элементы матричной алгебры

Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ АЛГЕБРЫ
1.1. Виды матриц
Матрицей A размера m  n
называется прямоугольная таблица, состоящая из
aij элементов:
 a11 a12
A   a21 a22
... ....
 am1 am 2
...
...
...
...
a1n 
a2 n 
... 
amn 
(1.1)
В общем случае матрица имеет m строк  i  1,2,..., m 
и n столбцов
 j  1,2,..., n  .
Возможные обозначения матрицы:
A   aij   aij , i  1,2,..., m; j  1,2,..., n
Пример 1.1. Числовая матрица A размера 2×3
имеет вид

7
2
4

7
2
4


.
A

3 0 5
 3 0 5
(1.2)
Матрица размером 1 n , состоящая из одной строки,
называется матрицей – строкой:
b11
b12 ... b1n , m  1 , или b1 b2 ... bn  .
(1.3)
Аналогично этому имеет место матрица – столбец
размера m×1:
 b11 
 b1 
 b21 
 b2 
(1.4)
 ...  , n  1, или  ...  .
bm1 
bm 
Транспонированная матрица. Если в матрице A (1.1)
типа m×n строки заменить соответственно столбцами,
то получим транспонированную матрицу AT
размерности n×m:
 a11 a21 ... am1 
AT   a12 a22 ... am 2  .
(1.5)
... ... ... ...
 a1n a2 n ... amn 
Для матрицы A (1.2) транспонированная матрица AT
имеет вид
7 3 

AT   2 0  .
 4 5
Квадратная матрица
Например, квадратная матрица 3-го порядка имеет вид
 a11 a12 a13 
A   a21 a22 a23  .
 a31 a32 a33 
(1.6)
Частные виды квадратных матриц
Квадратная матрица A   aij  называется симметричной,
если она совпадает со своей транспонированной, т.е.
T
A  A . Из этого равенства следует, что элементы
матрицы, симметричные относительно главной
диагонали, равны между собой: aij  a ji . Например,
 11 3 7 5 
A   3 12 6 2  – симметричная матрица
 7 6 13 0 
 5 2 0 14  4-го порядка.
Пример 1.2.
 a11 a12 a13  – верхняя треугольная матрица,
 0 a22 a23 
 0 0 a33 
 a11 0 0 
 a21 a22 0 – нижняя треугольная матрица.
 a31 a32 a33 
Диагональная матрица. Это квадратная матрица,
у которой главную диагональ образуют произвольные
; все прочие
элементы, отличные от нуля
элементы равны нулю
. Например,
– диагональная матрица 4-го порядка.
Единичная матрица. Это диагональная матрица,
у которой элементами главной диагонали являются
единицы. Единичная матрица обозначается буквой E
и выполняет роль единицы в матричном исчислении.
Пример 1.3.
1 0 0 
E  0 1 0  – единичная матрица 3-го порядка.
0 0 1 
1.2. Операции с матрицами и их свойства
Равенство матриц.
Сложение матриц. Сложение двух матриц A и B
дает матрицу С:
A B C,
где cij  aij  bij , i  1,..., m ; j  1,..., n .
Умножение матрицы A на число λ дает матрицу B,
элементы которой получаются умножением всех
элементов матрицы на коэффициент λ , т.е.
 a11 a12 ... a1n 

a

a
...

a

21
22
2n 
A  A  B  
...
... ... ...  .
am1 am 2 ... amn 
Произведение двух матриц. Даны две
Прямоугольные матрицы A и B, имеющие
соответственно размеры m1×n1 и m2×n2. Если число
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, , т.е.
n1  m2 ,
то возможно их произведение
(1.7)
A B  C.
(1.8)
Согласно (1.8) элемент Cij равен сумме
произведений элементов строки i матрицы A на
соответствующие элементы столбца j матрицы B.
j
A


m1  i


n1



m2 



B
j


m1 


i
n2
n2
Рис. 1.1 Схема операции умножения матриц
C
Пример 1.4. Найти произведение AB  C
2  1 


1 3
3 2 8 1 


A
,
B


0 1 
1

4
0
3




3 1 
3   1  2   3  8  1  1  1 
 3  2  2 1  8  0  1 3
11 0 
AB  

C


 7 14
1  2   4   1  0  0  3  3 1   1   4    3  0  1  3  1
Пример 1.5. Найти произведение квадратной
матрицы и вектор–столбца.
1 2 3 1  1  1  2  2  3  3  14 
 4 5 6    2    4  1  5  2  6  3  32 
7 8 9   3   7  1  8  2  9  3 50 
Произведение двух матриц не обладает
переместительным свойством:
AB  BA ,
в чем можно убедиться на примере:
A  1 2 , B  5 6 , тогда
3 4
7 8 
AB  19 22 и
 43 50 
BA   23 34  .
 31 46
1.3. Определитель матрицы
Прямой способ приемлем для матриц 2-го и 3-го
порядков.
Обратимся к матрице 2-го порядка
a11 a12  .

A
 a21 a22 
(1.10)
Определителем (или детерминантом) этой матрицы
является число, равное a11a22  a21a12 .
Пример 1.6. Вычислить определитель 3-го порядка
1 2 3
0 4 5  1  4  8   2    5   6  0  7  3  6  4  3  0   2   8  1   5   7  55
6 7 8
Линейная зависимость и линейная комбинация
элементов матрицы
Запишем два столбца:
 a1 
 a1 
 a1 
a 
A1   2  , A2   a2     a2  ,
 ... 
 ... 
... 
am 
 am 
 
 am 
где λ – действительное число.
(1.14)
Указанные столбцы A1 и A2 являются линейно
зависимыми, вследствие их связи через коэффициент
пропорциональности λ.
Свойства определителей
1. Равноправие строк и столбцов
2. Если все элементы какого-либо столбца (строки)
определителя равны нулю, то сам определитель равен
нулю
3. При перестановке местами двух любых
столбцов определителя его знак изменяется
на противоположный; абсолютная величина
не меняется
4. Определитель с двумя одинаковыми столбцами
(строками) равен нулю:
1 1 4
  0 0 5  15  15  0
3 3 6
5. Если какой-либо столбец определителя
является линейной комбинацией других его столбцов,
то определитель равен нулю
6. Определитель не изменится, если к любому его
столбцу прибавить произвольную линейную
комбинацию других столбцов
7. Общий множитель некоторого столбца (строки)
определителя можно вынести за знак этого определителя
1.4. Алгебраические дополнения и миноры
Рассмотрим определитель D 3-го порядка (n = 3):
a11 a12 a13
(1.24)
D  a21 a22 a23 .
a31 a32 a33
Выделим в нем, например, элемент aij = a13.
a21 a22
M13 
a31 a32
Минорами элементов a11 a12 определителя (1.24)
являются
M11 
a22 a23
a21 a23
M

12
a32 a33 ,
a31 a33 .
(1.26)
Алгебраическое дополнение
Aij  ij  (1)i j M ij
На рис.1.1 показаны знаки сомножителя (-1)i+j
для определителя 3-го порядка
  
  
  
Рис. 1.2
Формула разложения определителя порядка n
по элементам строки i (i = 1, 2, …, n) имеет вид
n
n
j 1
j 1
D  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  aij Aij  ...  ain Ain   aij Aij   aij (1)i  j M ij
Пример 1.9. Проверить, что для треугольных
матриц определитель равен произведению
диагональных элементов и det A = det AT:
1
A  0
0
0
2
4
0
0
1
2
1
0
2
1
1  AT   2
3 ,
1
 2
3 
0
4
2
1
0
0
1
3
0
0
0 .
3 
Определитель матрицы A находим посредством
алгебраических дополнений по элементам последних
строк, т.е.
1 2 1
1
2
det A  3  0 4 2  3  1 
 3  1  4  1  12 .
0
4
0 0 1
1.5. Обратная матрица
Обратной матрицей A-1 по отношению к исходной A
называется такая матрица, которая, будучи умноженной
на исходную слева или справа, даст единичную матрицу:
AA1  A1 A  E .
(1.28)
Для невырожденной квадратной матрицы A
обратная матрица имеет вид
A11 A21
1 A12 A12
1
A 
det A ... ...
A1n A2 n
...
...
...
...
An1
An 2  A .
... det A
Ann
(1.33)
Обращение матрицы можно осуществить
по следующему правилу.
1. Вычислить определитель исходной матрицы
Δ = det A.
2. Сформировать матрицу из алгебраических
дополнений всех элементов исходной матрицы
Aij  (1)i j M ij .
3. Транспонировать матрицу алгебраических
дополнений, что дает присоединенную матрицу
по отношению к исходной матрице A.
4. Каждый элемент присоединенной матрицы
разделить на определитель исходной матрицы Δ.
Пример 1.10. Произвести обращение матрицы
 
A 2 4
1 4
и доказать, что она обратная.
Решение
1.   det A  2  4  1 4  4 – определитель.
2.
3.
 
4 4 – транспонированная матрица
 1 2 из алгебраических дополнений.
4 1
4 2 – матрица из алгебраических
дополнений.



1 4 4
1
4.

 1
– обратная матрица.

1
2

0.25
0.5
4
Доказательство: Если A-1 – обратная матрица,
то справедливо выражение AA-1 = E.
 

 
2 4
1
1   2  1  4  0.25 2   1  4  0.5   1 0
1 4 0.25 0.5  1 1  4  0.25 1   1  4  0.5  0 1
1.6. Системы линейных алгебраических уравнений
Предположим, что задана система m линейных
уравнений относительно n неизвестных x1, x2, …, xn.
В развернутой форме её можно записать так:
a11 x1  a12 x2 
 a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2 
…
 a2 n xn  b2
am1 x1  am 2 x2 
 amn xn  b.m
(1.34)
Введем матрицу системы A и вектор-столбцы X и B:
 a11 a12 ... a1n 
 x1 
 b1 


 
 
A   a21 a22 ... a2 n  , X   x2  , B   b2  ,
... ... ... ...
x 
b 
a a

...
a
mn 
 n
 m
 m1 m 2
что позволяет систему (1.34) записать более компактно
в матричной форме:
(1.35)
AX  B .
1 ,  2 , ,  n
Совокупность чисел
называется решением системы (1.34), если
в результате замены неизвестных
x1  1 , x2   2 , , xn   n
все уравнения системы дадут арифметические тождества.
Примером системы, обладающей единственным
решением является, например:
x1  x2  2
x1  x2  0.
Её решением служат значения неизвестных:
x1  x2  1 .
Система
x1  x2  1
2 x1  2 x2  2
имеет бесчисленное множество решений.
Действительно, запишем уравнение в виде
x2  1  x1 .
Уравнения
x1  x2  1 , x1  x2  2
образуют несовместную (противоречивую) систему.
Пример 1.11. Решить линейную систему 3-х
уравнений с 4-мя неизвестными
x1  2 x2  3x3  5 x4  14 ,
4 x1  3 x2  0 x3  9 x4  10 ,
3x1  0 x2  x3  5 x4  6 .
(1.40)
Решение. Применим в качестве базисных неизвестных
x1 , x2 , x3 ,
что позволяет (1.40) представить в следующем виде:
x1  2 x2  3x3  14  5 x4 ,
4 x1  3x2  0 x3  10  9 x4 ,
3x1  0 x2  x3  6  5 x4.
Общее решение:
(1.41)
x1  1  1.5 x4 ,
x2  2  x4 ,
x3  3  0.5 x4 ,
в котором базисные переменные линейно выражаются
через свободную переменную x4.