Спектральный портрет матрицы A

ПАРАДОКСЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
(их преодоление – смена понятий)
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ПОРТРЕТЫ МАТРИЦ
(двумерные и одномерные)
Годунов С.К.
1
Линейные преобразования описываются матрицами
a11 x1  a12 x2   a11

a21 x1  a22 x2   a21
x1
 0
 
 1
1
0
y1
a12   x1   y1 
    
a22   x2   y2 
a 21
Ax  y
a11
x2
 a11

 a21
y2
a12   1   a11 
    
a22   0   a21 
 a11

 a21
a12   0   a12 
    
a22   1   a22 
2
2
При линейном преобразовании плоскости единичная окружность x1  x2  1
переходит в эллипс.
Длина наибольшего радиус-вектора этого эллипса называется нормой || A ||
линейного преобразования, описываемого матрицей А
2
Обобщение:
 a11

 a21


 aN 1
a12
a22
aN 1
a1 N   x1   y1 

  
a 2 N   x 2   y2 


  

  
a NN   x N   y N 
|| A || max
x 0
Связь
Ax  y
y12  y12 
 y N2
x12  x12 
 x N2
символически
Ax  y
Норма линейного
преобразования А
между векторами x , y
может быть записана в виде
x  A1 y
A1 - матрица обратная к А (матрица обратного линейного преобразования)
3
Для того, чтобы надежно определялось решение системы Ax  f
линейных уравнений с квадратной N  N матрицей A
|| A ||  || A1 ||  ( A)  1 было не очень большим.
нужно, чтобы число
 ( A) 
число обусловленности
|  ( A   )   ( A) |
Справедливо неравенство
A
2  ( A)
||  ||

||  || || A ||
1   ( A)
|| A ||
Число обусловленности  ( A   ) возмущенной матрицы
близко к  ( A) если
 ( A)
||  ||
|| A ||
A 
1
Решая систему Ax  f с хорошо обусловленной матрицей A
можно не опасаться ошибок округления из-за которых вместо
будет использованы возмущенные A   , f  
с малыми
A, f
, 
4
В основу вычислительной линейной алгебры естественно положить
Постулат:
Только такие числовые функции f ( A) от N  N матрицы
можно вычислять, для которых справедливо неравенство
|| f ( A)  f ( A   ) ||   ||  ||
в котором
   (|| A ||,|| A   ||)
A
- известная функция
При этом условии, зная || A || и точность ||  ||
можно дать гарантированную оценку точности для вычисленной f ( A)
Пример вычислимой
функции -  ( A)
 ( A) 
число обусловленности матрицы A
|  ( A   )   ( A) |
2  ( A)
||  ||

  ||  ||
||  || || A ||
1   ( A)
|| A ||
где   4 ( A) || A || если
||  ||
1
 ( A) || A ||
2
Хорошо известны алгоритмы решения системы линейных уравнений, при
выполнении которых одновременно с решением вычисляется  ( A)
5
Совсем по другому обстоит дело в другой алгебраической задаче о
вычислении собственных значений
(т. е. корней  характеристического уравнения)
 a11  

a21
det( A   I )  det 


 aN 1
a12
a22  
aN 1


a2 N 
0


a NN   
a1 N
Приложения собственных значений
dx
1) Исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений  Ax
dt
Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение
|| x( t ) || x12 ( t )  x22 ( t )  . . .  x N2 ( t ) 0
t 
?
Критерий устойчивости:
 j  0 для всех собственных значений  j
 j   j  i  j ( j ,  j  вещественны)
!
6
1) Исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений dx  Ax
dt
Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение
|| x( t ) || x12 ( t )  x22 ( t )  . . .  x N2 ( t ) 0
t 
?
Критерий устойчивости:
 j  0 для всех собственных значений  j
 j   j  i  j ( j ,  j  вещественны)
!
x ( n )  x ( n1)  Ax ( n1)  f
2) Сходится ли итерационный процесс
к решению системы Ax  f
x ( n )  A1 f
Критерий сходимости:
?
!
 ( A)   ,
|  j |  2j   j2  1 при всех j
3) Существует ли убывающее решение || x( t ) || Me |t|/ 
  t  
dx
 Ax  f (t )
системы дифференциальных уравнений
dt
(в предположении, что f ( t )  0 при t  T и при t  T )
Критерий: такое решение существует, если  j  0 при всех j
(т.е. на мнимой оси   i  нет точек спектра  j )
!
7
dx
 Ax , t  0
dt
x(0)  задано
Пример исследования устойчивости
?
|| x(t ) || 
0
t 
 1

 0

 0
A

 0




При   0
При   10  8
1  2 
25
 2.6  10
10 0
1 10
0 1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 

0 

0 


10 
1
 25  1 т.е. устойчивость имеет место
22
 (  1)25 

1025  0,
10
10 
 2 j
 j  1   cos 
8 
 25
25  1 
10
1
 0
8
4

 2 j  

i
sin

 25   ,



устойчивости нет
!!!
8
Типичное поведение затухающих решений
|| x( t ) ||
|| x(t ) || Me
M || x(0) ||

t
L
|| x(0) ||
M -- оценка амплитуды
L -- характерное время (декремент затухания)
|| x (0) ||
t
 1

 0

 0
A

 0




При
10 0
1 10
0 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
|| x(t ) || Me
0
0 

0 

0 


10 
1
в оценке решения

t
L
|| x(0) ||,
dx
 Ax , t  0
dt
x(0)  задано
x(t )
M  1022
Можно ли это считать
устойчивостью?
9
Теорема Островского (о непрерывной зависимости  j ( A) )
Если все элементы akl матрицы
подчинены неравенствам
| akl | 10,
то для каждого  j ( A0 )
такое что
A0
и
bkl матрицы
| bkl | 1,
найдется  j ( A0
  B)
|  j ( A0   B )   j ( A0 ) | 20( N  1)
В нашем случае
B
2N
N 2
10
262
|  j ( A0   B )  ( 1) | 20
8
25
625  2186
Пример теореме Островского не противоречит.
Формальная непрерывность имеет место.
10
Определение  -спектра  ( A)
   ( A)
 принадлежит
 -спектру, если
1
|| ( I  A) ||
 || A ||
1
Спектральный портрет матрицы A
0
 2 25 0 0 0 0


0

3
10
3
3
3
0


 0
0 2 15 3 3 0 


A 0
0 0 0 15 3 0 
 0
0 0 0 3 10 0 


0 0 0 0  2 25 
 0
 0
0 0 0 0 0 3 

  105
11
12
13
14
15
16
3,5
10 1
2
1 
 3 3 15 5



4

2
10
2
8
3


 0 0 0.1 1
3
20 
H 
2
0
0
0

3
4
0


 0 0
0
3 2
0 


0
15 10 0.1 
 0 0
10 3
10 2
10 4
-3,5
3,5
0
 2 25 0 0 0 0


0

3
10
3
3
3
0


 0
0 2 15 3 3 0 


A 0
0 0 0 15 3 0 
 0
0 0 0 3 10 0 


0 0 0 0  2 25 
 0
 0
0 0 0 0 0 3 

3,5
10 4
-3,5
17
Еще один поучительный пример:
80
32
16 
 289 2044 336 128
 1152

30
1312
512
288
128
32


 -29 -1980 756 384 1008 224
48 


C   512
128
640
0
640
512
128 
 1053 2136 -604 -384 -856 800
108 


4
1712 -128 1968 -30 2032 
 -287
-2176 -187 -1465 -512 -441 -1152 -189 


18
1 (C )  6.5824
• Эксперимент: Собственные числа
2 (C )  4.0313 + 4.3421i
матрицы С найденные с
использованием пакета
3 (C )  4.0313 - 4.3421i
MATLAB
4 (C )  -1.4668 + 5.3883i
5 (C )  -1.4668 - 5.3883i
6 (C )  -5.8557 + 2.3387i
С и CT должны иметь
7 (C )  5.8557 - 2.3387i
одинаковые собственные
значения!!!
1 (C T )  8.0444
2 (C T )  4.9557 + 5.6644i
3 (C T )  4.9557 - 5.6644i
4 (C T )  -1.8107 + 7.0037i
• НО видно, что результаты
сильно отличаются
5 (C T )  -1.8107 - 7.0037i
6 (C T )  -7.1672 + 3.0701i
7 (C T )  -7.1672 - 3.0701i
19
• В действительности C  L1 RL
32
16 
1 2028 256 128 64
1 0 0
0

0 1 0
-2
1024
512
256
128
32



0
1 0 1
0
4
512 1024 256
64 



R = 0
0
0
0
512 512 128  ; L= 0 0 0
0
0 0 1
0
0
0
-4 1024 156 



0
0
0
0
2
2048 
0
1 0 0
0
0 1 1
0
0
0
0
0
-1 


Точные значения:
0 0 0 0
0 0 0 0 
0 0 0 0

1 0 0 0
0 1 0 0

0 0 1 0
0 1 0 1 
1  0, 2  1, 3  1, 4  2,
5  2, 6  4, 7  4,
• ВСЕ собственные значения вычисленные при помощи пакета
MATLAB являются точными точками   спектра матрицы С,
при   1016
Этот ε-спектр покрывает круг
|  | 7.5
20
Исследование устойчивости (по Ляпунову)
1) исследование «устойчивости» решений дифференциальных уравнений
Вопрос: для всех ли решений справедливо утверждение
|| x( t ) || x12 ( t )  x22 ( t )  . . .  x N2 ( t ) 0
t 
Критерий устойчивости:
Универсальная оценка
|| x(t ) ||  ( A)  e
 ( A)
 t ||(AA||)
dx
 Ax
dt
?
 ( A)  2 || A ||  || H ||
Н -- матрица Ляпунова – решения
матричного уравнения
 || x(0) ||
HA  A* H  I  0
x ( n )  x ( n1)  Ax ( n1)  f
2) Сходится ли итерационный процесс
к решению системы Ax  f
x ( n )  A1 f  x
?
Критерий сходимости:

1 
|| x ( n )  x |||| x (0)  x ||  || H ||  1 

||
H
||


n
2
Н -- матрица Ляпунова – решения
матричного уравнения
H  A* HA  I
21
Im 
7
.
Дихотомия спектра замкнутыми контурами.
Расслоение спектра. A  T  A11 0
2
.
.


.
.
 .
1
4
5
.

3
6
Re 
 A11 0  1
AT 
T

A22  N 2  N 2 матрица
 0 A22 
 I N 1 0  1
P  T 
T  матрица – проектор на

инв. подпространство с i внутри 
 0 0
 I N1
P A  T 
 0
0  1
 A11 0 1
T T 
T


A22 
 0 0
 0 0  1
(I  P A)  T 
T

 0 A22 
P 2  P
P A  AP
классические
сво-ва проектора
 1
 0 A T
22 
det( A  i I )  0

внутри 
 i  Собственное
значение матрицы A  j ( A11 )  1 , 2 , 3 , 4 
1 , 2 , 3 , 4  внутри
 j ( A22 )  5 , 6 , 7 
контура 
вне 
(у нас N1  4, N 2  3 )
A11  N 1  N 1 матрица
0  1  A11
T T

0
 0
22
Im 
7
.
Дихотомия спектра замкнутыми контурами.
Расслоение спектра. A  T  A11 0
2
.
.


.
.
 .
1
4
 1
 0 A T
22 
det( A  i I )  0

внутри 
 i  Собственное
значение матрицы A  j ( A11 )  1 , 2 , 3 , 4 
1 , 2 , 3 , 4  внутри
 j ( A22 )  5 , 6 , 7 
контура 
вне 
5
.

3
6
Re 
Проектор
 A11
AT 
 0
0  1
T

A22 
P
P  P ,
P A  AP
2
1
P ( A) 
2 i

0  1
T

0
классические
сво-ва проектора
сходится, если на  нет точек спектра i ( A)
d [ I  A]

т.е.  осуществляет дихотомию спектра A
1 интеграл
Критерий дихотомии
1
H ( A) 
2
 I N1
T 
 0

H  ( A)   где
1
| d  |[ I  A ] [ I  A]1
*
Интеграл расходится, если на 
лежит хотя бы одна точка
спектра i ( A)
23
Im 
7
.
Пояснение смысла критерия
дихотомии || H ( A) || 
2
.
.


.
.
 .
1
4
5
.
3
6

Re 
При
1
|| H  ( A) || max 2

|| ( I  A)1 x ||2 | d  |
2
x0
1
P ( A) 
2 i
|| x ||
1
  d [ I  A]

сходится
24
Im 
.
.
.. .
Круговая дихотомия спектра
окружностью |  | R
1
2
Re 
e  i 1
0 d[ I  R A]  PR ( A)
2
проектор на инвариантное
подпространство, где | i ( A) | R
e i * 1
e  i 1
0 d[ I  R A ] [ I  R A]  H R ( A)
|| H R ( A) ||   критерий дихотомии спектра A окружностью |  ( A) | R
1 *
*
*
Матричные уравнения, 
H

A
H
A

P
P

(
I

P
)( I  PR )
R
R
R
R
 R
2
R
которые используются 
 H R  H R*  0, PR 2  PR , PR A  APR
для расчета H R , PR

1
2
2
|| PR ( A) || || H R ( A) ||
Если все | i ( A) | R то PR ( A)  I (|| PR ( A) || 1)
1 *
H

A HR A  I
и уравнения сводятся к одному равенству R
2
R
Важное неравенство
!!
дискретное уравнение Ляпунова
25
Дихотомия спектра матрицы A
мнимой осью   it
1 
*
1
H
dt
[
itI

A
][
itI

A
]

2 
1
1 R
1
I  lim
dt
[
itI

A
]
P

R

2
2  R
Критерий дихотомии
H 
проектор на инв. для A
подпространство (Re i ( A)  0)
Матричные уравнения
A* H  HA  P *P  ( I  P * )( I  P )  0
H  H*,
P * H  HP
Если все собственные числа i ( A)
лежат в левой полуплоскости (Re i ( A)  0)
то P  I
и уравнения сводятся к классическому уравнению Ляпунова
A* H  HA  I  0
!!
26
lg 
Одномерный
спектральный
портрет
a
Спектральные зоны – полосы a j  Re  j  a j ,
содержащие точки спектра
 j ( A)
1 
* 1
1
H
dt[(a  i t ) I  A ] [(a  i t ) I  A]

2 
  2 || A  aI ||  || H ||  ( A  aI )  числовая функция от матрицы A  aI
  критерий дихотомии спектра A прямой   a  it
Теорема (о непрерывности): Если   ,
то
|  ( A  B  aI )   ( A  aI ) | 3 2
|| B ||
1

|| A  aI || 3 2
|| B ||
|| A  aI ||
,
27
Годунов С. К., Кирилюк О.П., Костин В.И. Спектральные портреты матриц. Новосибирск, 1990. (Препринт / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т мат-ки; № 3).
Godunov S.K. Spectral portaits of matrices and criteria of spectral dichotomy. J. Herrberger and L. Atanasovaeds. Proc. Cont. Oldenburg, Germany (Oct., 1991)
North-Holland and JMACS. 1991. 8 p.
Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука, 1991.
Малышев А.Н. Гарантированная точность в спектральных задачах линейной алгебры // Тр. Ин-та математики / АН СССР. Сиб. отд-ние. 1990. Т. 17.
С. 19-104.
Godunov S.K., Sdkane M. Some new algorithms for the spectral dichotomy methods.
Linear Algebra. Appl., 2003.
28
Конец вводной части
«Парадоксы вычислительной математики
и их преодоление сменой понятий.
Критерии дихотомии. Двумерные и одномерные
спектральные портреты»
29
Примеры использования одномерных
спектральных портретов при
исследовании устойчивости
30
APPLICATION OF NEW MATHEMATICAL TOOL
“ONE-DIMENTIONAL SPECTRAL
PORTRAITS OF MATRIX”
TO THE PROBLEM OF AEROELASTICITY
VIBRATION
•
•
•
•
Godunov S.K
Kurzin V.B.
Bunkov V.G.
Sadkane M.
Novosibirsk
Novosibirsk
Jukovskii
Brest (France)
Из доклада, прочитанного на конференции
по аэроупругости (Москва, октябрь 2006)
31
The simple flatter model
• Without the aerodynamic
2
d
x
effect:
 Gx  0
dt 2
O 
 37.7
dx
 Gy


169
dt

G 


899
dy


x
O
1792


dt
• Modeling of aerodynamic effects
dx
  vDx   G  v 2 F  y
(v is the flow velocity)
dt
2
dy


v
D

G

v
F 
x
x




d

x

   A   , A  
dt

dt  y 
I
0
 y



0

0,12 103

F

0

0

0,197 102
0
0,176 103
0
0, 419 102
0
0,154 103
0


0
1



1
0,171 103 

D  0.73 102 



1
0




1
0



32
HA  AH  2  A  aI  a  I  0
ka  H ,  a 
ka
A  aI
ka  H
t
x(t )  y(t )  ka e 
2
2
x(0)  y(0)
2
2
33
The same example
2
d  x    vD   G  v F    x 
  
 
 y 
dt  y   I
0

 x
A 
 y
V
34
• Invariants Subspaces corresponding to clusters of
eigenvalues are computed SIMULTANEOUSLY with the
spectral portraits and we can compute the block-diagonal
form of A and the orthonormal bases in the invariants
subspaces.
• Q ( A) is the similar transformation (v=411)
0
0
0
0
0
0
 -3.67e+0 -1.01e+2



1.17e+0
-1.32e+0
0
0
0
0
0
0




0
0
4.30e+2 3.93e+2 -2.64e+1 2.68e+0
0
0


0
0
-4.76e+2
-4.33e+2
2.92e+1
-2.96e+0
0
0

Q 1 AQ  


0
0
7.85e-1 7.11e-1 -1.79e+2 1.88e+1
0
0


0
0
7.75e+0 7.01e+0 -1.77e+3 1.76e+2
0
0



0
0
0
0
0
0
6.73e-1 9.77e+1 


0
0
0
0
0
0
-1.21e+0 -1.67e+0 

Q Q 1  267.0132
36
Спасибо за внимание !