Четырехполюсники

3. Четырёхполюсники
3.1. Уравнения четырёхполюсников
3.1.1. Уравнения четырёхполюсников в Y-форме
Подключим к входным и выходным зажимам четырёхполюсника (рис. 45)
идеальные источники ЭДС: E1  U1 и E2  U 2 . Тогда ток в k-м контуре
n 
Ek   jk  E j ,
i 0 
(1)
где  jk – алгебраическое дополнение определителя , получаемое путём вычёркивания в нём j-й строки и k-го столбца и умножения определителя  на
 1
j k
;  – определитель системы контурных уравнений; E j – контурная ЭДС
j-го контура.
Рис. 45
Так как во входной контур (см. рис. 45) входит только источник E1 , а в
выходной – только источник E2 , то в соответствии с уравнением (1) можно записать систему

 U  U
 I1  11 1  21 2 ;





12U1  22U 2

.
I2 



(2)
Коэффициенты в системе (2) при напряжениях U1 и U 2 измеряются в сименсах, так как порядок алгебраических дополнений  jk на единицу меньше
порядка определителя
. Обозначив 11 /  Y11, 21 /  Y12 , 12 /  Y21 и
22 /  Y22 , получим систему уравнений четырёхполюсника в Y-форме:
 I  Y U  Y U ;
1
11 1
12 2

 I 2  Y21U1  Y22U 2 .
(3)
Система (3) в матричной форме:
 I  Y
Y  U 
 1    11 12   1 
 I  Y21 Y22  U 
 2
 2
или
 I   Y  U  ,
 
 
где Y  
(4)
1  11 12 

.
 21 22 
Если в системе (3) принять U 2  0, что эквивалентно короткому замыканию выходных зажимов четырёхполюсника (см. рис. 45), то из первого уравнения Y11 
I1
I
, а из второго – Y21  2 .
U1
U1
При U1  0 (т.е. при коротком замыкании входных зажимов ЧП) из первого
уравнения системы (3) Y12 
I1
I
, а из второго – Y22  2 .
U2
U2
Таким образом, Y-параметры есть параметры короткого замыкания.
У обратимых ЧП выполняется принцип взаимности, т. е. 12  21 , а следовательно, Y12  Y21. У симметричных ЧП, кроме того, 11  22 , а следовательно, Y11  Y22. Поэтому обратимые ЧП характеризуются тремя параметрами
( Y11, Y12  Y21 и Y22 ), а симметричные – двумя ( Y12  Y21, Y11  Y22 ).
Пример 18. Определить Y-параметры П-образного четырёхполюсника (рис.
46).
Рис. 46
Решение. Непосредственно из схемы на рис. 46 видно, что в режиме
короткого замыкания при U 2  0 Y11  Y1  Y3, а при U1  0 Y22  Y2  Y3. Передаточные проводимости:
Y21 
Y12 
I2
U1 U

2 0
U1Y3
 Y3;
U1
U 2Y3
I1

 Y3.
U 2 U 0
U2
1
3.1.2. Уравнения четырёхполюсников в Z-форме
Решив систему (3) относительно U1 и U 2 получаем уравнение четырёхполюсников в Z-форме:
U  Z I  Z I ;
 1
11 1
12 2

U 2  Z 21I1  Z 22 I 2 .
где Z11 
Y22
Y
Y
Y
; Z12   12 ; Z21  21 ; Z22   11 ,
Y
Y
Y
Y
(5)
(6)
здесь Y  Y11Y22  Y12Y21.
Z-параметры (см. формулу (6)) измеряются в омах и называются
параметрами холостого хода, так как определяются при холостом ходе на одной
из сторон четырёхполюсника
Z11 
U1
I1 I
U
Z 22  2
I2
; Z 21 
2 0
U2
I1
;
I 2 0
(7)
U
; Z12  1
,
I
2 I 0
I 0
1
1
где Z11 и Z 21 – соответственно входные и передаточные сопротивления ЧП в
режиме холостого хода (при прямой передаче сигнала); Z 22 и Z12 – входные и
передаточные сопротивления в режиме холостого хода (при обратной передаче
сигнала).
Для обратимых (или взаимных) ЧП Z12  Z 21 , а для симметричных, кро-ме
того, Z11  Z22.
Система уравнений (5) в матричной форме:
U   Z11
 1  
U 2   Z 21
Z12   I1 


Z 22   I 2 
или
U    Z   I  ,
 
 
где  Z  
 11

11, 22   21
1
12 
;
 22 
(8)
11, 22 – двойное алгебраическое дополнение, по-
лучаемое из определителя  путём вычёркивания строк и столбцов с номера-ми
1 и 2.
Пример 19. Определить Z-параметры Т-образного ЧП (рис. 47), если
Z1  Z 2 .
Рис. 47
Решение. Непосредственно из схемы ЧП видно, что его сопротивления
входа Z11 и выхода Z 22 равны: Z11  Z1  Z3, Z 22  Z 2  Z3.
Передаточные сопротивления Z 21 и Z12 в режиме холостого хода согласно уравнениям (7) равны:
Z21 
U 2 I1Z3
U I Z

 Z3; Z12  1  2 3  Z3.
I1
I1
I2
I2
3.1.3. Уравнения четырёхполюсников в A-форме
Решив систему (3) относительно U1 и I1, получим уравнение четырёхполюсника в A-форме:
 
 
U  A U  A  I ;
11 2
12
2
 1

 I  A U  A I ,
21 2
22
2
 1
где A11  
(9)
Y22
Y
Y
1
; A12  
; A21  
; A22   11 .
Y21
Y21
Y21
Y21
Параметры A11 и A22 безразмерные, параметр A12 измеряется в омах, а A21
в сименсах.
Действительно:
A11 
U1
U2
– безразмерная величина, обратная комплексной передаточI 2 0
ной функции по напряжению (при холостом ходе);
A22 
I1
I2 U
– безразмерная величина, обратная комплексной передаточ2 0
ной функции по напряжению (при коротком замыкании);
A12 
U1
I2 U
– величина, обратная передаточной проводимости (при ко2 0
ротком замыкании), измеряется в омах;
A21 
I1
U2
– величина, обратная передаточному сопротивлению (при
I 2 0
холостом ходе), измеряется в сименсах.
Для обратимых ЧП, удовлетворяющих условию взаимности, при котором
Y12  Y21 , определитель системы (9)
 A11
 A  
 A21
A21 
  A11 A22  A12 A21  1.
A22 
(10)
Матричная форма записи уравнений (9):
U   A11
 1  
U 2   A21
A21   U 2 


A22    I 2 
или
U 
U 
 1    A  2  .
U 2 
  I 2 
Пример 20. Определить A-параметры ЧП (рис. 48), если Z1  (5  j5) Ом;
Z 2  (5  j5) Ом.
Рис. 48
Решение. A-параметры найдём, используя систему (9). Так как ЧП симметричный, то A11  A22 . В режиме холостого хода I 2XX  0 система (9) имеет вид
U1XX  A11U 2XX ;

 I1XX  A21U 2XX .
(11)
Из системы (11):
A11 
U1XX I1XX  Z1  Z 2 
Z
5  j5

1 1 1
 1  e j /2  2e j /4 ;
U 2XX
I1XX  Z 2
Z2
5  j5
A21 
I1XX
I
1
1
5  j5
 1XX 


  0,1  j 0,1 См.
U 2XX I1XX  Z 2 Z 2 5  j 5
50
Параметр A12 найдём из уравнения
A11A22  A12 A21  1
или
2
A11
 A12 A21  1;
A2 1 1  j  1
A12  11 
  5  j15 Ом.
A21
0,11  j 
2
Пример 21. Определить A-параметры ЧП,
ZC
и
gс
на частоте
  1000 рад/с (рис. 49), если R  1000 Ом; L  1 Гн.
Рис. 49
Решение. 1. Найдём А-параметры методом холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ).
U1   A11
 
 I1   A21
A12  U 2 
 .
A22   I 2 
В режиме ХХ: Z н  ; I 2XX  0.
A11 
U1XX
U1XX
R

1
 1  j;
j L
U 2XX U
j L
1XX
R  j L
A21 
I1XX
I
1
 1XX 
  j103 Cим.
U 2XX I1XX j L j L
В режиме КЗ: Z н  0; U 2КЗ  0.
U1КЗ
U1КЗ
R2
A12 


 2 R   2  j 103 Ом;
U1КЗ j L
I 2КЗ
j L
2
R  2 j LR
A22 
I1КЗ I1КЗ  R  j L 
R

1
 1  j.
I 2КЗ
I1КЗ j L
j L
2. Найдём характеристическое сопротивление
ZC 
'
A12
 R 2  j 2 LR  1500e j 3145  1270  j 790 Ом.
A21
3. Найдём характеристическую постоянную передачи

R
R 2  2 j LR 

gс  ln A11  A12 A21  ln 1 

2

j L
 j L  

 ln 1,79  j 2,29  1,07  j 52;


aс  1,07 Hеп  9,3 дБ; bс  52.
Пример 22. Определить A-параметры на частоте   1000 рад/с четырёхполюсника (рис. 50), если R  1 кОм; C  2 мкф.
Рис. 50
Решение. 1. В режиме ХХ: Z н  ; I 2XX  0.
A11 
U1XX
 1  jCR  1  j 2;
U 2XX
A21  I1XX / U 2XX   2C 2 R  2 jC  4  103 (1  j ) См.
2. В режиме КЗ: Z н  0; U 2КЗ  0.
A12 
U1КЗ
 R  103 Ом;
I 2КЗ
A22 
I1КЗ
 1  jCR  1  j 2.
I 2КЗ
Проверим правильность решения:


A11 A22  A12 A21  (1  j 2) 2  103  4  10 3 (1  j )  1.
Пример 23. Определить A-параметры, Z C и g с ЧП (рис. 51), если
R  10 Ом;  L  10 Ом;
1
 20 Ом.
C
Рис. 51
Решение. 1. Найдём сопротивление холостого хода (ХХ) и короткого
замыкания (КЗ):
Z XX  Z1XX  Z 2XX ; Z КЗ  Z1КЗ  Z 2КЗ ;
Z1  Z 2
 5 1  j   7,07e  j 45 ;
2
ZZ
 2 1 2  40.
Z1  Z 2
Z XX 
Z КЗ
2. Найдем
ZC  Z XX Z КЗ  40  5 1  j   10 2 1  j   16,8e j 2230 .
'
3. Найдем А-параметры:
A11  A22 
'
1
1

 0,45e j 6325 ;
Z
8
1
1  КЗ
1 j
Z ХХ
'
'
A12  Z КЗ A11  40  0,45e j 6325  18e j 6325 ;
'
A11 0,45e j 6325
j10825'
A21 


0,064
e
.
Z ХХ 7,07e j 45
4. Определим характеристическую постоянную передачи:
'
gс  ln  A11  A12 A21   ln  0,277  j1,47   ln 1,5e j 7920  ;


a  0,41 Hеп  3,55 дБ; b  7920'.
с
с
Пример 24. Определить A-параметры четырёхполюсника (рис. 52), если
R  100 Ом; xL  200 Ом; xC  100 Ом.
Рис. 52
Решение. 1. Для экспериментального определения коэффициентов четырёхполюсника определяются сопротивления четырёхполюсника в режимах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). Для этого измеряются напряжения и токи в схеме, а также фазовые сдвиги между ними, а затем определяются сопротивления.
Коэффициенты четырёхполюсника определяются по формулам:
A11 
Z1ХХ
;
Z 2ХХ  Z 2КЗ
A12  A11Z 2КЗ ;
Сопротивления
A21 
A11
;
Z1ХХ
A22 
A11Z 2ХХ
.
Z1ХХ
Z1ХХ , Z2ХХ , Z2КЗ можно определить теоретически из
заданного четырёхполюсника
Z1ХХ  R  jxL ;
Z 2КЗ   jxC 
R  jxL
;
R  jxL
Z 2ХХ  jxL  jxC .
Определяем
A11 


R  jxL
RjxL
j  xL  xC   jxC 
R  jxL
 R  jxL 2
jxL  R  jxL   RjxL


 R  jxL 2
 xL2
R  jxL 100  j 200

 1  j 0,5;
jxL
j 200


RjxL 
A12  1  j 0,5    jxC 

R

jx

L 

100 j 200 
 1  j 0,5    j100 

100

j
200


250
250(1  j 2) 250  j 500



 50  j100;
1  j2
5
12  22
1  j 0,5
A21 
  j 0,005;
100  j 200
A22 
1  j 0,5 j100  1  j 0,5  j   0,5  j1  0,5.
100  j 200
1  j2
1  j2
2. Расчёт коэффициентов четырёхполюсника методом приравнивания коэффициентов (рис. 53).
Рис. 53
По первому закону Кирхгофа записываем уравнения для узла 1 в схеме (см.
рис. 53), заменив ток в индуктивности через напряжение на индуктивности,
делённое на сопротивление индуктивности:
IL 
I 2   jxC   U 2
,
jxL
тогда
I1 
I 2   jxC   U 2
 I 2  0.
jxL
Приводим данное равенство ко второму уравнению четырёхполюсника:
jxL I1  jxC I 2  U 2  jxL I 2  0;
jxL I1  U 2  jI 2  xL  xC  ;
I1 
x x
1
U 2  L C I2;
jxL
xL
A21 
1
  j 0,005;
jxL
A22 
xL  xC 200  100

 0,5.
xL
200
Таким образом, I1   j 0,005U 2  0,5 I 2 .
Далее по второму закону Кирхгофа записываем уравнение для внешнего
контура четырёхполюсника:
RI1  jxC I 2  U 2  U1.
Подставляем ток в это уравнение и приводим в форму первого уравнения
четырёхполюсника:
U1    j 0,005U 2  0,5 I 2  R  I 2   jxC   U 2 ;
U1    j 0,005 R  1U 2   0,5 R  jxC  I 2 ;
U1  1  j 0,5 R U 2   50  j100  I 2 .
Таким образом, A11  1  j 0,5; A12  50  j100.
3. Проведём проверку А-параметров четырёхполюсника методом холостого хода и короткого замыкания. Уравнения А-параметров имеют вид
U1  A11U 2  A12 I 2 ;

 I1  A21U 2  A22 I 2 .
Рассмотрим режим холостого хода на выходе ЧП, т. е. когда вторичные
зажимы разомкнуты (см. рис. 53). Тогда из первого уравнения U1  A11U 2 , коэффициент A11 
U1
U1
, получим
. Учитывая, что U 2  I1 jxL , где I1 
R  jxL
U2
A11 
U1
U1
jxL
R  jxL

R  jxL 100  j 200

 1  j 0,5.
jxL
j 200
При холостом ходе на выходе, когда I 2  0, из второго уравнения четырёхполюсника получим
I1  A21U 2 .
Определим I1 и U 2 : I1 
U1
U1
, а U 2  I1 jxL  I1 
jxL , тогда
R  jxL
R  jxL
U1
I
1
R  jxL
A21  1 

  j 0,005.
U1
U2
jxL
jxL
R  jxL
Рассмотрим режим короткого замыкания на выходе четырёхполюсника,
т. е. вторичные зажимы закорочены U 2  0 (рис. 54).
Рис. 54
Из первого уравнения U1  A12 I 2 , I 2  I1
jx L
U1
, но I1 
и
jxL ( jxC )
jxL  jxC
R
jxL  jxC
после подстановки I1 получим
I 2  I1

jx L
U1
jx L



jxL  jxC R  jxL ( jxC ) jxL  jxC
jxL  jxC
U1  jxL  jxC 
jx L
jx L

 U1
.
RjxL  RjxC  jxL ( jxC ) jxL  jxC
xL xC  jR ( xL  xC )
Тогда A12 
U1 xL xC  jR ( xL  xC )

 50  j100.
I2
jxL
Из
второго уравнения
четырёхполюсника
замыкания на выходе I1  A22 I 2 , следовательно, A22 
I1 
I 2  I1
 U1
при режиме
короткого
I1
. Определяем I1 и I 2 :
I2
jxL  jxC
U1
 U1
;
jxL ( jxC )
jR
x

x

x
x


L
C
L
C
R
jxL  jxC
jxL  jxC
jx L
jx L
 U1


jxL  jxC
jR  xL  xC   xL xC jxL  jxC
jxL

jR  xL  xC   xL xC
После подстановки коэффициентов в систему уравнений четырёхполюсника получим
U1  1  j 0,5U 2   50  j100  I 2 ;

I1   j 0,005U 2  0,5I 2 .

Для проверки правильности расчёта используем формулу обратимости
A11 A22  A12 A21  (1  j 0,5)0,5   50  j100   j 0,005   
 0,5  j 0,25    j 0,25  0,5  1.
3.1.4. Уравнения четырёхполюсников в B-, H-, F-формах
Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в B-форме:
 
 
U  B U  B  I ;
11 1
12
1
 2

 I  B U  B I .
21 1
22
1
 2
(12)
Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в H-форме:
U  H I  H U ;
1
11 1
12 2

 I 2  H 21I1  H 22U 2 .
(13)
Уравнения четырёхполюсников для схемы на рис. 45 в F-форме:
 I  F U  F I ;
1
11 1
12 2

U 2  F21U1  F22 I 2 .
(14)
Все шесть форм записи уравнений четырёхполюсников могут быть получены одна из другой. Соотношения параметров матриц всех шести форм записи
приведены в прил.
Пример 25. Определить В-параметры ЧП (рис. 55), если Z1  j 2 Ом;
Z2   j 2 Ом; Z3  2 Ом.
Рис. 55
Решение. Исходя из системы (12), получим
B11 
B12 
U2
U1

I1  0
U2
I1 U
Z 2  Z3
 1  j1;
Z3
 Z1  Z3 
1 0
B21 
B22 
I2
U1

1
 0,5 См;
Z3

Z1  Z3
 1  j1.
Z3
I1  0
I2
I1 U
1 0
Z1Z 2
 2 Ом;
Z3
При проверке вычислений должно быть B11 B22  B12 B21 1. Подставим
полученные B-параметры:
B11 B22  B12 B21  1  j11  j1 2  0,5  1,
т. е. решение верно.
3.2. Характеристические параметры четырёхполюсников
К характеристическим параметрам четырёхполюсников относят:
– характеристическое сопротивление (на входе или выходе) четырёхполюсника;
– характеристическая постоянная передачи (характеризующая соотношение напряжений и токов на входе и выходе четырёхполюсника).
Характеристическое, или согласованное, сопротивление симметричного
четырёхполюсника есть такое сопротивление, при подключении которого к выходным зажимам входное сопротивление четырёхполюсника становится равным этому сопротивлению, т. е. достигается согласование четырёхполюсника с
нагрузкой:
ZC  Z XX Z КЗ ,
(15)
т. е. Z C симметричного четырёхполюсника равно среднему геометрическому
значению сопротивлений холостого хода и короткого замыкания.
Характеристическая постоянная
передачи g c согласованного четырех-
полюсника
1 U I 
gc  ln  1  1  ,
2  U2 I2 
(16)
где под знаком логарифма – произведение отношений напряжений и токов:
U1
I
и 1.
U2
I2
Так как для согласованного симметричного четырёхполюсника U1   Z с I1
и U 2   Z с I 2 , то
gc  ln
I1
U
 ln 1 ,
I2
U2
(17)
откуда
e gc 
U1 I1
1
 
U 2 I 2 KU  j  Z

н  Zс
1
K I  j  Z
.
н  Zс
(18)
Так как g c в общем случае является комплексной величиной:
gc  ac  jbc ,
(19)
то
U1 U1 j  1  2 

e
 e gc  eac  ebc ,
U2 U2
где характеристическое затухание
U 
I 
ac  ln  1   ln  1  ,
 U2 
 I2 
(20)
bc  1  2 .
(21)
а характеристическая фаза
Для согласованного четырехполюсника
U1I1 S1

 e 2 ac ,
U 2 I 2 S2
(22)
где S1  U1I1, S2  U2 I2 – полные мощности на входе и выходе четырёхполюсника
соответственно.
Поэтому характеристическое затухание в неперах (Нп)
1 S
ac  lg 1 ,
2 S2
(23)
S 
ac  10ln  1  ,
 S2 
(24)
а в децибелах (дБ)
причем 1дБ  0,115 Нп, 1Нп  8,686 дБ.
Окончательно имеем:
ac  Нп   ln (U1 / U 2 )  ln ( I1 / I 2 );
ac  дБ   20lg(U1 / U 2 )  20lg( I1 / I 2 ).
Пример 26. Для четырёхполюсника (рис. 56) определить характеристическое сопротивление ZC , характеристическую постоянную передачи g c , характеристическое затухание
Z1  5  j5 Ом; Z2  5  j5 Ом.
ac
и
характеристическую
фазу
bc ,
если
Рис. 56
Решение. Характеристическое сопротивление ZC  Z ХХ Z КЗ , где
Z ХХ  Z1  Z 2 ; Z1КЗ  Z1 
Z1Z 2
,
Z1  Z 2
откуда
ZC 

 Z1  Z 2   Z1 

Z1Z 2 
j1325'
Ом.
  10,8  j 2,56   11,2e
Z1  Z 2 
Характеристическая постоянная передачи g c через A-параметры записывается выражением:
e gc  A11 A22  A12 A21 .
Так как четырёхполюсник (см. рис. 56) симметричен (т. е. A11  A22 ) и является обратимым (т. е. A11 A22  A12 A21  1 ), то
2
e gc  A11  A11
 1.
Так как A11 
U1ХХ
U 2ХХ

I2 0
I1ХХ  Z1  Z 2 
Z
 1  1  1  e j /2  1  j,
I1ХХ Z 2
Z2
тогда получим окончательно


2
gc  ac  jbc  ln A11  A11
 1  ln 1  j  


 ln 2,19  e
j 35
  ln2,19  j35  0,782  j0,35,
1  j 2  1 

откуда ac  0,782 Нп  6, 92 дБ, bc  35 .
3.3. Виды соединений и регулярность
соединений четырёхполюсников
Сложную электрическую цепь, имеющую входные и выходные зажимы,
можно представить в виде совокупности простых четырёхполюсников, соединённых определённым образом. В этом случае параметры сложного четырёхполюсника удобно выразить через параметры простых четырёхполюсников, используя матричную форму записи уравнений ЧП.
В табл. 1 приведены виды соединений и матричные уравнения ЧП для
определения соответствующих параметров результирующих ЧП.
При нахождении результирующих матриц для ЧП должно выполняться
условие регулярности, т. е. при любом соединении четырёхполюсников предполагается, что каждый из четырёхполюсников считается регулярным (на
входных и выходных зажимах каждого четырёхполюсника в один и тот же зажим
входит такой же ток, который выходит из второго зажима) (рис. 57).
Рис. 57
Таблица 1
Соединение звеньев
Схема соединения
Матричные уравнения
Цепное
 A   A1   A 2
Последовательное
 Z    Z 1   Z 2
Последовательно-
 H    H 1   H 2
параллельное
Параллельное
Y   Y 1  Y 2
Параллельно-
G   G 1  G  2
последовательное
Следовательно, при анализе соединений ЧП должна производиться
проверка регулярности. Отметим, что регулярность не нарушается:
1. При каскадном соединении любых ЧП.
2. При параллельном соединении уравновешенных (симметричных относительно продольной оси) или подобных ЧП.
3. При параллельном или последовательном соединении треугольных ЧП
так, что их общие зажимы объединяются (на рис. 58 а – последовательное
соединение, б – параллельное).
Рис. 58
4. При последовательно-параллельном или параллельно-последовательном соединении треугольных ЧП, у одного из которых соединительные про-вода
перекрещены (на рис. 59 а – последовательно-параллельное соединение, б –
параллельно-последовательное).
Примечание. При перекрещивании выходных (входных) зажимов четырёхполюсника у всех его А-параметров знаки меняются на обратные.
Рис. 59
5. При любом соединении n четырёхполюсников, из которых по крайней
мере n  1 является разрывным.
Разрывным называется ЧП, входные и выходные зажимы которого не
связаны между собой (рис. 60).
Рис. 60
Регулярность соединения нарушается:
1. При последовательном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсником, параметры которого меняются, если присоединить к его верхним
полюсам сопротивление, не равное бесконечности (рис. 61, а).
2. При последовательном соединении обратимого ЧП с необратимым.
3. При параллельном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсни-ком,
параметры которого меняются, если присоединить к его верхним полюсам
сопротивление, не равное бесконечности (рис. 61, б).
Рис. 61
4. При параллельном соединении двух ЧП, составленных из «разрывных
ЧП» и двухполюсников, сопротивления которых удовлетворяют условию
Z1 Z1

(рис. 62).
Z 2 Z 2
Рис. 62
5. При последовательно-параллельном или параллельно-последовательном соединении треугольного ЧП с четырёхполюсником, параметры которого
меняются, если присоединить к полюсам 1 и 4 или 2 и 3 сопротивления, не
равные бесконечности (на рис. 63 а – последовательно-параллельное соединение, б – параллельно-последовательное).
Рис. 63
3.4. Проверка регулярности соединений четырёхполюсников
и идеальный трансформатор
Проверка регулярности соединений является важным элементом теории
четырёхполюсников. Если четырёхполюсники имеют параметры, не равные
бесконечности, то проверка может выполняться на основе схем, приведённых на
рис. 64. Последовательное, параллельное, последовательно-параллельное и
параллельно-последовательное соединения четырёхполюсников являются регулярными, если одновременно равны нулю напряжения в схемах на рис. 64, а–г
соответственно, матрица общего четырёхполюсника находится в соответствии с
табл. 1.
Рис. 64
Регулярность соединений четырёхполюсников в ряде случаев можно
обеспечить включением идеальных трансформаторов (рис. 65).
Рис. 65
Идеальный трансформатор (рис. 65, а) обладает следующими свойствами:
– при любых условиях соотношение первичного и вторичного напряже-ний
на зажимах идеального трансформатора равно отношению вторичного тока к
первичному и определяется отношением чисел витков его обмоток, т. е. коэффициентом трансформации n ;
– не имеет потерь;
– первичный ток не проходит по разомкнутой вторичной обмотке.
Матрица А-параметров идеального трансформатора
n 0 
 A   1  .
0
n

Если коэффициент трансформации n  1, то матрица А принимает вид
1 0 
.
0
1


 A  
Включение идеального трансформатора на входе четырёхполюсника (рис.
66, а) преобразует матрицу последнего к виду
 nА11 nА12 
n 0 
n 0  А
А


11
12
.
 1
 A   1    A   1   
1

0
0
А22 
 А21 А22   А21
n
n
n


n

А включение идеального трансформатора после четырёхполюсника (рис.
66, б) преобразует его матрицу так:
1


n 0   nА11
А12 
n 0 

А 
А
n
 A   A   1    11 12    1   
.
А
А
1
0
0
 21
22 

А22 
n
n   nА21



n

Рис. 66
Матрицы четырёхполюсников преобразуются следующим образом:
а) при включении идеального трансформатора на входе четырёхполюсника
 n 2 Z11 nZ12 
Z   
,
 nZ 21 Z 22 
1 
1
Y11 Y12 
2

;
n
Y    n

 nY21 Y22 
б) при включении идеального трансформатора на выходе четырёхполюсника

 Z11
Z    1
 Z
 n 21
1

Z12 
n
,
1
Z 
2 22 
n

Y11
Y   
 nY21
nY12 
.
n 2Y22 
Использование идеального трансформатора с коэффициентом трансформации n  1 не преобразует матрицу четырёхполюсника, но делает четырёхполюсник разрывным и тем самым обеспечивает регулярность соединения.
Пример 27. Для четырёхполюсников (рис. 67) с параметрами R1  100 Ом;
R2  50 Ом; xL  100 Ом; R3  50 Ом; xL3  100 Ом выполнить следующее:
1) определить A-параметры звеньев ЧП;
2) произвести анализ регулярности последовательного и последова-тельнопараллельного соединений;
3) определить эквивалентные параметры соединений ЧП;
4) опрелить А-параметры последовательного и последовательно-параллельного соединений;
5) определить элементы схемы замещения для последовательного и последовательно-параллельного соединений ЧП.
Рис. 67
Решение. 1. А-параметры звена (рис. 67, а) определим, используя режим
холостого хода и короткого замыкания, и обозначим через  A :
 
A11
 
A12

U1
U2
U1
I2 U

I2 0

2 0
U1
U1
 jxL
R1  jxL

R1  jxL 100  j100

 1  j1;
jxL
j100
U1
U1
jxL


R2 jxL  R2  jxL
 R1 

R2  jxL 


R1  R2  jxL   R2 jxL

jxL
100  50  j100   50 j100
 150  j 50 Ом;
j100
 
A21
 
A22
I1
I2 U
I1
U2

2 0

I 2 0
I1
1
1


  j 0,01 См;
I1  jxL jxL j100
I1
R  jxL 50  j100
 2

 1  j 0,5.
jxL
jx
j
100
L
I1 
R2  jxL
Произведём проверку определённых параметров по соотношению
A11 A22  A12 A21  (1  j1)(1  j 0,5)  150  j50  ( j 0,01)  1.
Соотношение выполняется, А-параметры определены верно.
По аналогии определяются параметры ЧП (рис. 67, б). Обозначим их че-рез
 A :
  1 j0,5; A12
  50 Ом; A21
   j 0,01См; A22
  1.
A11
Следовательно, матрицы А-параметров имеют вид
150  j 50 
1  j1
;
  j 0,01 1  j 0,5 
 A  
1  j 0,5 50 
.
  j 0, 01 1 
 A  
2. Последовательное соединение. Так как четырёхполюсники (рис. 67)
относятся к треугольным, то непосредственное их соединение приводит к
нерегулярности по пункту 1 подраздела 3.3, то же самое получается при проверке
регулярности по схеме на рис. 64, а, т.е. U a  0.
Регулярность
соединения
четырёхполюсников
обеспечивается
включением их по пункту 3а подраздела 3.3 (см. рис. 58) или использованием
идеального трансформатора по схеме на рис. 65, б с коэффициентом
трансформации n  1.
Последовательно-параллельное соединение. При проверке регулярности
по схемам на рис. 64, в видим, что U a  0 и U b  0, т. е. соединение оказывается
нерегулярным.
Регулярность этого соединения можно обеспечить по пункту 4 подраз-дела
3.3 (см. рис. 59) или с помощью идеального трансформатора по схеме на рис. 65,
б.
3. Последовательное соединение четырёхполюсников. При соединении
четырёхполюсников по схеме (рис. 58, а) эквивалентные параметры соединения
равны  Z    Z    Z  . Определим Z-параметры каждого четырёхполюсника:

A11
1  j1
1
1
 

 100  j100; Z12

  j100;


A21
 j 0,01
A21
 j 0,01
1
1
A
1  j 0,5
 
  22 
Z 21

 j100; Z 22
 50  j100.


A21
 j 0,01
A21
 j 0,01
 
Z11
По аналогии для второго четырёхполюсника находим
  50  j100; Z12
   j100; Z21
  j100; Z22
   j100.
Z11
Следовательно, эквивалентные Z-параметры последовательного соединения равны
100  j100  j100  50  j100  j100 
+

 50  j100   j100
 j100 
 j100
 Z    Z    Z   
150  j 200  j 200 

.
j
200

50

j
200


Последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников проводим по схеме рис. 68 с коэффициентом трансформации n  1.
Рис. 68
Определяем H-параметры звеньев четырёхполюсника. Для первого звена
(см. рис. 67, а) имеем:

A12
150  j 50
1
1
 

 140  j 20; H12

 0,8  j 0,4;


A22
1  j 0,5
A22
1  j 0,5
1
1
A
 j 0,01
 
   21 
H 21

 0,8  j 0,4; H 22
 0,004  j 0,008.


A22
1  j 0, 5
A22
1  j 0,5
 
H11
Для второго четырёхполюсника (см. рис. 67, б) получим:
  50; H12
  1, H21
  1; H22
  j 0, 01.
H11
Эквивалентная матрица имеет вид
0,8  j 0,4
1 
140  j 20
 50
+


0
,
8

j
0
,
4

0
,
0
04

j
0
,
008
1

j
0
,
01

 

 H    H    H   
1,8  j 0,4
190  j 20


.
1
,
8

j
0
,
4

0
,
0
04

j
0
,
018


4. Для определения А-параметров соединений воспользуемся следующи-ми
соотношениями.
Последовательное соединение:
A11 
A12  
Z11 150  j 200

 1  j 0,75;
Z 21
j 200
Z11Z 22  Z12 Z 21
150  j 200  50  j 200   j 200( j 200)  200  j37,5;

Z 21
j 200
A21 
1
1

  j 0,005;
Z 21 j 200
A22  
Z 22
50  j 200

 1  j 0,25.
Z 21
j 200
Последовательно-параллельное соединение:
190  j 20  0,004  j 0,018   (1,8  j 0,4) 2
H11H 22  H12 H 21

A11  

 2  j1,5;
H 21
1,8  j 0,4
A12 
H11 190  j 20

 102,94  j11,76;
H 21 1,8  j 0,4
A21  
A22 
H 22
0,004  j 0,018

  j 0,01;
H 21
1,8  j 0,4
1
1

 0,53  j 0,118.
H 21 1,8  j 0,4
5. Для последовательного соединения четырёхполюсников выберем Тобразную схему замещения (рис. 69, а).
Рис. 69
Параметры Т-образной схемы замещения определяются соотношениями:
Z1 
A11  1 1  j 0,75  1

 150 Ом;
A21
 j 0,005
Z3 
Z2 
1
1

 j 200 Ом;
A21  j 0,005
A22  1 1  j 0,25  1

 50 Ом.
A21
 j 0,005
Для параллельно-последовательного соединения четырёхполюсников
выберем П-образную схему замещения (рис. 69, б). Тогда
Z1  A12  102,94  j11,76 Ом;
Z2 
A12
102,94  j11,76

 199,5  j 74,9 Ом;
A22  1 0,53  j 0,118  1
Z3 
A12
102,94  j11,76

 37,1  j 43,9 Ом.
A11  1
2  j1,5  1
Примечание. Анализ расчёта схем замещения позволяет сделать вывод: Ти П-образные схемы замещения для четырёхполюсников не всегда физичес-ки
реализуемы, т. е. активная часть комплексов сопротивлений может оказать-ся
отрицательной (например, имеем Z2  199,5  j 74,9 Ом ).
Пример 28. Согласовать источник ЭДС и нагрузку с помощью
симметричного Т-образного четырёхполюсника для передачи максимальной
мощности, если (рис. 70) E  100 B; Rвн  1 Ом; Rн  50 Ом.
Рис. 70
По условию согласования Z1C  Rвн , Z 2C  Rн , тогда можем записать
Z1C 
A11Z 2C  A12
 Rвн ,
A21Z 2C  A22
Z 2C 
A22 Z1C  A12
 Rн .
A21Z1C  A11
Система уравнений для определения коэффициентов четырёхполюсника и
перехода от коэффициентов к параметрам Z1, Z2 , Y0 примет вид
1
9 A11  A12
,
9 A21  A22
9
A22  A12
,
A21  A11
A11 A22  A21 A12  1.
При этом из условия симметричности четырёхполюсника A11  A22 .
Решаем данную систему относительно коэффициентов A11, A21, A12 , A22
путём исключения переменных.
Подставляем в систему вместо A22 коэффициент A11 :
9 A21  A11  9 A11  A12 ,
9 A21  9 A11  A11  A12 ,
2
A11
 A21 A12  1.
Приводим подобные в уравнениях:
9 A21  8 A11  A12 ,
9 A21  8 A11  A12 ,
2
A11
 A21 A12  1.
Вычтем из первого уравнения второе:
0  16 A11  0.
Следовательно, A11  0, тогда из третьего уравнения следует
0  A21 A12  1
или
A12  
1
.
A21
Подставляем A12 в первое уравнение:
9 A21  A11  9 A11  A12 ;
9 A21  
1
;
A21
2
9 A21
 1;
1
2
A21
 ;
9
A21   
1
1
j .
9
3
Следовательно:
1.
Z1  Z 2  
1
A21   j  Y0 .
3
Тогда
Z0 
1
1
  j3  –
1
Y0
j
3
это
ёмкость,
а
1
1

 j 3 – это индуктивность. Схема четырёхполюсника
1
A21
j
3
примет вид, представленный на рис. 71.
Рис. 71
1
1
3
2. A21   j  Y0 . Тогда Z 0  
   j 3 – это индуктивность,
1
3
j
j
3
Z1  Z 2 
1
  j 3.
 A21
Схема четырёхполюсника примет вид, представленный на рис. 72.
Рис. 72
Без включения четырёхполюсника мощность в нагрузке (рис. 73) будет
Рис. 73
E  100 B;
I
100
 10 A;
1 9
Pн  I 2 Rн  102  9  900 Вт.
а
При включении согласующего четырёхполюсника (рис. 74) определяем
мощность в нагрузке:
Z  Rвн  j 3 
 j 3(9  j 3)
 j 27  9
 1  j3 
 2;
 j3  9  j3
9
E 100

 50 A;
Z
2
 jxC
 j3
50 50
I 2  I1
 50 
  j  e j 90 A.
 jxC  Rн  jxL
9
3
3
I1 
Рис. 74
Тогда мощность, выделяемая в нагрузке
P   I2 
2
2
 50 
Rн     9  2500 Вт.
 3 
Приложение
Таблица связи параметров основных форм уравнений четырёхполюсника
Матриц
Y
Z
A
B
H
F
ы
𝑌12
𝑌22
𝑍22
|𝑍|
−𝑍21
|𝑍|
−𝑍12
|𝑍|
𝑍11
|𝑍|
𝐴22
𝐴12
−1
𝐴12
−|𝐴| 𝐵11
𝐴12 𝐵12
𝐴11 −|𝐵|
𝐴12 𝐵12
𝐴11
𝐴21
1
𝐴21
|𝐴|
𝐴21
𝐴22
𝐴21
𝐵22
𝐵21
|𝐵|
𝐵21
1
𝐵21
𝐵11
𝐵21
|𝐻|
𝐻22
−𝐻21
𝐻22
𝐻12
𝐻22
1
𝐻22
𝐵22
|𝐵|
𝐵21
|𝐵|
𝐵12
|𝐵|
𝐵11
|𝐵|
−|𝐻|
𝐻21
−𝐻22
𝐻21
−𝐻11
𝐻21
−1
𝐻21
𝐵12
𝐵22
1
𝐻12
𝐻22
𝐻12
Y
𝑌11
𝑌21
Z
𝑌22
|𝑌|
−𝑌21
|𝑌|
−𝑌12
|𝑌|
𝑌11
|𝑌|
𝑍11
𝑍21
𝑍12
𝑍22
A
−𝑌22
𝑌12
−|𝑌|
𝑌12
−1
𝑌12
−𝑌11
𝑌12
𝑍11
𝑍21
1
𝑍21
|𝑍|
𝑍21
𝑍22
𝑍21
𝐴11
𝐴21
𝐴12
𝐴22
B
−𝑌11
𝑌12
−|𝑌|
𝑌12
−1
𝑌12
−𝑌22
𝑌12
𝑍22
𝑍12
1
𝑍12
|𝑍|
𝑍12
𝑍11
𝑍12
𝐴22
|𝐴|
𝐴21
|𝐴|
𝐴12
|𝐴|
𝐴11
|𝐴|
𝐵11
𝐵21
H
1
𝑌11
𝑌21
𝑌11
𝑍12
𝑍22
1
𝑍22
𝐴12
𝐴22
−1
𝐴22
|𝐴|
𝐴22
𝐴21
𝐴22
𝐵12
𝐵11
−|𝐵|
𝐵11
F
|𝑌|
𝑌22
−𝑌21
𝑌22
−𝑍12
𝑍11
|𝑍|
𝑍11
𝐴21
𝐴11
1
𝐴11
−|𝐴|
𝐴11
𝐴12
𝐴11
𝐵12
𝐵22
|𝐵|
𝐵22
−𝑌12
𝑌11
|𝑌|
𝑌11
𝑌12
𝑌22
1
𝑌22
|𝑍|
𝑍22
−𝑍21
𝑍22
1
𝑍11
𝑍21
𝑍11
−1
𝐵12
𝐵22
𝐵12
1
𝐵11
𝐵21
𝐵11
−1
𝐵22
𝐵12
𝐵22
1
𝐻11
𝐻21
𝐻11
−𝐻12
𝐻11
|𝐻|
𝐻11
|𝐹|
𝐹22
𝐹21
𝐹22
1
𝐹11
𝐹21
𝐹11
1
𝐹21
𝐹11
𝐹21
𝐹12
𝐹22
1
𝐹22
−𝐹12
𝐹11
|𝐹|
𝐹11
𝐹22
𝐹21
|𝐹|
𝐹21
𝐻11
𝐵12
|𝐻|
𝐻12
−|𝐹| −𝐹22
𝐹12
𝐹12
𝐹11
1
𝐹12
𝐹12
𝐻11
𝐻21
𝐻12
𝐻22
𝐹22
|𝐹|
−𝐹21
|𝐹|
𝐻22
|𝐻|
𝐻21
|𝐻|
𝐻12
|𝐻|
𝐻11
|𝐻|
𝐹11
𝐹21
−𝐹12
|𝐹|
𝐹11
|𝐹|
𝐹12
𝐹22
Примечание: | Z | Z11Z22  Z12Z21; | Y | Y11Y22  Y12Y21; | A | A11A22  A12 A21;
| B | B11B22  B12 B21; | H | H11H22  H12H 21; | F | F11F22  F12F21.