элементами матрицы

Литература
• Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
•
•
•
•
•
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии
Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Хейнман В.Б. Сборник задач
по линейной алгебра и аналитической геометрии
• Барышева В.К., Ивлев Е.Т., Пахомова Е.Г. Руководство к
решению задач по аналитической геометрии
Глава I. Элементы линейной алгебры
Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая линейные
пространства и подпространства, линейные операторы,
линейные, билинейные и квадратичные функции на
линейных пространствах
§ 1. Матрицы и действия над ними
1. Определение и некоторые виды матриц
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Матрицей размера mn называется
таблица, образованная из элементов некоторого множества
(например, чисел или функций) и имеющая m строк и n
столбцов.
Если m  n, то матрицу называют прямоугольной.
Если m  n, то матрицу называют квадратной, порядка n.
Элементы, из которых составлена матрица, называются
элементами матрицы.
Например, a24 –
a13 –
 a11
a
A   21

 am1
a12
a22

am 2




a1n 

a2 n
,

amn 
 a11 a12
 a21 a22
A
 
a
 m1 am 2




a1n 
a2 n 

amn 
A  ( aij ) , ( i  1, m, j  1, n )
A  ( aij ) , ( i, j  1, n )
Две матрицы A и B считаются равными, если они одинакового
размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах,
равны между собой, т.е. aij  bij.
Некоторые частные случаи матриц
 a11 
a 
1) Матрицу A   21   ( ai1 ) , размера m  1 называют

 am1 
матрицей-столбцом длины m
2) Матрицу A  a11 a12  a1n   ( a1i ) , размера
1  n называют матрицей-строкой длиныn
3) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы
которой равны нулю:
0
0
O 

0

0
0

0




0
0

0 
4) Пусть A  ( aij ) , ( i  1, m, j  1, n )
Элементы a11, a22, …, akk (где k  min{m,n}) будем называть
элементами главной диагонали матрицы.
Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне
главной диагонали, равны нулю, называется диагональной:
 a11 0
 0 a
22
A
 
 0 0
 0 
 0 

 
 ann 
Диагональная матрица, у которой все элементы главной
диагонали равны 1, называется единичной:
1
0

0

Обозначают: E или En.
0
1

0




0
0

1 
5) Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n. Элементы
a1n, a2,n-1, a3,n-2, …, an1 будем называть элементами побочной
диагонали матрицы.
Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше)
главной или побочной диагонали равны нулю, называются
треугольными :
 b11  b1, n 2 b1, n 1 b1n 
 a11 a12 a13  a1n 


 0 a a  a 
b

b
b
0
2, n  2
2, n 1
22
23
2n 
 21


A   0 0 a33  a3 n  , B   b31  b3, n 2
0
0 ,
  

     


 0 0 0  a 
b 

0
0
0


nn
 n1

0
0
d1n 
 0 
 c11 0 0  0 
 0 

c c

0
d
d
0  0
2, n 1
2n 
21
22



C   c31 c32 c33  0  , D   0  d3, n 2 d3, n 1 d3 n 
  


      
d  d

d
d
 cn1 cn2 cn3  cnn 
n
1
n
,
n

2
n
,
n

1
nn


6) Прямоугольную матрицу размера m  n будем называть
трапециевидной, если все ее элементы ниже главной
диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид:
 a11 a12
 0 a
22

A 0 0
  
 0 0
a13
a23
a33

0





a1m
a2 m
a3 m

amm





a1n 
a2 n 

a3 n 

amn 
2. Линейные операции над матрицами
1) Умножение матрицы на число;
2) Сложение матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(aij) на число 
называется такая матрица B=(bij), элементы которой
равны
произведениям
соответствующих
элементов
матрицы A на число , т.е.
bij= ·aij.
Обозначают: ·A, A.
Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A,
Обозначают –A.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(aij) и B=(bij)
одинакового размера, называется такая матрица C=(cij),
элементы которой равны суммам соответствующих
элементов матриц A и B, т.е. cij = aij + bij .
Обозначают: A+B
Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B.
Обозначают: A–B
Свойства линейных операции над матрицами
1) A  B  B  A (коммутативность сложения матриц)
2) ( A  B )  C  A  ( B  C ) (ассоциативность сложения
матриц)
3) A  O  A
4) A  ( A )  O
5)  (  A )  ( )A (ассоциативность относительно умножения
чисел)
6) (   )A   A   A (дистрибутивность умножения на
матрицу относительно сложения чисел)
7)  ( A  B )   A   B (дистрибутивность умножения на
число относительно сложения матриц)
8) 1A  A
3. Нелинейные операции над матрицами
1) Умножение двух матриц;
2) Транспонирование матрицы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a1i) и B=(bi1) – матрица-строка и
матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением
матрицы-строки A на матрицу-столбец B называется
число c, равное сумме произведений их соответствующих
элементов, т.е.
c  a11 · b11 + a12 · b21 + a13 · b31 + … + a1n · bn1 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(aij) – матрица размера m  n,
B=(bij) – матрица размера n  k (т.е. количество столбцов в
матрице A совпадает с количеством строк матрицы B).
Произведением матрицы A на матрицу B называется
матрица C =(cij) размера m  k такая, что каждый ее
элемент cij является произведением i-й строки матрицы
A на j-й столбец матрицы B, т.е.
cij  ai1 · b1j + ai2 · b2j + ai3 · b3j + … + ain · bnj .
Обозначают: A ·B, AB.
Свойства операции умножения матриц
1) AE  EA  A , AO  OA  O
2) ( AB )C  A( BC ) (ассоциативность умножения матриц)
3) ( A  B)C  AC  BC 
 дистрибутивность умножения

4) C( A  B)  CA  CB 
матриц относительно сложения матриц.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m  n.
Матрица размера n  m, полученная из A заменой каждой
ее строки столбцом с тем же номером, называется
транспонированной к A и обозначается AТ.
Операция нахождения матрицы AТ называется
транспонированием матрицы A.
Свойства операции транспонирования матриц
1) ( AT )T  A
2) ( A  B)T  AT  BT
3) ( A)T   AT
4) ( A  B)T  BT  AT