  

8 класс.
Задача 1.
Условие. Найти минимальную скорость υmin , с которой нужно бросить
тело, чтобы оно пролетело над стенкой высоты h, а также скорость пролета

тела над стенкой υк . Расстояние от стенки до места броска a.
Решение. Запишем уравнением траектории движения тела:
gx 2
.
y  x tg   2
2υ0 cos2 
1  cos 2
, y  h , x  a , получим
2
ga 2
.
h  a tg  
2  1  cos 2 
2υ0 

2


Учитывая, что cos  
2
Отсюда
ga 2
υ 
.
a sin 2  h cos 2  h
2
2
Заменим a sin 2  h cos 2 на выражение a  h sin 2    , где
h
  arctg .
a
2
0
Тогда
υ 
2
0
ga 2
sin 2    a 2  h 2  h
или
,
g L2  h 2 
υ 
.
sin 2   L  h
Минимальная скорость будет тогда, когда sin 2     1, т.е.
 1
h
   arctg .
(1)
4 2
a
2
0
Тогда
υmin  g L  h  .
(2)
Воспользовавшись законом равнопеременного движения, запишем
2
2
υк  υmin
 2 gh , откуда, с учетом (1), найдем
υк  g L  h  .
Критерии оценки.
Уравнение траектории
Выражение для высоты
Условие минимума скорости
Расчетные формулы
3 балла
2 балла
2 балла
3 балла
Задача 2.
Условие. На конце доски длиной L и массой m находится маленький
брусок массой M (рис. 2). Доска может скользить без трения по
горизонтальной плоскости. Коэффициент трения скольжения бруска о
поверхность доски равен μ. Какую горизонтальную скорость V0 нужно
толчком сообщить доске, чтобы она выскользнула из-под бруска?
Решение.
По закону сохранения энергии пороговое значение энергии доски, при
котором соскользнет брусок
 m

T

Q
1
 ,

(1)
пор
 M

2
mV
0

где Tпор
– кинетическая энергия доски,
2
Q – изменение кинетической энергии системы.
За время движения изменение кинетической энергии системы будет равно
работе силы трения бруска о доску, т.е.
QMgL
.
Тогда
(2)
2
mV
 m

0


MgL
1

.

2
 M

Отсюда


M
m

M

V

2gL
1


2
gL
1

.




0
m
M

m

(3)
Критерии оценки.
Запись закона сохранения энергии
Пороговое значение энергии бруска
Изменение кинетической энергии системы
Расчетная формула
4 балла
2 балла
2 балла
2 балла.
Задача 3.
Условие. Локомотив находился на расстоянии L  400 м от светофора
и имел скорость V  54 км ч , когда началось торможение. Определите
положение локомотива относительно светофора через одну минуту после
начала торможения, если он двигался с ускорением а  0,3 м с 2 .
Решение. Поскольку после начала торможения локомотив движется
равно замедленно, то его скорость будет изменяться от V0 до нуля по закону:
V  V0  at ,
где V0  54 км ч  15 м с начальная скорость,
t время, за которое локомотив остановится.
Отсюда время торможения
V0 15

 50с.
a 0,3
При этом до остановки локомотив пройдет путь
t
V02
15 2

 375 м.
2a 2  0,3
Таким образом, через одну минуту после начала торможения
локомотив будет находиться относительно светофора на расстоянии
S
l  L  S  400  375  25 м.
Критерии оценки.
Закон изменения скорости локомотива
2 балла
Расчет времени торможения
Понимание того, что время торможения меньше заданного
Расчет пути, пройденного до остановки
Определения искомого расстояния
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла.
Задача 4.
Условие. Артиллерийское орудие стреляет из под укрытия,
наклоненного под углом   60  к горизонту. Орудие находится в точке A на
расстоянии l  5 м от основания укрытия (точка В ). Начальная скорость
снаряда равна V0  600 м с , траектория снаряда лежит в плоскости рисунка.
Определите максимальную дальность полета снаряда.
Решение. Определим угол полета снаряда, при котором будет
соблюдаться условие максимума дальности полета. Рассмотрим движение
снаряда в прямоугольной декартовой системе координат.
В этой системе горизонтальная составляющая начальной скорости
снаряда равна
V0 X  V0 cos  ,
а вертикальная составляющая равна
V0Y  V0 sin  ,
где  угол, который составляет с горизонтом направление начальной
скорости снаряда.
Траекторией движения снаряда в данном случае будет парабола.
Движение по этой траектории представляет собой комбинацию двух простых
движений: по горизонтали это равномерное движение со скоростью V0 X , а по
вертикали
равноускоренное движение с начальной скоростью V0Y и
ускорением свободного падения g . В вертикальном направлении скорость
снаряда будет изменяться по закону
VY  V0Y  gt  V0 sin   gt .
В точке максимального подъема вертикальная составляющая скорости
будет равна
VY  0  V0 sin   gt под ,
где t под время подъема снаряда на максимальную высоту. Отсюда
t под 
V0 sin 
.
g
В силу симметрии получим:
2V0 sin 
.
g
Тогда по закону равномерного движения дальность полета равна
t пол  2t под 
2V0 sin  V02
S  V0 X  t  V0 cos  

 sin 2 .
g
g
Отсюда следует, что максимальной дальность полета будет при
sin 2  1. Тогда угол   45 .
Т.к. угол стрельбы  меньше угла наклона укрытия  , то снаряд в
укрытие не попадет при любой начальной скорости полета. Поэтому
S max
V02 600 2


 36000 м  36км.
g
10
Критерии оценки.
Разложение начальной скорости снаряда
Определение характера траектории
Определение времени подъема и времени полета
Определение угла выстрела
Конечный результат
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла
2 балла.
Задача 5.
Условие. Муравей бежит от муравейника по прямой так, что его
скорость обратно пропорциональна расстоянию до центра муравейника. В
тот момент, когда муравей находился в точке А на расстоянии l1  1м от
центра муравейника, его скорость равна V1  2 см с . За какое время t
муравей добежит от точки А до точки В , которая находится на расстоянии
l 2  2 м от центра муравейника?
Решение. Скорость муравья меняется со временем не по линейному
закону. Поэтому средняя скорость на разных участках пути различна, и
пользоваться для решения известными формулами для средней скорости
нельзя.
Разобьем путь муравья от точки А до точки В на малые участки,
проходимые за одинаковые промежутки времени t . Тогда
l
,
Vср
средняя скорость на данном участке l .
t 
где Vср
Нарисуем зависимость величины 1 Vср от l на пути от точки A до
точки B . Этот график отрезок прямой (см. рисунок); заштрихованная на
рисунке площадь под этим отрезком численно равна искомому времени.
Вычислим ее:
S
Т.к.
1 V1  1 V2
l2  l1 .
2
1 1 l2
, то

V2 V1 l1
 1
l22  l12
1 l2 
l2  l1  
S  

.
2
V
2
V
l
2
V
l
 1
1 1 
1 1
Таким образом, муравей добежит от точки A до точки B за время
2 2  12
t
 75c.
2  2  10  2  1
Критерии оценки.
Поминание невозможности применения формул для средней
скорости
Разбиение пути на участки
Понимание того, что площадь равна времени
Конечный результат
2 балла
3 балла
3 балла
2 балла.