
log 4 ( x / 25) log 2 (4 5  x)
.
(5 баллов)

log 2 (5x)
log 4 ( x / 5 )
5. В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD
со стороной 2, боковые ребра пирамиды равны 6 . Через середину L ребра AB и
вершину С проведена плоскость  , которая перпендикулярна грани SAD и
пересекает ребро SD в точке M. Определить отношение SM : MD. (5 баллов)
которого являются числа y1 
Решение 3-5: