Тема 1. Линейная алгебра

Система m линейных уравнений с n
переменными имеет вид:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

.........................................
am1x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
aij
bi
- коэффициенты системы,
- свободные члены.
Решением системы называется такая
совокупность значений, при подстановке которых
каждое уравнение системы обращается в верное
равенство.
Классификация систем линейных алгебраических
уравнений :
совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
несовместной, если она не имеет решений;
определенной, если она имеет единственное
решение;
неопределенной, если она имеет более одного
решения;
однородной, если все bi = 0;
неоднородной, если не все bi = 0.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
1. Матричный метод
Рассмотрим систему n линейных уравнений c n неизвестными:
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

............................................

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
 x1 
 
 x2 
X  
....
 
x 
 n
Обозначим:
 a11 a12...a1n 


 a21 a22...a2 n 
A
..................... 


 a a ...a 
 n1 n 2 nn 
матрица коэффициентов
системы
 b1 
 
b
матрица-столбец B   2 
 .... 
переменных
 
b 
 n
Запишем эту систему в матричном виде.
1
A X  B
X  A B
матрица-столбец
свободных членов
- решение системы
 x1  2 x2  x3  0
Решить систему Матричным методом: 2 x  x  3x  0
 1 2
3
ВВЕДЕМ СЛЕДУЮЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:  x  x  x  1
3
 1 2
Основная
матрица
системы А:
 1 2 1
A =  2 1 3 
1 1 1 


Матрица
Матрица
переменных свободных членов (bi системы Х: стоят после знака =) В:
X
 x1 
 
  x2 
x 
 3
0
B   0 
1
 
1. Вычислим определитель матрицы (используя
правило треугольников):
1 2 1
1  1 1  2 1  1  2  3 1  
det A  2 1 3  
 5  0
 1  1   1  1 3 1  2  2 1 

1 1 1 
Вспомним тему: Алгебраические дополнения и
миноры
 a11 a1 j ......a1n  В квадратной матрице n-го

 порядка рассмотрим элемент aij.
 ai1 aij ......ain  Вычеркнем i-ю строку и j-ый
A
 столбец, на пересечении которых
 ......................  стоит элемент aij. В результате
матрица
(n-1)-го
 a a .. .. a  получается
nn 
 n1 nj
порядка.
Минором Мij к элементу aij матрицы n-го порядка
называется определитель матрицы (n-1)-го порядка,
полученной из исходной матрицы вычеркиванием
строки и
i-й
j-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аij к элементу aij
матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со
знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-»,
если сумма нечетная: A   1 .i  j M
ij
ij
 
Вспомним тему : Обратная матрица
Матрица А является невырожденной (неособенной),
если |А|≠0, иначе матрица называется вырожденной
(особенной).
Матрица
А-1
называется
обратной
матрицей
к
квадратной матрице А, если при умножении этой
матрицы на данную как справа, так и слева получается
единичная матрица: 1
1
A  A  A A  E
 А11 А 21  А n1 


1  А12 А 22  А n 2 
1
A  
A  


А А  А 
2n
nn 
 1n
алгебраические
дополнения к элементам
строки
записаны
в
столбец
2. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы и
составим обратную матрицу:
1 3
A11   111 
 4
1 1
2 3
A12   11 2 
1
1 1
2 1
A13   113 
3
1 1
2 1
2 1
3

1
2

1

5
A21   1

 3 A31   1
1 3
1 1
1 1
3 2  1  1  5
2

2
A



1

A22   1

 2 32
2 3
1 1
33  1 2  5
1 2
2

3
A



1

33
A23   1

1
2 1
1 1
3. Записываем полученные алгебраические дополнения в
обратную матрицу (!ВАЖНО: дробь НЕ вносим в скобки):
5
 4 3
Т
1 

A-1 = 1
A

1
2

5

5 
A
матрица A
1 5 
 3
 
состоит из
алебраич-х
дополнений (из п.2 реш-я),
к ней применяем Т транспонирование
4. Запишем все данные в уравнение для нахождения переменных:
X=
 4 3 5   0 
1 
-1
A  B   1 2 5    0 
5 
  
 3 1 5   1 
Вспомним тему : умножение матриц
Произведением матрицы А размера m x n на матрицу
В размера n x k есть матрица С размера m x k ,
каждый элемент которой вычисляется по формуле:
n
cij   ais  bsj .
s 1
матр  ца A  раз  ра m  n 
C  A  B  существует
матр  ца B  раз  ра n  k   матр  ца C  разм  ра m  k
Вывод: n

n
число столбцов первой матрицы должно
равняться числу строк второй матрицы.
3
 1
1 0 2 
 3 11


  5 2 




2 7  раз  р
р
 3 1 0  раз



23
22
4  раз  р
 2
32
c11  1 (1)  0  5  2  2  3
c12  1 3  0  (2)  2  4  11
9
!ВАЖНО: НИКАКИХ ДРУГИХ
ОБОЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ МАТРИЦ, КРОМЕ
А, В и Х В РЕШЕНИИ НЕ
ДОПУСКАЕТСЯ !!!
 5
 5 
 4 3 5   0 
 (4  0)  (3  0)  (5 1)     1
1 
  1 
  5   
1
X  A  B    1 2 5    0     (1 0)  (2  0)  (5 1)  
 1


5 
5 
5  




 3 1 5   1 
 (3  0)  (1 0)  (5 1)   5   1 
 
 5 
6. Ответ: x1  1, x2  1, x3  1.
5. Решение системы:
2. Метод Крамера
Рассмотрим систему
неизвестными:
n
линейных
a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1
22 2
2n n
2

............................................

an1 x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn
Теорема Крамера:
Пусть
ΔA
уравнений
a11
 А( определитель
основной
матрицы А системы
для СЛАУ 3 го порядка ,
т.е. матрица А размера
3 х 3)
c
n
a12
a13
 a21 a22
a31 a 32
a 23
a33
I
II
III
 b1 
 
B   b2 
b 
 3
- определитель матрицы
системы (см.
Тему 2. Определители и матрицы),
Δj
матрицы
- определитель матрицы, получаемой из
A
заменой
столбца (начиная с I столбца)
коэффициентов аij при xi столбцом свободных
членов bn.
Тогда, если Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение,
j
определяемое по формулам:
xj 

Вспомним тему: Определители
Определитель квадратной матрицы – это число,
вычисляемое по определённым правилам.
Обозначают: |А|, ΔА, det A .
Определитель 2-го
порядка:
a11 a12
2 
 a11  a22  a21a12
a21 a22
2 3

 2  5  1 3  7
1 5
Боковая
диагональ
Главная
диагональ
Определитель 3-го порядка:
Правило Саррюса (правило треугольников)
a11 a12
a21 a22
a13
a11a22a33  a21a32a13  a12a23a 31
a 23 
a31 a 32
a33
 a31a22a13  a21a12a33 a 32a23a11
1 1 1
  2 1 1  1 1  2  (1) 1 1  2 1 1  1 1 1  1 1 1  2  2  (1)  5
1 1 2
Пример. Решить систему методом Крамера:
 x1  2 x2  x3  0

2 x1  x2  3x3  0
x  x  x  1
3
 1 2
1 2 1
Решение. 1)Определитель матрицы системы:   2  1 3  5  0
1
2) Вычислим определители
0 2 1
1  0  1 3  5
1
1
1
Δ1, Δ2, Δ3 :
1 0 1
 2  2 0 3  5
1
1
1 1
1
2
0
 3  2  1 0  5.
1
1
1
1
3) Подставим полученные значения в формулу Крамера:
1
5
x1 

 1,

5
2
5
x2 

 1,

5
3  5
x3 

1

5
3. Метод Гаусса
Рассмотрим систему m линейных уравнений c n неизвестными:
a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

.........................................
am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  bm
Есть два способа решения методом Гаусса:
1) классический  метод последовательного исключения
переменных, который заключается в последовательном выполнении
двух этапов, которые называют прямой ход и обратный ход ( !
ВАЖНО: ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ ПОЛЬЗУЕМСЯ ТОЛЬКО
ЭТИМ СПОСОБОМ, описание в файле Методические указания к
практическому заданию 2);
2) через расширенную матрицу системы:
Apасшир

  a11 a12 a13    a1n

 

  a21 a22 a23    a2 n
 A
B

основная матрица 
       
матрица свободных
 системы

 ( а ) членов
  a a a  a
(
b
)
ij
i
mn

  m1 m 2 m3
b1 

b2  - расширенная
     матрица
 системы
bm 
Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
 a11 a12

 a 21 a 22
a
a32
 31
 

 am1 am 2
a13
a 23
a33

am3
 a1n 

 a 2n 
 a3n 

 

 amn 
M2 
a12
a1n
a32
a3n
Выделим в этой матрице k произвольных строк и k
произвольных столбцов. Элементы матрицы А, стоящие
на пересечении выделенных строк и столбцов,
образуют определитель k - того порядка.
Минором
k-го
порядка
матрицы
А
называют
определитель,
полученный
из
А
выделением
произвольных k строк и k столбцов.
Рангом матрицы называется наибольший порядок
отличного от нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5 


A  0  2 3 1 
0 2 2  4


Матрица А имеет 4 минора 3 - его порядка,
например:
18 миноров 2 - го порядка, например:
2 3 4
0  2 3  20
0
2 3
 4
0 2
12 миноров 1 - го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r( A )  3
2
2
Базисным минором называется определитель, порядок
которого равен рангу матрицы. Он может быть не
единственным.
Теорема.
Эквивалентные преобразования не меняют ранга матрицы.
Эквивалентные преобразования:
Умножение или деление элементов одного ряда на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух рядов
Прибавление к элементам ряда элементов другого
параллельного ряда, умноженного на произвольный
множитель
Вычеркивание нулевого ряда