Радиус сходимости степенного ряда

Степенные ряды
Функциональные ряды
Ряд, членами которого являются функции от x
называется функциональным

 u x   u x   u x   ...  u x   ...
n 1
n
1
2

n
x

n 1

cos n 2 x

2
n
n 1
n
Пример
Найти область сходимости рядов

n
x

n 1

sin n 2 x

2
n
n 1
Степенные ряды

 a x  x 
n
n 1
n
0
 ao  a1  x  x0   ...  an  x  x0   ...
n
степенной ряд по степеням x  x0  .
Действительные или комплексные числа
a0 , a1 , a2 ,..., an ,...
называются коэффициентами ряда.
Теорема Абеля

n
a
x
сходится при x  x0  0 ,
Если ряд  n
n 1
то он абсолютно сходится при всех значениях x ,
удовлетворяющих неравенству x  x0 .
 x0
x
x0
точки сходимости
Теорема Абеля
Следствие

n
a
x
расходится при x  x1 ,
Если ряд  n
n 1
то он расходится и при всех x , удовлетворяющих
неравенству x  x1 .
 x1
точки расходимости
x
x1
Радиус сходимости степенного ряда
 x0
интервал сходимости
x
x0
 x
0
; x0 
 R; R
радиус сходимости R  x0
an
R  lim
n  a
n 1
1
R
lim
n
n
an
Радиус сходимости степенного ряда
an 1
lim
0
n  a
n
R   Вся числовая ось

 a x  x 
n 1
n
n
0
x0  R; x0  R 
Пример
Найти область сходимости рядов

xn

n 0 n!


n 0
x  2
n
x2
n 1
Свойства степенных рядов

n
a
x
 n
Сумма S x  степенного ряда n 1
является непрерывной функцией в интервале
сходимости  R; R .



n
a
x
Степенные ряды  n и
n 1

n
b
x
n
n 1
имеющие радиусы сходимости R1 , R2
можно почленно складывать, вычитать, умножать.
Итоговый радиус не меньше R1 или R2
Свойства степенных рядов
 Степенной ряд внутри интервала сходимости
можно почленно дифференцировать.
S x   a0  a1 x  a2 x  ...  an x  ...
2
n
R  x  R
2
n1

S x   a1  2a2 x  3a3 x  ...  n  x  ...
Свойства степенных рядов
 Степенной ряд можно почленно интегрировать
на каждом отрезке, расположенном внутри
интервала сходимости.
S x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n  ...
R  a  x  R
x
x
x
x
x
 S t dt   a dt   a tdt   a t dt  ...   a t dt  ...
2
0
a
a
1
a
n
2
a
n
a
Продифференцированные и проинтегрированные
ряды имеют тот же радиус сходимости, что и
исходный ряд.