  n Матрицы i

Стовик Олег ТП-09-2
Матрицы
Основные понятия.
Матрицей - называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк одинаковой длины (или n столбцов одинаковой длины). Матрица
записывается в виде
a
 11
A   a21
a
 m1
a12 a1n 

a22 a2n 
am2 amn 
или, сокращенно, А=
 a  , где
строки, j  1, n (т.е.
j =1, 2, 3, …, n )  номер столбца.
ij
i  1, m (т.е. i = 1, 2, 3,..., m )
Матрицу А называют матрицей размера m  n и пишут
 номер
Amn . Числа
aij , составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие
на диагонали, идущие из верхнего угла, образуют главную диагональ.
Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы
этих матриц, т.е.
A  B , если aij = bij , где i  1, m , j  1, n
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется
квадратной. Квадратную матрицу размера n  n , называют матрицей
n-го порядка.
Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной
диагонали, равны нулю, называются диагональной.
Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали
равен единице, называется единичной. Обозначается буквой E.
Пример 1.1
1 0 0
E33 =  1 0 1 
0 0 1


- единичная матрица 3-го порядка.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Обозначается буквой О. Имеет вид
0 0

О = 0 0
0 0

0

0
0 
В матричном исчислении матрицы О и E играют роль чисел 0 и 1 в
арифметике.
Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется
вектором ( или вектор-столбец, или вектор строка соответственно). Их вид:
 a1 
 
a
A 2 
 .
 
 am 
Матрица размера
B   b1 b2
bn 
1 1 , состоящая из одного числа, отождествляется с
 
этим числом, т.е. 5 11 есть 5.
Матрица, полученная из данной замены каждой ее строки столбцом с тем
же номером , называется матрицей транспонированной к данной.
Обозначается AT .
Сложение.
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых
размеров.
 
 
Суммой двух матриц Amn  aij и Bmn  bij , называется матрица
Cmn   cij  такая, что cij  aij  bij i  1, m, j  1, n


Пример 1.2.
 2 3 0   3 3 1  5 0 1




4
5
6

2

5
4

 
  2 0 10 
Аналогично определяется разность матриц.
Умножение на число
Произведением матрицы Amn  ( aij ) на число k называется матрица
Bmn  (bij ) такая, что bij  k  aij (i  1, m, j  1, n) .
Пример 1.3
 0 1 2 
 0 2 4 
A
,
k

2,
A

k




3 4 5
 6 8 10 
Матрица  A  (1) A называется противоположной матрице A.
Разность матриц A  B можно определить так: A  B  A  ( B ).
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают
следующими свойствами:
A B  B  A
A  ( B  C )  ( A  B)  C
AO  A
A A  O
где A, B, C- матрицы,  и  - числа.
Вычисление обратной матрицы
 a11 a12

a
a22
A   21


 an1 an 2
a1n 

a2 n 


ann 
1 A A
 ( A  B)   A   B
(   ) A   A   A
 (  A)  ( ) A
Минором M ij - называют определитель матрицы, которая получается
вычеркиванием в матрице Aij ( i-ой строки и j-го столбца).
Пример 1.4
 1 2 1


2
2
3

A= 
 1 1 1


 2 3
M ij  
  2  3  1
1
1


Алгебраическим дополнением элемента aij называется:
M ij (1)i j  Aij
Обратная матрица имеет элементы:
bij 
Aij
A
A -- определитель матрицы A
Декартовая система координат
Прямоугольные или декартовые координаты на плоскости
позволяют определить положение любой точки на плоскости путем
задания пары чисел.
Изоморфизм на множество V, называется – отображение множества
V , взаимно-однозначно, если каждому n  V соответствует только
один V  V .
Пример 1.5
A x1; y1  B  x2 ; y2  C  x; y 
AC
Найти на AB такую C, что CB  l ; l  0
Выразим координаты C через A и B. Заметим , что в соответствие с
теорией Фалеса (параллельные прямые делят стороны угла на
AC
x  x1 y  y1

пропорциональные части) CB x  x  y  y  l .
2
2
Имеем:
 x  x1
x1  lx2

x

x x l
 2

1 l



 y  y1  l
 l  y1  ly2

 y2  y
1 l
Вектором AB , называется направленный отрезок из A в B и его
координаты:
AB  B  A  ( x2  x1; y2  y1 ) , (корд. конца минус корд. начала)
Вектор AA  (O; O) , называется нулевым вектором и обозначается
O.
Каждый нулевой вектор имеет две характеристики: модуль
(длина) и направление.
- Модуль вектора a(a1; a2 ) равен длине отрезка
AB , a  a12  a22 , а направление вектора определяет его
координаты.
Перенося a(a1; a2 ) параллельно в каждую точку плоскости
xOy ,
мы получим его копии вектора a . Самым удобным представителем
этого класса является вектор OA  a , начало которого совпадает с
началом координат , а конец есть некоторая точка A  (a1; a2 ) с
координатами идентичному вектору. OA мы в дальнейшем и будем
отождествлять с вектором
a.
Если два вектора имеют равные длины, лежат на параллельных
прямых и имеют одинаковые направления, то они называются –
равными.
Принцип отложения векторов от точек является возможностью
операции над векторами.
Таких операций всего две: сложение и умножение на число.
Векторы складываются по правила треугольника или по правилу
параллелограмма ( операция сложения обладает рядом свойств).
Аксиомы линейного пространства пространства:
a  b  b  a (êî ì ì óò àò èâí î ñò ü)
a  (b  c)  (a  b)  c(àññî öèàò èâí î ñò ü)
aO  a
 
k  a  b   k a  kb, k 
a  a  O
 k1  k2  a  k1 a  k2 b; k1 , k2 
k1  k2 a    k1k2  a; k1 , k 2 
1 a  a
Пример 1.6
Дано:
ABC, A(4;8), B(10;2), M(5;1)
Найти:
1) C;
2) Длину медианы проведенную из C.
Решение
 4  10 8  2 
1) F- середина отрезка AB по формуле F  2  2 


Тогда FM  M  F   5;1   7;3   2; 2 
2) свойству медиан: FM 
1
FC  FC  3 FM  (6;6)
3
2
2
Значит FC  FC  (6)  (6)  6 2
Третья вершина C  F  FC  (7;3)  (6; 6)  (1; 3)
Ответ: С(1;-3), CF= 6 2 .
Рассмотрим: a1 , a2 ,...ak
Векторы a1 , a2 ,...a k называются линейно-зависимыми,
существуют такие числа c1 , c2 ,...ck не равные нулю одновременно,
что справедливо равенству:
c1  a1  c2  a2  ...  ck  ak  O
Векторы a1 , a2 ,...ak линейно независимыми, если равенство
выполняется только в одном случае, при
c1  c2  c3  ...  ck  0
Теорема
Система векторов линейно-зависима если один из векторов
может быть выражен через остальные.
1  d1  2  ...  d k 1   k
- Нулевой вектор линейно зависят
- Два вектора на прямой линейно зависят
- Три вектора на плоскости линейно зависят
Если три вектора a, b, c приложены к одной точке, причем a , b не
лежат на одной прямой.
Если продолжить линии, на которых лежат a и
параллелограмм.
b , то получится
Скалярное произведение
Скалярным произведением векторов
определению:
aи b
по
 a  b   a  b  cos  ; угол между векторами a и b .
Заметим, что в результате скалярного произведения мы получим
число, а не вектор.
F:
3
3
 ;( F отображает
3
( написание
трехмерного пространства )
n
- множество чисел.
Пусть вектор
a  (a1 ; a2 )
b  (b1 ; b2 )
, тогда:
(a, b)  a b cos   a1 b1  a2 b2
Скалярное произведение обладает свойствами:
2
1) (a, a)  a  0
2) ( a, b)  (b, a )
3) (a  b, c)  (a, c)  (b, c)
4) (k a, b)  (a, kb)  k (a, b); k 
Также эти четыре свойства можно принять за определение
скалярного произведения.
С помощью скалярного произведения можем установить
перпендикулярность, или ортогональность и колинеарность
векторов.
Утверждение:
Если векторы a  0 и b  0 , тогда a  b  (a, b)  0
Доказательство:
(a, b)  0  a b cos   0  cos   0   

2
ab
Утверждение:
Если векторы
a  0 и b  0 , тогда a b  a  k b
Пример 1. 7
Найти угол между двумя векторами: a  (3, 4) и
b  (1, 3) . Воспользовались формулой, получили:
cos  
a, b
a,b

3 1  4 (3)
9

25 10
5 10