 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Курск ГТУ –2008
Кафедра высшей математики
Ряд U1  U 2  U 3   


U n называется
n 1
функциональным, если члены его являются
функциями от х, т.е. U n  U n (x) .
Совокупность Х значений х, при которых
функциональный
ряд
сходится,
называется
областью сходимости функционального ряда.
Сумма функционального ряда lim S n ( x)  S ( x) .
n
рядом называется функциональный ряд вида
0
 a1 ( x  a )  a 2 ( x  a) 2   ,
(1)
n 0
где
постоянные
числа,
a n (n  0, 1, 2, 3, ) называемые коэффициентами степенного ряда; a фиксированная точка на числовой оси.
При a = 0 степенной ряд имеет вид

 an xn  a0  a1x  a2 x2    an xn  
(2)
n 1
 x   R, R  ряд (2) сходится, а
 R, R 
 x   R, R расходится, то интервал
называется интервалом сходимости степенного
ряда (2). Число R называют радиусом сходимости
степенного ряда (2).
Определение радиуса сходимости степенного ряда
через его коэффициенты:
Если
R  lim
n
an
an  1
или
R  lim
n n
1
an
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Если функция f x  является аналитической в окрестности
точки x  a , то имеет место разложение
n

f a 
x  a   f a  x  a 2    f a  x  a  n 
1!
2!
n!
функции в ряд Тейлора.
Разложение функции в ряд Маклоренa (при a  0 )
n
 a n ( x  a) n  a
Замечание 3. Для определения области сходимости
степенного ряда необходимо исследовать
cходимость
данного ряда на концах интервала сходимости.
Замечание 4. Внутри интервала сходимости степенной ряд
можно интегрировать и дифференцировать почленно.
f x   f a  
Остаток функционального ряда
Rn ( x)  S ( x)  Sn ( x) .
Для сходящегося в области Х ряда
lim Rn ( x)  0 при всех x  X .

Состав.: ст.преп. Лунева Т.Н..
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2!
x x2 x3
xn
e  1 


 ,
1! 2 ! 3 !
n!
x
x 2 x3
xn
ln 1  x   x 

    1n1 
 ,
2
3
n
sin x 
cos x  1 
Замечание 1. Возможны случаи, когда R  0 или
R.
Замечание 2. Интервалом сходимости степенного
ряда (1) является интервал a  R; a  R  .
x  -1;1
xR
x  -1; 1
xR
x2 x4 x6
x 2n


    1n 
 ,
2n !
2! 4! 6!
xR
arcsin x  x 

1 x 3 1 3 x 5 1 3  5 x 7


 ,
2 3 24 5 246 7
x3 x5
x 2n1

    1n 
 ,
3
5
2n  1
x  - 1;1
x  - 1;1
x3 x5 x7
x 2n 1
sh x  x 



 ,
2n  1!
3! 5! 7 !
xR
x2 x4 x6
x 2n
ch x  1 



 ,
2n !
2! 4! 6!
xR
1
 1 x  x 2  x3  ,
1 x

a0
a n  cos nx  bn  sin nx ,

2

x  -1;1
(3)
n 1
где коэффициенты Фурье a 0 , a n , bn n  1,2, 
an 
x 2n 1
 ,
2n  1!
x x3 x5


    1n
1! 3 ! 5 !
arctg x  x 
.
3!
f x  =
a0 
определяются по формулам:
f 0 
f 0 2
f n  0  n
f x   f 0  
x
x 
x 
1!
2!
n!
Основные разложения
1  x  m  1  mx  m(m  1 ) x 2  mm  1m  2 x3   ,
РЯДЫ ФУРЬЕ
Теорема Дирихле. Функция f(x), удовлетворяющая на
интервале (-π;π) условиям Дирихле (т.е. функция
ограничена, имеет не более чем конечное число точек
разрыва 1 рода и точек строгого экстремума) во всякой
точке этого интервала, в которой она непрерывна,
разлагается в тригонометрический ряд Фурье

1
 f x cos nx dx ;

bn 


1

1

 f x  dx ;


 f x  sin nx dx

Неполные ряды Фурье
Если функция f x  - четная, то коэффициенты ряда
(3):
bn  0 n  1,2, , a n 
2


 f x  cos nx dx (n= 0,1,2,...)
0
Если функция f x  - нечетная, то коэффициенты ряда
(3):
a n  0 n  0,1,2, , bn 
2


 f x  sin nx dx (n= 1,2,..)
0
Ряды Фурье периода 2
Если функция f x  , удовлетворяет условиям Дирихле
в интервале (-ℓ;ℓ) длины 2ℓ, то в точках
непрерывности функции, принадлежащих этому
интервалу, справедливо разложение
f x  =
где an 
1

1
bn 


a0
n x
n x 


 bn  sin
 a n  cos
,
2

 

n 1


 f x   cos


 f x sin

n x
dx

(n = 0,1,2,…),
n x
dx

(n = 1,2,…).