Введение в линейную алгебру

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА
ИМ. АДМИРАЛА С.О.МАКАРОВА
И. В. Войтко
МАТЕМАТИКА
ВВЕДЕНИЕ
В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ
a11 a12
a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
Санкт-Петербург
2015
2
Рецензенты:
Доцент кафедры математики ГУМРФ И. В. Кузьмина
Кандидат физико-математических наук В. О. Кузнецов
Войтко И.В.
Введение в линейную алгебру: Учебно-методическое пособие по математике. – СПб.: ГУМРФ, 2015. – 33 с.
Пособие предназначено для студентов первого курса всех форм обучения ГУМРФ. Содержит краткие теоретические сведения и подробное
решение типовых задач по темам: определители, матрицы, системы линейных уравнений.
 Государственный университет
Морского и речного флота
им. адмирала С.О.Макарова, 2015
2
3
Содержание
1. Матрицы и определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1. Понятие матрицы. Виды матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2. Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Определители первого и второго порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
4. Определители высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
5. Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Матричный метод решения системы линейных уравнений . . . .
20
3. Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Система линейных однородных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3
4
Гл. 1. Матрицы и определители
§1. Понятие матрицы. Виды матриц
Матрицей размера m  n называется прямоугольная таблица, состоящая из т строк и n столбцов:
a1n 
 a11 a12
a
a22
a2n 
21

, где aij — элементы матрицы.
Amn 




amn 
 am1 am2
Для обозначения матриц используют заглавные буквы латинского
алфавита: А, В, С,…, а для элементов матрицы — маленькие буквы: a, b,
c,…. Чтобы в обозначении элемента отразить его местонахождение в матрице, все элементы матрицы обозначают одной буквой, снабженной двумя
индексами aij , из которых первый индекс i обозначает номер строки, а
второй индекс j ― номер столбца, в котором расположен данный элемент.
Например, a12 ― элемент матрицы, расположенный в первой строке
и во втором столбце.
Матрица, состоящая из чисел, называется числовой.
Пример 1.
 3 0 2 
Матрица B23  

 1 5 4 
содержит 2 строки и 3 столбца, т.е. имеет размерность 2  3 ; ее элементы:
b11  3, b12  0, b13  2 ,
b21  1, b22  5, b23  4 .
Две матрицы А и В называются равными  A  B  , если они одинаковой размерности (т.е. имеют одинаковое количество, строк и столбцов) и
их соответствующие элементы равны. Так, если
a 
b 
a
b
A   11 12  и B   11 12  ,
 a21 a22 
 b21 b22 
4
5
то A  B , если a11  b11, a12  b12 , a21  b21, a22  b22 .
Матрица, состоящая из одной строки  m  1 , называется матрицейстрокой, а матрица, состоящая из одного столбца  n  1 ― матрицейстолбцом.
Пример 2.
С11   3 ― матрица, состоящая из одного элемента;
 3
A14  1 0 2 1 ― матрица-строка; B31   4  ― матрица-столбец.
5
 
Квадратной называется матрица, в которой число строк равно числу
столбцов
 m  n .
Порядком квадратной матрицы называется число ее
строк (столбцов).
Например,
 a11 a12 a13 
A3   a21 a22 a23  ― квадратная матрица третьего порядка.
a

 31 a32 a33 
Элементы a11, a22 , a33 , , ann квадратной матрицы An образуют ее
главную диагональ.
Единичной называется квадратная матрица, у которой все элементы,
стоящие на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы равны нулю. Единичная матрица k-го порядка обозначается Ek или просто E .
Например,
1 0
E2  
 ― единичная матрица 2-го порядка;
0
1


1 0 0
E3   0 1 0  ― единичная матрица 3-го порядка.
0 0 1


5
6
§2. Действия над матрицами
1. Сложение матриц. Матрицы одинаковой размерности можно
складывать. Суммой двух матриц Amn и Bmn называется матрица той же
размерности Cmn  Amn  Bmn , элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В:
cij  aij  bij , где i  1,2,..., m; j  1,2,...., n .
Аналогичным образом определяется разность двух матриц.
Пример 3.
 0 1 1
7
A
;
B


 4
2 5 3 

Решение.
0 1
A B 
2 5
0 5
. Найти матрицы A  B и A  B .
1 2 
1  7 0 5   7


3   4 1 2   2
 0 1 1  7 0 5   7
A B 
   4 1 2    6
2
5
3

 
 
1 4
;
6 5 
1 6 
.
4 1 
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы Amn на
число  называется матрица Bmn   Amn , элементы которой равны произведению числа  на соответствующие элементы матрицы А:
bij  aij , i  1,2,..., m; j  1,2,..., n .
Пример 4.
 1 0
 1 4 
Пусть A  
,
B


 0 2  . Найти матрицу C  2 A  3B .
 2 3


Решение.
 1 0   1 4   2 0   3 12   1 12 
C  2 A  3B  2 
  3



.
 2 3   0 2   4 6   0 6   4 12 
6
7
3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно
числу строк второй.
Произведением матрицы Am p на матрицу B pn называется матрица Cmn
Am p  Bpn  Cmn ,
элементы которой определяются по правилу “строка на столбец”: каждый
элемент cij матрицы-произведения представляет собой сумму попарных
произведений элементов i -й строки первой матрицы на элементы j -го
столбца второй матрицы
cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ...  aip  bpj , i  1,2,..., m; j  1,2,..., n .
В результате перемножения двух матриц получается матрица, число
строк которой равно числу строк первой матрицы, а число столбцов ―
числу столбцов второй матрицы.
Пример 5.
Вычислить произведения матриц A  B и B  A , где
 1 2
2 1 0 
, B   7 1  .
A

 3 0 1
 9 5


Решение.
Произведение A23  B32 имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
A23  B32  C22 .
 1 2
2 1 0  
A B  
  7 1  

 3 0 1  9 5 


2  2  1 1  0  5   5 5 
 2 1  1 (7)  0  9


.
 3 1  0  (7)  (1)  9 3  2  0 1  (1)  5   6 1 
В данном случае произведение B32  A23 также имеет смысл:
B32  A23  D33 .
7
8
 1 2
2 1 0 
B  A   7 1   

3
0

1


 9 5


1 1  2  0
1  0  2  (1)   8
1 2 
 1 2  2  3



  (7)  2  1  3 (7) 1  1  0 (7)  0  1  (1)    11 7 1  .
 9 2  53
9 1  5  0
9  0  5  (1)   33 9 5 

Замечание. Обратите внимание на следующие особенности операции
умножения матриц:
 Если произведение A  B имеет смысл, то после перестановки множителей местами произведение B  A может и не существовать. Например A32  B21  C31 , а произведение B21  A32 не существует.
 Даже если произведения A  B и B  A существуют, они могут быть
матрицами разных размерностей (см. пример 5).
 В том случае, когда оба произведения A  B и B  A существуют и являются матрицами одинаковой размерности (это возможно только
при умножении квадратных матриц одного порядка), вообще говоря,
A B  B  A.
Квадратные матрицы А и В, для которых A  B  B  A называются перестановочными (коммутативными). Коммутативностью обладает произведение любой квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же
порядка:
A E  E  A  A .
Покажем это на примере квадратной матрицы второго порядка:
a   1 0   a11 1  a12  0 a11  0  a12 1   a11 a12 
a
A  E   11 12   

  A.

 a21 a22   0 1   a21 1  a22  0 a21  0  a22 1  a21 a22 
Аналогично E  A  A.
Для перечисленных операций над матрицами справедливы следующие свойства:
1. A  B  B  A ;
4. A B  C   AB  AC ;
2.  A  B   C  A   B  C  ;
5.  ( AB)    A  B  A    B  ;
3.   A  B    A   B ;
6. A BC    AB  C .
8
9
4. Транспонирование матрицы. Транспонированием матрицы называется такое ее преобразование, в результате которого строки матрицы
становятся столбцами с сохранением порядка их следования. Транспонированную матрицу обозначают символом AT . Из определения следует, что
если матрица А имеет размерность m  n , то танспонированная матрица
AT имеет размерность n  m .
Пример 6.
 2 4
T
 2 5 7
, A   5 0  .
A

 4 0 6
7 6


Свойства операции транспонирования матриц:
 
1. AT
T
3.  A  B   AT  BT ;
T
 A;
2.   A   AT ;
4.  AB   BT AT .
T
T
§3. Определители первого и второго порядков
Каждой квадратной матрице соответствует определенная числовая
характеристика, называемая определителем (или детерминантом). Определитель матрицы А обозначается символом A или det A .
Определителем матрицы первого порядка A   a11  или определителем первого порядка называется число A  a11 .
Пример 7.
A   5 , A  5 ;
B   3 , B  3 .
Определителем второго порядка называется число, равное
A
a11 a12
 a11a22  a12a21 .
a21 a22
Пример 8.
 2 5
A
,
1
7


A
2 5
 2  7  5 1  9 .
1 7
9
10
Замечание. Обратите внимание! Чтобы отличить матрицу (таблицу) от
определителя (числа), матрицы принято обозначать круглыми скобками




 , а определители ― прямыми скобками

.
Свойства определителей
1. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:
A  AT .
Действительно,
A
a11 a12
a
a
 a11a22  a12a21  a11a22  a21a12  11 21  AT .
a21 a22
a12 a22
Это свойство означает равноправность срок и столбцов определителя.
2. Общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно
вынести за знак определителя:
a11 a12
a21
a22

a11 a12
.
a21 a22
Доказательство:
a11 a12
a21
a22
 a11a22  a12a21    a11a22  a12a21   
a11 a12
.
a21 a22
3. При перестановке местами двух любых строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный:
a11 a12
a
a
  21 22 .
a21 a22
a11 a12
Доказательство:
a11 a12
a
a
 a11a22  a12a21    a12a21  a22a11    21 22 .
a21 a22
a11 a12
4. Определитель, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю:
a11 a12
0.
0
0
10
11
5. Определитель, содержащий две одинаковых строки (столбца), равен
нулю:
a11 a12
0.
a11 a12
6. Определитель, содержащий две пропорциональных строки (столбца), равен нулю:
a11 a12
a11
a12
 0.
7. Определитель, у которого каждый элемент какой-либо строки
(столбца) равен сумме двух слагаемых, равен сумме определителей:
1  1 2  2
c
d

1 2
c
d

1 2
c
d
.
Доказательство:
1  1 2  2
c
d
 1  1  d  2  2  c 
 1d  2c    1d  2c   
1 2
с
d

1 2
c
d
.
8. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится:
a11 a12 a11  a21 a12  a22
.

a21 a22
a21
a22
Доказательство:
a11  a21 a12  a22 a11 a12 a21 a22 a11 a12
a
a



 0  11 12 .
a21
a22
a21 a22
a21 a22
a21 a22
a21 a22
Упражнение. Докажите самостоятельно свойства 4, 5, 6.
11
12
§4. Определители высших порядков
Для того чтобы ввести понятие определителя n -го порядка, потребуются дополнительные понятия.
Минором M ij элемента aij определителя A называется определитель, полученный из данного определителя вычеркиванием i -й строки и
j -го столбца.
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя A
i j
называется произведение Aij   1
Mij .
Пример 9.
1 0 2
В определителе A  3 1 4 найти:
5 2 1
а) миноры M11 , M 21 , M 23 ; б) алгебраические дополнения A11, A21 , A23 .
Решение.
1 0 2
1 4
M11  3 1 4 
 7,
2 1
5 2 1
а)
1 0 2
1 0 2
0 2
1 0
M 21  3 1 4 
 4, M 23  3 1 4 
 2 ;
2 1
5 2
5 2 1
5 2 1
11
A11   1
б)
A21   1
21
M11  M11  7,
M 21   M 21  4, A23   123 M 23  M 23  2 .
Определителем n -го порядка называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на соответствующие алгебраические дополнения:
a11 a12
a21 a22
a1n
a2n
an1 an 2
ann
 a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n
12
13
В качестве примера приведем разложение определителя третьего
порядка по первой строке:
a11 a12 a13
a21 a22 a23  a11 A11  a12 A12  a13 A13 
a31 a32 a33
 (1)11 a11M11  (1)12 a12 M12  (1)13 a13M13 
 a11
a22 a23
a a
a a
 a12 21 23  a13 21 22 .
a32 a33
a31 a33
a31 a32
Пример 10. Вычислить определитель
1 2 3
0 1 2 .
1 0 5
Решение. Разложим определитель по элементам первой строки
1 2 3
0 1 2  1  A11  2  A12  (3)  A13 
1 0 5
 1(1)11
1 2
0 2
0 1
 2(1)12
 (3)(1)13

0 5
1 5
1 0
 1(5  0)  2(0  2)  3(0  1)  12 .
При вычислении определителей удобно пользоваться следующей
теоремой:
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу)
Определитель n -го порядка равен сумме попарных произведений
элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические
дополнения.
A  ai1 Ai1  ai 2 Ai 2  ...  ain Ain ― разложение определителя по i -й строке;
A  a1 j A1 j  a2 j A2 j  ...  anj Anj ― разложение определителя
по j -му столбцу.
13
14
Пример 11. Вычислить определитель
1 3 5
10 0 11 .
1 0 2
Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца
1 3 5
12 10 11
10 0 11  3  A12  0  A22  0  A32  3   1
 3 20  11  93 .
1 2
1 0 2
Определители n -го порядка обладают всеми указанными выше
свойствами. При вычислении определителей бывает удобно, пользуясь
свойством (8), получить вначале в какой-либо строке (столбце) несколько
нулей, а затем уже раскладывать определитель по этой строке (столбцу).
Пример 12. Вычислить определитель
2 1 1
1 3 2 .
1 4 6
Решение.
2 1 1
2 1 0
2 1 0
0 1 0
1 3 2  1 3 5  5  1 3 1  5  5 3 1 
(1)
(3)
 2
1 4 6
1 4 10
1 4 2
7 4 2
12
 5 1  1
5 1
 5  10  7   15 .
7 2
(1) ― к 3-му столбцу прибавили 2-ой столбец;
(2) ― вынесли общий множитель элементов 3-го столбца за знак определителя;
(3) ― к 1-му столбцу прибавили 2-ой столбец, умноженный на (-2).
Замечание. Здесь и далее под сложением (вычитанием) строк (столбцов)
понимается сложение (вычитание) соответствующих элементов этих строк
(столбцов).
14
15
Укажем еще одно важное свойство определителя.
Теорема аннулирования.
Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)
определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов
другой строки (столбца) равна нулю.
 a11 a12 a13 


Например, в матрице A   a21 a22 a23 
a

 31 a32 a33 
a11 , a12 , a13 —элементы первой строки;
A21 , A22 , A23 — алгебраические дополнения элементов второй строки;
тогда a11 A21  a12 A22  a13 A23  0 .
Объединяя формулу разложения определителя по строке (столбцу) и
теорему аннулирования, получим результирующее тождество:
 0, если k  i
.
ak1 Ai1  ak 2 Ai 2  ...  akn Ain  
 A , если k  i
(1)
Замечание. Определитель единичной матрицы любого порядка равен единице E  1 .
Справедлива
Теорема об определителе произведения квадратных матриц.
Определитель произведения двух квадратных матриц n -го порядка равен
произведению их определителей:
AB  A  B .
(2)
15
16
§5. Обратная матрица
Обратной матрицей для данной квадратной матрицы А называется
матрица, обозначаемая A1 и удовлетворяющая условию
AA1  A1 A  E .
Теорема о существовании обратной матрицы.
Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу A1 ,
необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля
A  0 . При этом обратная матрица выражается формулой
 A11

1  A21
1
A 
A  ...

 An1
A12
A22
...
An 2
T
... A1n 
... A2n 
,
... ... 

... Ann 
где Aij ― алгебраические дополнения элементов aij матрицы А.
Доказательство. Для простоты приведем доказательство для матрицы
второго порядка.
Необходимость.
a 
a
Пусть матрица A   11 12  имеет обратную матрицу A1 , т.е.
 a21 a22 
AA1  A1 A  E . Покажем, что ее определитель отличен от нуля. По формуле (2)
A  A1  A  A1  E  1, следовательно, A  0 .
Достаточность.
Пусть A  0 . Докажем существование A1 для А. Составим матрицу
T
A12 
1 A
1 A
B   11
  11

A  A21 A22 
A  A12
Найдем произведение матриц
A21 
.
A22 
16
17
AB 
1  a11 a12   A11

A  a21 a22   A12
A21  1  a11 A11  a12 A12 a11 A21  a12 A22 
.

A22  A  a21 A11  a22 A12 a21 A21  a22 A22 
На основании результирующего тождества (1)
a11 A11  a12 A12  A ; a11 A21  a12 A22  0;
a21 A11  a22 A12  0;
Следовательно,
AB 
a21 A21  a22 A22  A .
1A

A 0
0  1 0
, т.е. AB  E .

A   0 1 
Аналогично проверяется, что произведение BA  E , откуда B  A1
и, следовательно, обратная матрица существует.
Замечание. Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица
называется невырожденной, в противном случае ― вырожденной.
Справедлива следующая теорема:
Теорема о единственности обратной матрицы.
Не существует двух различных обратных матриц для данной невырожденной матрицы А.
Свойства обратной матрицы
1
1. A
1
 ;
A
 
2. A1
1
 A;
3. E 1  E ;
1
4.  AB   B 1 A1 .
Пример 13. Найти матрицу A1 , обратную матрице
1 2 0
A   3 2 1  .
0 1 2


17
18
Решение.
1 2 0
11 2 1
12 3 1
A  3 2 1  1   1
 2   1
 0  3  12  9 .
1 2
0 2
0 1 2
Так как A  0 , то матрица А ― невырожденная и для нее существует
обратная матрица. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:
11
2 1
 3;
1 2
A12   1
21
2 0
 4 ;
1 2
A22   1
31
2 0
 2;
2 1
A32   1
A11   1
A21   1
A31   1
12
3 1
 6 ;
0 2
A13   1
13
3 2
 3;
0 1
22
1 0
 2;
0 2
A23   1
23
1 2
 1;
0 1
32
1 0
 1;
3 1
A33   1
33
1 2
 4 .
3 2
4
 1
T
2 
3
9
9
3

6
3
3

4
2



 
1
1
1 .
A1    4 2 1     6 2 1    2
2
3
9
9 

9
9


 2 1 4 
 3 1 4    1
1
4 
9
9 
 3
Для контроля правильности вычислений убедимся в равенстве
AA1  E
 1 2 0   3 4 2 
1
AA1    3 2 1    6 2 1  
9
 

 0 1 2   3 1 4 
 3  12  0 4  4  0 2  2  0 
 9 0 0   1 0 0 
1
1
   9  12  3 12  4  1 6  2  4     0 9 0    0 1 0  .
9
9

 

0

6

6
0

2

2
0

1

8


 0 0 9   0 0 1 
Аналогично проверяется равенство A1 A  E .
18
19
Гл. 2. Системы линейных уравнений
§1. Основные понятия
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
 a11x1  a12 x2   a1n xn  b1;
 a x a x  a x b ;
 21 1 22 2
2n n
2

 
am1x1  am2 x2   amn xn  bm .
(3)
Числа aij называются коэффициентами системы, b1, b2 , , bn —
свободными членами, x1, x2 , , xn — неизвестными.
Совокупность n чисел 1 , 2 ,..., n называется решением системы
уравнений (3), если после замены неизвестных x1, x2 , , xn числами
1, 2 ,..., n соответственно, каждое уравнение системы превращается в
верное равенство.
Пример 14.
 x1  x2  x3  1;

2 x1  2 x2  2 x3  0.
Эта система двух уравнений с тремя неизвестными решений не имеет, так как любая тройка чисел, удовлетворяющая первому уравнению, не
может удовлетворять второму.
Пример 15.
 x1  x2  1;

2 x1  5x2  1.
Решение.
x2  1  x1;

 x1  x2  1;
 x2  1  x1;  x2  1  x;  x2  1;







2 x1  5x2  1. 2 x1  5 1  x1   1.  3x1  6.  x1  2.
 x1  2.
Таким образом, система имеет единственное решение x1  2; x2  1.
19
20
Пример 16.
 x1  x2  1;

2 x1  2 x2  2;
 3x  3x  3.
2
 1
Пара чисел x1  0, x2  1 есть одно из решений этой системы;
x1  1, x2  2 ― другое решение. Можно проверить, что эта система имеет
бесконечно много решений: значения x1  t , x2  1  t при любом t  R
удовлетворяют системе.
Примеры 14 – 16 показывают, что система может либо вовсе не
иметь решений, либо иметь единственное решение, либо иметь бесконечное множество решений.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение. Система, не имеющая решений, называется несовместной.
§2. Матричный метод решения системы линейных
уравнений
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1;
a x  a x  ...  a x  b ;
 21 1 22 2
2n n
2
(4)

.............................................

 an1x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn .
Матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы, а ее определитель ― определителем системы. Обозначим матрицу-столбец из неизвестных через X и матрицустолбец свободных членов через В.
20
21
 a11 a12
a
a
A   21 22
 ... ...

 an1 an 2
... a1n 
 x1 
 b1 



b 
... a2n 
x
2
, X   , B   2  .
 
 
... ... 

 
 
... ann 
 xn 
 bn 
Найдем произведение
a1n   x1   a11x1  a12 x2   a1n xn 
 a11 a12
a
a2n   x2   a21x1  a22 x2   a1n xn 
21 a22

.
AX 



   


   

ann   xn   an1x1  an 2 x2   ann xn 
 an1 an 2
Используя определение равенства матриц, систему (4) можно записать в виде
AX  B .
(5)
Равенство (5) называется матричной записью системы линейных
уравнений.
Пусть определитель системы (4) отличен от нуля: A  0 . Тогда для
матрицы А существует обратная матрица A1 . Умножим обе части равенства (5) слева на A1 :
A1  AX   A1B .


По свойствам умножения матриц A1  AX   A1 A X  EX  X ,
поэтому решение системы (4) определяется матричным соотношением:
X  A1B .
(6)
Формулу (6) называют матричным способом решения системы линейных уравнений.
В силу единственности обратной матрицы найденное решение единственно.
21
22
Пример 17. Решить матричным способом систему линейных уравнений
 3;
 x1  2 x2

3x1  2 x2  x3  1;

x2  2 x3  2.

Решение.
Здесь
 x1 
1 2 0
 3
A   3 2 1  , B   1  , X   x2  .
0 1 2
 2
x 


 
 3
Матрица A1 была найдена ранее (см. пример 13); поэтому
4
3  4  4 
 1
2 
9
9   1
3
9
9
3

    3
1  1   6  2  2    2  .
X  A1B   2
2
3
9
9     3
9
9   



 
  1
1
4   2    3  1  8   0 
9
9 
 3
9
9
 3
Поскольку
 x1   1
X   x2    2  , то,
x   0 
 3  
используя определение равенства матриц, получим: x1  1, x2  2, x3  0 .
Ответ.  1; 2; 0 .
§3. Формулы Крамера
Габриель Крамер (1704–1752) ― швейцарский математик
Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:
 a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1;
a x  a x  ...  a x  b ;
 21 1 22 2
2n n
2
(4)

.............................................

 an1x1  an 2 x2  ...  ann xn  bn .
Решение такой системы удобно записывать и вычислять с помощью
определителей.
22
23
Теорема Крамера.
Если определитель ∆ системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам:

1

, x2  2 , , xn  n ,



a11 a12
a1n
a
a
a2n
где   21 22
,
x1 
an1 an 2
(7)
ann
 k — определитель, получаемый из определителя  заменой k -го столбца столбцом свободных членов b1, b2 , , bn  k  1, 2, , n  :
1 
b1
b1
a12
a2
a1n
a2n
bn an 2
ann
, 2 
a11 b1
a21 b2
a1n
a2n
an1 bn
ann
, n 
a11 a12
a21 a22
b1
b2
an1 an 2
bn
.
Замечание. Определитель  принято называть главным определителем
системы (4), а определители 1,  2 , ,  n — частными определителями.
Формулы (7) носят название формул Крамера.
Доказательство.
Приведем доказательство для системы 3-х линейных уравнений с
тремя неизвестными:
 a11x1  a12 x2  a13 x3  b1;

a21x1  a22 x2  a23 x3  b2 ; .
a x  a x  a x  b .
 31 1 32 2 33 3 3
(8)
Так как определитель системы   0 , то для матрицы А существует
обратная матрица A1 и решение системы (8) определяется матричным соотношением
X  A1B ,
23
24
 x1 
 A11
x   1A
 2    12
A
x 
 13
 3
A31   b1 
 A11b1  A21b2  A31b3 
1



A32    b2    A12b1  A22b2  A32b3  .


A33   b3 
 A13b1  A23b2  A33b3 
A21
A22
A23
Отсюда
1
 A11b1  A21b2  A31b3  .

Выражение в скобках, стоящее в правой части равенства, есть ни что иное,
как определитель
x1 
b1 a12 a13
1  b2 a22 a23  A11b1  A21b2  A31b3 ,
b3 a32 a33
разложенный первому столбцу. Следовательно,
x1 
1
.

Аналогично проверяется, что

2
, x3  3 .


Единственность решения следует из единственности обратной матрицы и определения равенства двух матриц.
x2 
Пример 18. Решить методом Крамера систему уравнений:
 2 x1  3x2  x3  4;

 x1  x2  2 x3  5;
3x  4 x  x  1.
2
3
 1
Решение.
2 3 1
2 3 1
13 3 5
  1 1 2  3 5 0  1   1
 28 ;
()
5 1
3 4 1 5 1 0
 ― к 3-ей строке прибавили 1-ю строку; ко 2-ой строке прибавили 1-ю
строку, умноженную на (–2).
Так как главный определитель ∆ отличен от нуля, то эта система
имеет единственное решение.
24
25
Найдем частные определители:
4 3 1
2 3 1
13 13 5
1  5 1 2  13 5 0  1   1
 28 ;
()
3 1
1 4 1
3
1 0
2 4 1
2 3 1
13 3 13
2  1 5 2  3 13 0  1   1
 56 ;
()
5
3
3 1 1 5
3 0
2 3 4
2 1 14
1 2 1 14
3  1 1 5  1 0 0  1   1
 112 ;
()
7 14
3 4 1
3 7 14
() ― ко 2-му столбцу прибавили 1-й столбец; к 3-му столбцу прибавили
1-й столбец, умноженный на 5.
По формулам Крамера:
x1 
1 28

 1;
 28
x2 
 2 56

 2 ;
 28
x3 
3 112

 4 .
 28
Проверим правильность решения, подставив найденные значения
неизвестных в каждое уравнение системы:
 2 1  3  (2)  4  4;

 1  (2)  2  (4)  5; ― верно.
3 1  4  (2)  (4)  1.

Ответ. 1; 2; 4 .
25
26
Метод Гаусса
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) ― немецкий математик
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными
 a11x1  a12 x2 
 a x a x 
 21 1 22 2


am1x1  am2 x2 
 a1n xn  b1,
 a2n xn  b2 ,
 amn xn  bm .
Матрица
a1n b1 
 a11 a12


a21 a22
a2n b2 

,
A




amn bm 
 am1 am2
составленная из коэффициентов при неизвестных с добавлением столбца
свободных членов (его обычно отделяют вертикальной чертой), называется
расширенной матрицы системы.
Под элементарными преобразованиями системы линейных уравнений понимаются следующие операции:
1) умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от
нуля;
2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного
на произвольное число;
3) изменение порядка двух уравнений в системе.
Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Нетрудно
показать, что элементарные преобразования переводят систему уравнений
в равносильную ей систему.
Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строками расширенной матрицы этой системы и наоборот. Таким образом, элементарные преобразования в системе сводятся к соответствующим преобразованиям над строками ее расширенной матрицы.
26
27
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. При помощи элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе “треугольного” (или “ступенчатого”) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения,
находятся все переменные. Переход от системы к равносильной ей системе
называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение значений неизвестных из полученной системы – обратным ходом.
Элементарные преобразования удобно проводить не с самими уравнениями, а со строками расширенной матрицы системы A . Матрицы,
получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными. Переход от одной матрицы к эквивалентной ей
обозначается символом “ ”.
Замечание 1. Уравнению
0  x1  0  x2 
 0  xn  0
удовлетворяют любые значения неизвестных. Следовательно, оно не несет
никакой информации и может быть отброшено. В этом случае мы получим
систему, равносильную данной и содержащую на одно уравнение меньше.
Замечание 2. В результате элементарных преобразований в системе может
появиться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля:
0  x1  0  x2   0  xn  b, b  0 .
Такому уравнению не удовлетворяют никакие значения неизвестных и,
следовательно, полученная система несовместна. Поэтому несовместной
является и исходная система.
Пример 19. Решить систему линейных уравнений
 x1  2 x2  3x3  8;

2 x1  x2  x3  5;
 x  x  x  2.
 1 2 3
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:
27
28
 1 2 3 8 


A   2 1 1 5  .
 1 1 1 2 


Шаг 1. Исключим переменную x1 из 2-го и 3-го уравнений. Для этого ко
2-ой строке прибавим 1-ю строку, умноженную на (–2); из 3-ей строки вычтем 1-ю строку:
 1 2 3 8   1 2 3 8   1 2 3 8 

 
 

A   2 1 1 5   0 5 7 21  0 1 2 6 
 1 1 1 2  (1)  0 1 2 6   0 5 7 21 (2)

 
 

(для удобства поменяли местами 2-ю и 3-ю строки).
Шаг 2. Исключим переменную x2 из 3-го уравнения. К 3-ей строке прибавим 2-ю строку, умноженную на (–5):
8
 1 2 3


0 1 2 6  .

(2)
0 0 3
9 

Получим равносильную систему уравнений:
 x1  2 x2  3x3  8;

x2  2 x3  6;


3x3  9.

Обратный ход метода Гаусса. Из последнего уравнения находим x3  3 .
Найденное значение x3 подставляем во второе уравнение системы:
x2  2  3  6 , отсюда x2  0 .
Подставив x3 и x2 в первое уравнение, найдем x1 :
x1  2  0  3  3  8 , или x1  1 .
Ответ:  1; 0; 3 .
Пример 20. Решить систему уравнений
 x1  2 x2  x3  0;

 x1  x2  x3  1;
2 x  x  2 x  2.
3
 1 2
28
29
Решение.
Шаг 1. Исключим x1 из 2-го и 3-го уравнений. Из 2-ой строки вычли 1-ю
строку; из 3-ей строки вычли 1-ю строку, умноженную на 2.
Шаг 2. Исключим x2 из 3-го уравнения. Из 3-ей строки вычли 2-ю строку.
 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

 
 

 1 1 1 1  (1)  0 3 0 1  (2)  0 3 0 1  .
 2 1 2 2   0 3 0 2   0 0 0 1 

 
 

Последнее уравнение полученной системы
0  x1  0  x2  0  x3  1
не имеет решений. Следовательно, система несовместна.
Ответ. Нет решений.
Пример 21. Решить систему линейных уравнений
 x1  2 x2  x3  0;

 x1  x2  x3  1;
2 x  x  2 x  1.
3
 1 2
Решение. Проделаем те же преобразования, что и в примере 20:
 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0

 
 

1

1
1
1
0

3
0
1
0

3
0
1

 
 

 2 1 2 1  (1)  0 3 0 1  (2)  0 0 0 0 

 
 

1 2 1 0

.
0

3
0
1


x2   1 . Тогда
3
x1  2  x3  0 или x1  x3  2 .
3
3
Пусть x1  t , t  R . Тогда x3  2  t . Придавая параметру t различные
3
значения, получим бесконечное множество решений системы:
Обратный ход метода Гаусса: 3x2  1 ,

x1  t , x2   1 , x3  2  t , где t  R .
3
3

Ответ. t;  1 ; 2  t , t  R .
3
3
Замечание. Примеры 20 и 21 нельзя решать матричным методом или по
формулам Крамера, т.к. можно показать, что в обоих случаях определитель
системы равен нулю.
29
30
§5. Система линейных однородных уравнений
Если в системе линейных уравнений все свободные члены равны нулю, т.е. b1  b2 
 bn  0 , то система называется однородной.
Произвольная однородная система линейных уравнений имеет вид:
 a11x1  a12 x2   a1n xn  0,
 a x  a x   a x  0,
 21 1 22 2
2n n


am1x1  am2 x2   amn xn  0.
Однородная система всегда совместна, так как имеет тривиальное
(или нулевое) решение
x1  0, x2  0, , xn  0 .
Всякое другое решение (если оно есть), у которого значение хотя бы одного неизвестного отлично от нуля, называется ненулевым или нетривиальным.
Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными
 a11x1  a12 x2   a1n xn  0;
a x  a x   a x  0;
 21 1 22 2
2n n
(9)


 an1x1  an2 x2   ann xn  0.
Так как однородная система (9) является частным случаем неоднородной системы (4), то к ней применима теорема Крамера. Следовательно,
если определитель однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то эта система имеет единственное нулевое решение.
Пример 22. Решить систему линейных уравнений
5 x1  x2  8 x3  0;

11x1  x2  x3  0;
 x  x  2 x  0.
3
 1 2
30
31
Решение. Так как определитель системы
5 1 8 5 1 8
12 6 7
  11 1 1  6 0 7  1   1
 78  0 ,
6 6
1 1 2 6 0 6
то система имеет единственное нулевое решение: x1  0, x2  0, x3  0 .
Ответ.  0; 0; 0  .
Справедлива следующая теорема:
Теорема. Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными
имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю   0 .
Пример 23. Решить систему линейных уравнений
 x1  x2  x3  0;

 x1  x2  2 x3  0;
3x  x  4 x  0.
3
 1 2
Решение. Вычислим определитель системы:
1 1 1 2 0 3
  1 1 2  1 1 2  0
(*)
(**)
3 1 4 4 0 6
 ― к 1-ой строке прибавили 2-ю строку; к 3-ей строке прибавили 2-ю
строку.
() — определитель, имеющий две пропорциональных строки, равен нулю.
Так как определитель равен нулю, то система имеет нетривиальные
решения. Найдем их методом Гаусса.
Расширенная матрица системы имеет вид:
1

A  1
3

1 1 0

1 2 0  .
1 4 0 
31
32
Выполнив преобразования   над строками расширенной матрицы, получим:
1 1 1 0  2 0 3 0

 

1 2 0 
 1  1 2 0  (*)  1
 3 1 4 0   4 0 6 0  ()

 

(  ) — из 3-ей строки вычли 1-ю строку, умноженную на 2.
 2 0 3 0


1

1
2
0

(***) 
 0 0 0 0


Первое уравнение системы имеет вид:
Пусть x1  t , t  R . Тогда
 2 0 3 0

.
1

1
2
0


2 x1  3x3  0 .
2
x3   t .
3
Подставив x1 и x3 во второе уравнение, найдем x2 :
 2 
t  x2  2    t   0 .
 3 
1
x2   t .
Отсюда
3
Придавая параметру t различные значения, получим бесконечное
множество решений системы:
2
1
x1  t , x2   t , x3   t , где t  R .
3
3
1
2 

Ответ.  t;  t;  t  , t  R .
3
3 

32
33
Литература
1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Высш.шк., 2001. – 616 с.
2. Боревич З.И. Определители и матрицы. – М. “Наука”, 1970. – 200 с.
3. Волков Н.И., Голоскоков П.Г., Шкадова А.Р. Матрицы, определители и
системы линейных уравнений: Учебное пособие. – СПб.: СПГУВК,
1995. – 86 с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я и др. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Ч. 1. – М.: Высш. шк., 1997. –304 с.
5. Дюбук П.В., Кручкович Г.И. и др. Сборник задач по курсу высшей математики для ВТУЗОВ. - М.: Высш. шк., 1963.- 662 с.
6. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. М.:ЮНИТИ,
2003. – 471 с.
7. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2. М.:
Наука, 1970. –576 с.
8. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. – Краткий курс высшей математики. Т.1. – М.: Высш. шк., 1978. –384 с.
33