Степенные ряды

Степенные ряды
Лекции12, 13, 14
Функциональные ряды
Ряд, члены которого являются функциями,
называется функциональным и обозначается
u1 ( x)  u 2 ( x)  ...  u n ( x).  ...
Если при x  x0 ряд сходится, то x 0
называется точкой сходимости
функционального ряда.
Определение. Множество значений х, для
которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости этого ряда.
Пример функционального ряда
Рассмотрим геометрическую
прогрессию со знаменателем х:
2
3
n
1  x  x  x  ...  x  ....
Геометрическая прогрессия сходится,
если ее знаменатель x  1. Тогда она
1
имеет сумму S 
, которая
1 x
очевидно является функцией от х.
Степенные ряды
Определение. Ряд

a x
n 0
n
n
 a0  a1 x  a2 x  ...  an x  ...
2
n
называется степенным по степеням х .
Ряд

n
2
n








a
x

x

a

a
x

x

a
x

x

...

a
x

x
 n
0
0
1
0
2
0
n
0  ...
n 0
является степенным по степеням x  x0 .
Интервал сходимости
степенного ряда
Для любого степенного ряда существует
конечное неотрицательное число R - радиус
сходимости - такое, что если R  0 , то при
x  R ряд сходится, а при x  R
расходится.
Интервал  R, R называется интервалом
сходимости степенного ряда. Если R   ,
то интервал сходимости представляет собой
всю числовую прямую. Если же R  0 , то
степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
Нахождение интервала сходимости по
признаку Даламбера
Составим ряд из абсолютных величин членов
степенного ряда и найдем интервал, в
котором он будет сходиться, Тогда в этом
интервале данный степенной ряд будет
сходиться абсолютно. Согласно признаку
Даламбера , если
n 1
u n 1
an 1 x
lim
 lim
1
n
n  u
n 
,то
an x
n
степенной ряд абсолютно сходится для всех
х, удовлетворяющих этому условию.
Продолжение
В этом случае ряд будет сходиться внутри
интервала (-R,R),где R-это радиус
сходимости ряда:
an
R  lim
n a
n 1
.
За пределами этого интервала ряд будет
расходиться, а на концах интервала, где
n 1
an1 x
 1 , требуется
lim
n
n
an x
дополнительное исследование.
Примеры
Найти интервал сходимости ряда
xn

.
2
n

1
n 0

x n 1 2n  1
lim
n 
2n  3  x
n
2n
2n  1 x
 x 1
 lim x
 lim
n   2n
2n  3
n 
Следовательно, ряд сходится
абсолютно в интервале (-1,1).
Примеры
Положим x  1 . Тогда получим числовой

1 . Этот ряд расходится
ряд

n 0
2n  1
(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем
  1 n
знакочередующийся ряд 
,
n 0 2n  1
который сходится условно в силу
теоремы Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в
промежутке [-1,1).
Примеры
Найти интервал сходимости степенного
xn
xn
xn

ряда 
. Здесь un 
,
n! 1 2  3  ...  n
n 1 n!
x n 1
x n 1
=
.Тогда
un 1 
n  1! 1 2  3  ...  n n  1

=
lim
n
u n 1
un
=lim
x
n 1
1 2  3  ...  n
n   1  2  3  ...  n
n  1 x
n
= lim
n 
x
n 1
Продолжение
1
x lim
 x 0  0
= n  n  1
.
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это
означает, что степенной ряд сходится
независимо от x, т.е. на всей числовой
прямой.
Итак, интервал сходимости ряда - это
промежуток  ,  .


Пример

Найти интервал сходимости ряда
lim
n  1! x
n 
n! x
n
n 1
= lim
1 2  3  ...  n n  1 x
n 
1 2  3  ...  n
 n.! x
n
n 1
=
= lim n  1 x = x lim n  1.
n 
n
Этот предел может быть меньше единицы,
если только x=0 (иначе он будет равен
бесконечности). Это означает, что степенной
ряд сходится лишь в точке x=0.
Свойства степенных рядов.
Непрерывность суммы ряда
1. Сумма степенного ряда
S ( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  ...  a n x n  ...
является непрерывной функцией в
каждой точке интервала сходимости
этого ряда.
Например,
1
2
3
n
S ( x) 
 1  x  x  x  ...  x  ...
1 x
непрерывна , если x  1 .
Почленное
дифференцирование
2. Ряд, полученный почленным
дифференцированием степенного ряда,
является степенным рядом с тем же
интервалом сходимости, что и данный
ряд, причем :если
2
n
S ( x)  a 0  a1 x  a 2 x  ...  a n x  ... ,
то
2
n 1

S ( x)  a1  2a 2 x  3a3 x  ...  na n x  ...
Почленное интегрирование
3. Степенной ряд можно почленно
интегрировать на любом промежутке,
целиком входящем в интервал
сходимости степенного ряда, при этом




 S ( x)dx   a dx   a xdx  ...   a
0
где ( ,  )  ( R, R) .
1
x dx  ...
n
n
Разложение функций в
степенные ряды
Определения
Определение. Если бесконечно
дифференцируемая функция является
суммой степенного ряда, то говорят, что она
разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется
ряд, коэффициенты которого определяются
f ( n ) ( x0 )
по формулам a n 
, т.е. ряд
(
n
)

n !  f ( n ) ( 0)
f ( x0 )
n .
( x  x0 ) n или

x

n
!
n0
n!
n0
Степенной ряд как ряд Тейлора
Теорема. Если в некоторой окрестности
точки x 0
n
f ( x )  a0  a1 ( x  x0 )...a n ( x  x0 ) ..,
то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Короче: если функция представлена в
виде степенного ряда, то этот ряд
является ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом
Тейлора единственно.
Формула Тейлора
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
Тейлора:
(n)

f ( x0 )
f ( x0 )
S n ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n
1!
n!
Этот многочлен называется
многочленом Тейлора функции f (x) .
Разность Rn ( x)  f ( x)  S n ( x) называется
остаточным членом ряда Тейлора.
Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа
Остаточный член в форме Лагранжа
имеет вид:
( n 1)
f
(c)
Rn ( x) 
( x  x0 ) n1 , где c  ( x0 , x)
(n  1)!
Тогда
( n 1)
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f
(c )
f ( x )  f ( x0 ) 
( x  x0 )  ... 
( x  x0 ) n 
( x  x0 ) n 1
1!
n!
(n  1)!
называется формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа.
Условия сходимости ряда
Тейлора к функции у=f(x)
Для того чтобы функцию можно было
разложить в ряд Тейлора на
интервале(-R,R),необходимо и
достаточно, чтобы функция на этом
интервале имела производные всех
порядков и чтобы остаточный член
формулы Тейлора стремился к нулю
при всех x  ( R, R) при n  
Достаточные условия разложимости
функции в ряд Тейлора
Если функция f(x) на интервале (-R,R)
бесконечно дифференцируема и ее
производные равномерно ограничены в
совокупности, т. е. существует
такая константа М, что для всех
x  ( R, R) выполняется условие
(n)
f ( x)  M при п=0,1,2,…, то
функцию можно разложить в ряд
Тейлора на этом интервале.
Разложение f ( x)  e x
Все производные этой функции совпадают с
самой функцией, а в точке х=0 они равны 1.
Составим для функции формально ряд
2
n
Маклорена:
x x
x
1
1

2!
 ... 
n!
 ...
Этот ряд, очевидно, сходится на всей
числовой оси. Но все производные функции
равномерно ограничены, т. к. f ( n 1) (c)  e c  e R
, где R-любое число из интервала
сходимости. Поэтому этот ряд сходится
x
именно к функции e .
Разложение в ряд синуса.
Вычислим производные синуса:
f ( x)  cos x  sin( x 
f ( x)  cos( x 


2
)

)  sin( x  2 )
2
2


f ( x)  cos( x  2 )  sin( x  3 )
2
2
.......................................................
f
(n)

( x)  sin( x  n ).
2
f (0)  0,
f (0)  1,
f (0)  0
f (0)  1
f ( 4 ) ( 0)  0
..................
f ( 2 n 1) (0)  (1) n 1
........................
Продолжение
Ясно, что все производные синуса не
превосходят по модулю единицу. Так
что запишем ряд, который будет
разложением синуса:
2 n 1
2 n 1

x3 x5
x
x
sin x  x 
 ...( 1) n
..   ( 1) n
,
3! 5!
( 2n  1)!
( 2n  1)!
n0
при этом видно, что этот ряд сходится
на всей числовой оси.
Разложения некоторых
функций в ряд Тейлора
При решении задач удобно пользоваться
разложениями:
2
n
n

x
x
x
x
1. e  1  x  ... ..   , x ( , )
2!
n!
n0
n!
2 n 1
2 n 1

x3 x5
x
x
n
n
sin
x

x



...

(

1
)

..

(

1
)
,

2.
3! 5!
( 2n  1)!
( 2n  1)!
n0
2
4
2n

2n
x
x
n x
n x
3.cos x  1  2 !  4 ! ...( 1) (2n )! ..   ( 1) (2n )!
n0
Продолжение
Геометрическую прогрессию мы
получили выше:

1
4.
 1  x  x 2 ...( 1) n x n ..   ( 1) n x n ,/ x /  1
1 x
n0
Интегрируя по х обе части равенства,
получим логарифмический ряд:
n
n

x2 x3
x
x
5. ln(1  x )  x   ...( 1) n1 ..   ( 1) n1 ,
2
3
n
n 1
n
Биномиальный ряд
6.
7.
2 n 1
2 n 1

x3 x5
x
x
arctgx  x    ...  (1) n
...   (1) n
,
3 5
2n  1 n  0
2n  1
m( m  1) 2
m
(1  x )  1  mx 
x ...
2!
m( m  1)( m  2)...( m  n  1) n

x ... 
n!

m( m  1)...( m  n  1) n
 1 
x
n!
n 1
Биномиальный, логарифмический ряды и ряд
для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).
Пример
Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию
f ( x )  3 27  x
Решение. Зная разложение функции в
биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1),
преобразуем данную функцию так, чтобы
воспользоваться биномиальным рядом.
1
x
x
x
3
27  x  3 27(1  )  33 1 
 3(1  ) 3
27
27
27
1 1
(  1)
x
1
x
x 2
3
3
3(1  )  31  (  ) 
(  ) ...
27
3 27
2!
27
1 1
1
1
 (  1)(  2)...(  n  1)
x
3 3
3
3
(  ) n ... , где
n!
27
1
3
x
1
27
Применение степенных
рядов
Приближенное вычисление
интегралов
Разложения 1–7 позволяют, используя
соответствующее разложение, вычислять
приближенно значения функций, интегралы,
приближенно интегрировать
дифференциальные уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда
вычислить с точностью до 0,0001
1
e
0
 x2
dx
Решение
Разложим подынтегральную функцию в
степенной ряд:
ex
1
2
2 2
2 3
2 4
(
x
)
(
x
)
(
x
)
2
 1 x 


...
2!
3!
4!
1
4
6
8
x
x
x
x
2
e
dx

(
1

x


 ... )dx 
0
0
2 ! 3! 4 !
1
1
1
1
1
4
6
8
x
x
x
  dx   x 2 dx  
dx  
dx   dx ... 
2!
3!
4!
0
0
0
0
0
2
3
x
 x 10 
3
1
0
x5

25
1
0
x7

67
1
0
x9 1

0 .. 
24  9
Продолжение
3
5
7
x
x
x
1
1
 x 10 

0
0 
3
25
67
1 1
1
1
 1  

..
3 10 42 216
1
0
x9 1

0 .. 
24  9
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то
сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена
такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует
отбросить, также является знакочередующимся рядом и его
сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть
меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
Продолжение
Вычислив еще несколько членов ряда
1
1
1

,
,
1320 9360 75600
видим, что
1
 0,0001
75600
Отбросив этот и следующие за ним члены ряда,
получим:
1
e
0
x2
1 1
1
1
1
1
dx  1   



 0,7468
3 10 42 216 1320 9360
Приближенное вычисление
значений функций
Вычислить 3 10 с точностью до
0,001.Преобразуем
3
10  3 8
10
2
 23 1   23 1  0,25  2(1  0.25)
8
8
1
3
Воспользуемся биномиальным рядом
1
при х=0,25 и m  .
3
Продолжение
Получим
1 1
1 1
1
(  1)
(  1)(  2)
1
3
3
10  2(1  0,25  3 3
0,25 2  3 3
0,25 3 ) 
3
2!
3!
 2(1  0,0833  0,0069  0,0009)  2(1  0,0833  0,0069) 
 2,1528  2,153.