x 0

Степенные ряды
Опр. 29. Степенным рядом называется функциональный
ряд вида

a0+a1x + a2 x2 + … + an xn + …=

an x n
(29)
n 1
a0 , a1, a2, … an – постоянные, называются коэффициенты ряда.
Теорема 23. (Абеля об области сходимости)
1)
2)
x0 ≠ 0, то он
абсолютно сходится при всяком x, для которого | x | < | x0 |.
Если степенной ряд расходится при некотором значении x'0, то он
расходится при всяком x, для которого | x | > | x'0 |.
Если степенной ряд сходится при некотором значении
Следствие. Областью сходимости степенного ряда является интервал с
центром в начале координат
Опр. 30. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (-
R,R) такой, что ∀x ∈ (-R,R) ряд сходится и притом абсолютно, а для
точек вне этого интервала ряд расходится.
Число R называется радиусом сходимости.
Свойства степенных рядов
1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [a,b], лежащем
внутри его интервала сходимости
2. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале
сходимости.
Замечание. Сумма остается непрерывной в конце интервала, если он
входит в область сходимости.

3. Степенные ряды
 a ( x  x ) и  a ( x  x ) 
n
n
n
0
n 1
один и тот же радиус сходимости.
n
0

имеют
n 1
Замечание. Ряды имеют один и тот же радиус сходимости, но область
сходимости может не совпадать.




 a ( x  x )  ;  a ( x  x )  ;...;  a ( x  x ) 
an ( x  x0 ) n и ряды
Следствие. Ряд
n 1 


n
n
n 1
n (n)
n
0
n
n 1
0
n
n 1
будут иметь один и тот же радиус сходимости
0
4. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале
сходимости любое число раз.
5. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку,
принадлежащему интервалу сходимости любое число раз.
Разложение функции в степенной ряд
Опр. 31. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x0.
Степенной ряд


n 0
f ( n ) ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
n
2
( x  x0 )  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n  ... (30)
n!
2!
n!
называется рядом Тейлора функции
или рядом Тейлора функции
В частности, если


n 0
f(x)
по степеням
( x – x0 )
f ( x ) в окрестности точки x0
x0 = 0, то ряд называется рядом Маклорена
f ( n ) (0) n
f (0) 2
f ( n ) (0) n
 x  f (0)  f (0)  x 
 x  ... 
 x  ...
n!
2!
n!
(31)
Теорема 24. (необходимый признак сходимости функции к ряду Тейлора)
Если функция
f(x)
в некоторой окрестности точки
суммой степенного ряда по степеням (
рядом Тейлора.
x = x0
является
x – x0 ), то этот ряд является ее
Следствие. Не может быть двух различных рядов по степеням (
сходящихся к одной и той же функции
f(x).
x – x0 ),
n-ая частичная сумма ряда Тейлора
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
2
S n ( x)  f ( x0 )  f ( x0 )( x  x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
2!
n!
Опр. 32. Разность Rn(x) = f(x) – Sn(x) называют остаточным членом ряда
f ( x )= Sn ( x )+ Rn( x )
Тогда ряд Тейлора:
Остаточный член Rn(x) в форме Лагранжа:
R ( x) 
n
f
(n  1)
( )
( x  x )n  1
0
(n  1)!
точка  находится между x и x0
Очевидно f (x) = Sn (x), если Rn(x) → 0:
Теорема 25 (признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. достаточный)
f(x) и все ее производные ограничены в совокупности
на интервале (x0- h; x0+h), т.е. ∃ М >0, ∀x∈(x0 - h; x0+ h) и всех n = 0,1,…
выполняется неравенство | f (n)(x)| ≤ M. Тогда на интервале (x0 - h; x0 + h)
функция f (x) раскладывается в ряд Тейлора
Пусть функция
f ( x) 
 f

n0
(n)
(x )
0 ( x  x )n
0
(n)!
|x - x0| < h
Стандартные разложения Маклорена
2 n 1
x3 x5
n 1 x
sin x  x    ...  (1)
 ...
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4
x
cos x  1  
 ...  (1) n
 ...
2! 4!
(2n)!
n
x 2 x3
x
ln( 1  x)  x    ...  (1) n1
 ...
2
3
n
2
3
n
x
x
x
ex  1 x 
  ... 
 ...
2! 3!
n!
(1  x) m  1  mx 
m(m  1) 2 m(m  1)( m  2) 3
x 
x  ...
2!
3!
x3 x5
sh x  x    ...
3! 5!
x2 x4
ch x  1 

 ...
2! 4!
Область сходимости
уметь получать
( -∞, ∞ )
( -∞, ∞ )
( -1, 1 ]
( -∞, ∞ )
( -1, 1 )
( -∞, ∞ )
( -∞, ∞ )