Решения задач для старших курсов

№1

  
Найдите векторные линии для случая векторного поля a  c , r  , где c постоянный вектор.
Решение: Выберем систему координат так, что ось
  
ex e y ez
Уравнение векторных линий
dx dy 
 . a0 0 c
ax a y
xyz

z совпадает с вектором c .


 e x cy  e y cx .
dx dy
 .
 cy cx
xdx   ydy . x 2  y 2  C . Векторными линиями являются окружности, лежащие в
плоскостях, перпендикулярных прямой, проходящей через начало координат и имеющей

направление вектора c . Центры этих окружностей лежат на этой прямой.
№2
По горизонтальной балке, лежащей на двух опорах А и В, идет человек. Давление,
испытываемое опорой В, меняется в зависимости от положения человека на балке.
Изобразить графически зависимость между этим давлением и расстоянием человека от
другого конца балки А при следующих числовых данных: вес балки Р=120 кг, длина l  5
м, вес человека р=65 кг.
Решение: Вес балки Р распределяется равномерно на обе опоры; вес человека р
распределяется на опоры обратно пропорционально расстоянию его от этих опор.
Следовательно, давление на опору В:
y
P p
  x.
2 l
Для примера y  60  13 x . Этот график есть отрезок прямой между точками С(0;60),
Д(5;125).
№3
Найти закон движения материальной точки массы m по прямой ОА под действием
отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния точки
x  OM от неподвижного центра О.
k
a2
d 2x k
2
Краткое решение: m 2  3 ; x 
(t  C2 ) 2  C1 ; a 2  .
m
C1
dt
x
№4
Доказать, что оператор, эрмитово сопряженный к неособенному оператору также
неособенный.
1
 Aˆ 1 Aˆ  1 (*).
ˆ  ) 1 , если он существует, такой, что ( Aˆ  )( Aˆ  ) 1  ( Aˆ  ) 1 ( Aˆ  )  1.
Найти ( A
ˆ , такой, что Aˆ Aˆ
Решение: Дано Â - неособенный, т.е. есть A
1
( Aˆ Aˆ 1 )   ( Aˆ 1 Aˆ )   1 ,
( Aˆ 1 )  Aˆ   Aˆ  ( Aˆ 1 )   1 , т.е. обратным к Â будет оператор ( Aˆ 1 )  .
Взяв
сопряжение
от
(*)
получаем:
№5

Вычислить интеграл

1  cos 2 x dx .
0
Решение:
Так как 1  cos 2 x  2 cos 2 x , то искомый интеграл равен

2  cos x dx  2 2 .
0
№6
2 1
1 2 1
0
1 2
Найти определитель девятого порядка
.
..........
0
2 1
1 2
№7
Исходя из дифференциальной формулы для обобщенных полиномов Чебышева1
dn
Лагерра Lsn ( x)  x  s e x n ( x n s e  x ) показать, что полиномы Lsn (x) образуют
n!
dx
x s
ортогональную с весом e x систему функций:
0, m  n ( s  1)


s
s
x s
0 Ln ( x) Lm ( x)e x dx  (n  s  1) , m  n

n!
№8
Найти все решения уравнения sin z 
5
.
3
Решение. Воспользуемся соотношением

arcsin z  i ln iz  1  z 2
для z 

5
, тогда из формулы для вычисления логарифма
3
ln   ln |  | i arg 
с учетом многозначного характера функции   arg  , получим
5
5k
arcsin  i ln 3 
, k  0,1,2,...
3
2