Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 49 Выполнила:

Муниципальное образовательное учреждение средняя общеобразовательная
школа № 49
Выполнила:
ученица 11 «М» класса
Боголей Светлана
Учитель: Пирогова Г.С.
Карасук – 2007
Объект исследования: материалы ЕГЭ по математике.
Предмет исследования: способы решения задач на определение множества значений
функции.
Цель исследования: разработка и систематизация оптимальных методов решения задач ЕГЭ
по математике.
Задачи исследования:
1.
Изучить типы заданий ЕГЭ.
2.
Рассмотреть различные способы решений задач на нахождение множества
значений функции.
3.
Сравнить временные затраты на решение задания различными способами.
4.
Выбрать оптимальные методы решения.
Гипотеза: если представить сложную функцию как композицию элементарных функций,
указать множества значений, применить свойства монотонности, то можно найти множество
значений сложной функции, минуя трудоемкий процесс нахождения производной,
экстремумов и т.д., тем самым сэкономить время для решения других задач на экзамене.
Методы исследования:

самостоятельное решение заданий;

обсуждение решений с одноклассниками на уроке и факультативе;

проведение анализа, сравнение, выводы.
Рассмотрим решение задачи с помощью производной.
В7 (вариант 89).Найдите наименьшее значение функции g x   log 0,5 (2  x 2 ).
Область определения функции Dg  : 2  x 2  0 .
Рассмотрим функцию f x   2  x . Графиком этой функции служит парабола, причем ветви
2
её направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс:
2 x  0
2
x 2
x 
2
1
2 ; x2  2
D( g ) :  2  x  2
Найдем производную функции g(x):
1
1
2x
g ' x  

  2 x   
.
2
2
ln 0,5 2  x
2  x ln 0,5

-
2
2

Область определения производной функции:
2
D  g ' : 2  x  0
2
x
x 
1
2
2
x
2
 2
Найдем нули производной g’(x)=0
2x

0
(2  x 2 ) ln 0,5
2x  0
x0
Определим: максимум или минимум принимает функция в точке x=0.
2
x
f x  0.
g’(x)

g(x)
- 2


+
0
min
x
2


Функция убывает на  2 ;0 и возрастает на 0; 2 , следовательно, достигает своего
минимума в точке х=0, равного -1.
Ответ:-1.
Теперь рассмотрим решения типичных задач другим способом: с помощью оценки области
определения.
В7 (вариант 89).Найдите наименьшее значение функции g x   log 0,5 (2  x 2 ).
1) f ( x)  2  x 2
D( f )  R; E( f )  (; 2
f ( x)  y
2) h( y )  log 0,5 y
2
f
x
D(h)  (0; 2
h(2)  log 0,5 2  1
h
E (h)   1;  
Ответ:-1.
y
1
2
-1
В4 (вариант 001).Найдите наибольшее целое значение функции y  5
1) f ( x)  x
f
D( f )  R; E( f )  0; 
f ( x)  z
x
2) g ( z )  5
z
D( g )  0;  
E ( g )  0;1
g ( z)  t
1
 
5
z
g
1
z
3) h  t  11
D(h)  0;1
h(1)  22 ;

E (h)  1; 22
h
22

1
-1
22  4,69
Ответ: 4.
3
1 t
x
 11 .

24

С2 (вариант 90). Найдите множество значений функции y  log 0,5 
 11  1  ln x

f
1) f ( x)  ln x
D( f )  0;  
E( f )  R
f ( x)  z
2) g ( z)  z
D( g )  R
E ( g )  0;  
g ( z)  p
1 x
3)h( p)  1  p
h
1
Dh   0;  ; E h   1;  
h p   t
24
4) t  
;
11  t
 (1)  2
p

D( )  1;  
E ( )  0;2
 (t )  l
5) (l )  log 0,5 l
t

D( )  0;2
1 2
E ( )   1;  
 (2)  log 0,5 2  1
l
-1
Ответ:  1;  .
C2(вариант 95). Найдите множество значений функции
4


 .

y
 3 2  sin x  cos x 
.
arccos


4
2


9
 



sin x  cos x  sin x  sin   x   2 cos sin  x  
4 
4
2



 
 


 3 2  2 sin  x   
 3  cos x   
9
4  9
4 


y  arccos
 arccos






4
4 2










3  sin  x  
4

f x  
4
1 
D f   R; E  f    ;1
2 
f x   z
2) g  z   arccos z
1 
 
D g    ;1; E  g   0; 
2 
 3
9
3 h z   arccos z

E h   0;3.
Ответ : 0;3.
С2 (вариант 89).Найдите множество значений функции y  sin 2 x , если x  arctg 0,5; arctg3.
y
3
arctg3
2arctg3
2arctg0,5
0,5
5
arctg0,5
x
y  sin 2 x, x  arctg 0,5; arctg 3
sin 2 x на промежутке 2arctg 0,5;2arctg 3 возрастает, достигает наибольшего значения в 1
и затем убывает. Вычислим sin 2arctg 0,5 и sin 2arctg 3.
arctg 0,5   , tg  0,5
2tg
2  0,5
1
4



1  tg 1  0,25 0,75 3
1
1
1  tg 2 2 
 cos 2 2 
2
cos 2
1  tg 2 2
1
9
cos 2 2 

16 25
1
9
3
т.к. 2  I четверти  cos 2 
5
sin 2
4 3 4
tg 2 
 sin 2  tg 2  cos 2   
cos 2
3 5 5
arctg 3   ; tg  3
2tg
tg 2  
1  tg 2 
6
3
tg 2  

1 9
4
1
tg 2 2   1 
cos 2 2 
1
cos 2 2   2
tg 2   1
1 16
cos 2 2   25 
25
16
tg 2 
4
5
3  4 3
sin 2   tg 2   cos 2        
4  5 5
т.к. 2   II четверти  cos 2   
3 
Ответ : E (sin 2 x)   ;1.
5 
Выводы: из приведенных выше примеров решения заданий, взятых из ЕГЭ, видно, что
меньше времени на экзамене занимает решение их с помощью оценки области определений.
Для решения таким способом необходимо просто рассмотреть в сложной функции
комбинацию простых. Этот способ значительно облегчает задачу перед учеником на
экзамене. Гипотеза, выдвинутая в начале работы, подтвердилась.
6