Взаимодействие потребителей и производ.5
advertisement
Моделирование производителей и потребителей Модель равновесных цен Пусть Vi - валовой выпуск продукции i-й отрасли. vi V . v n pi P . p n - столбец цен на рынке. Pi -цена единицы продукции i-й отрасли на рынке. Пусть A=(aij) - матрица прямых материальных затрат aij aij vj (продолжение) Для первой отрасли рассчитаем стоимость материалов и комплектующих, которые были использованы в процессе производства. a11 p1 a21 p2 ... an1 pn - затраты сырья на единицу продукции 1-й отрасли. p1v1 a11 p1 ... an1 pn v1 1 (1), где Р1V1 - выручка, Y1 стоимость. добавочная (продолжение) Очевидно, что E A E A E A Если А продуктивна, то и AT продуктивна, T T 0 p 0 следовательно что для выполнимо P A P T T T 1 P A P E A P P E A T Модель международной торговли Имеется n стран с годовыми бюджетами xi i 1, n xi 0 i Весь национальный доход Хi страны с номером i складывается от продажи своих товаров либо внутри страны, либо другим странам. Предположим, что мы имеем дело с уже сложившейся структурой международной торговли, а именно, что доля дохода i-й страны, кот тратится на покупку товаров (импорт) у страны с номером j, постоянна. В частности она не зависит от величины Xi этого дохода. (продолжение) Эта гипотеза – предположение о линейности модели. Природа его следующая: действительно, у каждой страны существует постоянная компонента дохода (малозависящая от общей величины дохода), идущая на самые основные нужды. Т.к. Аij xi i 1, n n доли , то a i 1 ij 1 , т.е. здесь матрица A aij обладает свойством неприсущим матрице Леонтьева и называется матрицей платёжного баланса международной торговли. di ai1 x1 ...ain xn Пусть di доход от международной торговли iй страны. . В матричном виде где d - доходы стран после первого тура торговли в соответствии с матрицей А. Считая, что ни одна страна не желает снижения своих доходов, требуется выяснить, согласятся ли они торговать в соответствии с матрицей А при существующем векторе доходов X. Ясно, что для этого необходимо, чтобы d i xi , i , т.е. d Ax Ax X Теорема 1 Неравенство Ax X выполняется только, если т.е. X Ax d i xi , i . Доказательство i d xi Предположим противное, т.е. i Пусть для определённости d1 x1 a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n x1 Тогда a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n x 2 ............................................. a n1 x1 a n 2 x 2 ... a nn x n x n a11 a21 an1 x1 a12 a22 an2 x2 ... a1n a2n ann xn x1 x2 ... xn следовательно противоречие, поэтому X Ax, x 0 1 - обственное число матрицы А. Теорема 2 Для любой квадратной матрицы, если сумма элементов каждого столбца =1, то матрица имеет собственное число . Доказательство Рассмотрим матрицу a11 1 a12 a 21 a 22 1 A E . . a an 2 n1 a1n a2n . . . a nn 1 . . Рассмотрим сумму строк данной матрицы. Она равна 0 следовательно строки линейно зависимы следовательно определитель=0 следовательно матрица вырожденная. AX X 0 AX X A E X 0 Доказательство (продолжение) Рассмотрим систему линейных уравнений A E X 0 которая имеет бесконечно много решений и x 0 решение данной системы. AX X 0 AX X - X – собственный вектор, соответствующий собственному числу следовательно λ=1 матрицы А. Утверждение Если А>0, то x 0 такой, что AX X . Доказательство 1 Пусть l . 1 λА - число Фробениуса матрицы А. Рассмотрим. l , Ay l , A y A l , y . a n1 1 a11 . a n1 1 a11 T A l . a 22 . . . a 22 . . a 1 a 1 . a . a nn nn 1n 1n AT l l AT l , y l , y A 1 По теореме Фр.-Пер. X- собственный вектор, соответствующий собственному числу λ=1 и χ>0. Теорема 3 Если в матрице платёжного баланса международной торговли для i j существует цепочка взаимного импорта из i-й страны в j-ю, то в уравнении AX X x0 Доказательство Если в цепочке импорта, содержащей kэлементов 1-й – i, а последний – j, то A k 1 0 рассмотрим A A Для каждого ί≠j Рассмотрим матрицу ij 2 ... An1 ij B E A A ... A 2 BX X AX A 2 X ... A n 1 X nX 0 n 1 X- собственный вектор матрицы В.n=λB число Фр. матицы В, B>0 следовательно по теореме Фр.-Пер. X>0.
