1. Определители

Курс лекций по алгебре и
геометрии
Голодная Наталья Юрьевна
Содержание
1. Определители
2. Элементы теории матриц
3. Системы линейных уравнений
4. Элементы векторной алгебры
5. Прямая на плоскости и плоскости
6. Кривые второго порядка
7. Плоскость и прямая в пространстве
8. Поверхности второго порядка
9. Комплексные числа
Определители
• Рассмотрим таблицу
 a11

a
 21
a12 

a 22 
Числа
a11 , a12 , a21 , a22
– это
элементы таблицы.
aij
i  номер строки;
j  номер столбца
• Число строк – порядок таблицы.
• Главная диагональ – диагональ
идущая с левого верхнего угла в
правый нижний.
• Побочная диагональ – диагональ
идущая с верхнего правого угла в
левый нижний.
 a11

a
 21
побочная
a12 

a 22 
главная
• Число
a11  a22  a21  a12
называется определителем 2-го
порядка .

a11
a12
a21
a22
 a11  a22  a21  a12
Определители третьего
порядка
• Рассмотрим таблицу
 a11

 a21
a
 31
a12
a22
a32
a13 

a23 

a33 
• Число
a11a22 a33  a12 a23a31  a13a21a32 
 a13a22 a31  a11a23a32  a12 a21a33
называется определителем третьего
порядка
a11 a12
a13
a21 a22 a23  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32 
a31 a32 a33
 a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33
Методы вычисления
определителей третьего
порядка
Правило
треугольника
Три произведения элементов, стоящих на
главной диагонали и в вершинах двух
треугольников:
берутся со знаком "", а три произведения
элементов, стоящих на побочной диагонали и
в вершинах двух других треугольников:
берутся со знаком "".
Разложение по
элементам какой-либо
строки(столбца)
Минор
Опр. Минором элемента определителя
3-го порядка называется определитель
2-го порядка, получающийся из данного
определителя вычёркиванием строки и
столбца, в которых расположен элемент.
Обозначение минора
Минор элемента , стоящего на
пересечении i-й строки и j-го
столбца определителя,
обозначают
M ij
Алгебраическое
дополнение
Опр. Алгебраическим дополнением
элемента определителя
3-го
порядка называется минор
этого элемента, умноженный на
(-1) в степени k , где
k  i  j.
Aij   1 M ij
k
Aij   1 M ij
i j
Теорема разложения
Определитель 3-го порядка равен
сумме произведений элементов
какой-либо строки (столбца)
определителя на их
алгебраические дополнения.
Таким образом,
разложений:
имеет
место
шесть
  a11  A11  a12  A12  a13  A13 ,
  a 21  A21  a 22  A22  a 23  A23 ,
  a 31  A31  a 32  A32  a 33  A33 ,
  a11  A11  a 21  A21  a 31  A31 ,
  a12  A12  a 22  A22  a 32  A32 ,
  a13  A13  a 23  A23  a 33  A33 .
Свойства определителей
1.Определитель не меняет своего
значения при замене каждой строки
соответствующим столбцом.
2.Определитель изменит знак ,если
поменять местами любые две
строки или столбца.
3.Общий множитель элементов
какого-либо строки (столбца) определителя
можно выносить за знак определителя.
4.Определитель равен нулю, если он
имеет два одинаковых столбца или две
одинаковые строки.
5.Определитель равен нулю, если элементы
какой-либо строки (столбца) все равны нулю.
6. Значение определителя
не
изменится, если к элементам строки
или столбца прибавить соответствующие
элементы другой строки или столбца,
умноженные на одно число.
Определители
высших порядков
a11 a12 a13 a14

a 21 a 22 a 23 a 24
a 31 a 32 a 33 a 34
a 41 a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 24
a 22 a 23 a 24
 a11  a 32 a 33 a 34  a12  a 31 a 33 a 34 
a 42 a 43 a 44
a 21 a 22 a 23
 a13  a 31 a 32 a 34  a14  a 31 a 32 a 33
a 41 a 42 a 44
a 21 a 23 a 24
a 41 a 42 a 43
a 41 a 43 a 44
• С помощью свойства 6 добиваются
того, чтобы в некоторой строке или в
некотором столбце все элементы,
кроме одного, были равны нулю.
• Затем раскладывают определитель
по элементам этой строки или столбца.
2
3
1 0 2
2 1 0
1 0 1 3
1 2 1 3

2
1 0 2
3 2 1 0


 1 0 1 3 (-1)
+
1 2 1 3
2
1 0 2
3 2 1 0


1 0 1 3
0
2 0 0
 2   1
4 2
2
0 2
3
1 0
1 1 3

2 0 2
 2  3 1 0 (-1) 
+
1 1 3
2 0 2
2 2
2 2
 2  3 1 0  2  1   1 

4 3
4 0 3
 26  8  28
+
+
3 1 2 1
5 1 2 1
9 1 1
3
3 0
6 1
5 2
3 2
+
+
1
2
4
3
1
(-2)
(-3)
0
1
 3
6
2
0 0
0
3 6 3
3 7 7
3 0
2
3 1 1
1
2
4
3
1
1 3  6
 1   1
1 5
3 3 7

6 3 0
2
3
1 1  6
 3
3
1
7

2
1
3 1 7
3 (-1)
+
7
6 1
0
2
1
1
2
1
+
+
 3
1 1  6
 2 0 1
3
4
5 0
6
1
7
4
3
0
 2 1
 3  1   1   5
1 2
3

4
(-5) 3
6
1
+
7
4
2

+
2
 2 1 4
 22
1
11 1 17
 3  0 17  22  3   2   1  

4
4 11 4
0 11 4
1
1860
 6   68  242  
 465
4
4
Метод приведения к
треугольному виду
Метод приведения к треугольному
виду заключается в таком
преобразовании данного определителя,
когда все элементы его, лежащие над
(под) главной диагональю, становятся
равными нулю.
a11
0
0
a21
a31
a41
a22
a32
a42
0
a33
a43
0
0
 a11  a22  a33  a44
0
a44
а11
а12
а13
а14
0
0
0
а 22
0
0
а 23
а33
0
а 24
 а11  а 22  а33  а 44
а34
а 44