Document 4763012

Теорема.
Если биссектриса внешнего
угла при вершине А
треугольника АВС
пересекает прямую ВС в
точке D, то BD
=
DC
BA
AС.
A
1
2
E
F
4
B
Доказательство.
3
С
D
Проведем прямые СЕ и BF, параллельные прямой AD
(E – точка на стороне АВ). Согласно обобщению теоремы
Фалеса
BС =
CD
BЕ
EA .
Отсюда получаем
BС =
CD
BE,
EA
BС
CD
+
1=
BE +
EA
1
Напомним…
т. е.
BD
CD
=
BA, или
EA
BD
CA
= DC ,
EA
Докажем, что ЕА = АС. Для этого заметим, что < 1 = < 2, < 3 =
< 1, < 2 = < 4, откуда следует, что < 3 = < 4. Таким образом,
треугольник АЕС равнобедренный, поэтому ЕА =АС.
Следовательно,
BD
=
DC
BA
AС
Что и требовалось доказать.
Задача 1.
На биссектрисе BD треугольника
АВС отмечена точка М, так, что
ВМ : MD = m : n. Прямая АМ
пересекает сторону ВС в точке К.
Найти отношение ВК : КС, если
АВ : ВС=р : q.
B
K
M
P
A
D
C
Задача 1.
На биссектрисе BD треугольника
АВС отмечена точка М, так, что
ВМ : MD = m : n. Прямая АМ
пересекает сторону ВС в точке К.
Найти отношение ВК : КС, если
АВ : ВС=р : q.
A
D
BК
КР
ВМ
МD
=
=
m
n
Точно так же отрезки AD и DC пропорциональны
отрезкам КР и РС, откуда получаем:
КР = АD,
Но
AD = AB
РС
DC .
DC
BC
(биссектриса BD треугольника делит противоположную
сторону АС на отрезки AD и DC, пропорциональные
прилежащим сторонам АВ и ВС), и так как
АВ =
р
ВС
q ,
то
B
M
Решение. Проведем через точку D прямую,
параллельную прямой АК. Она пересекает сторону ВС в
точке Р. Воспользуемся обобщением теоремы Фалеса:
отрезки ВМ и МD пропорциональны отрезкам ВК и КР,
откуда следует, что
K
AD
DC
P
C
=
KP =
PC
Р
q.
Пусть КР = рх, тогда РС = qх, КС = (р+q) х, а из
равенства
ВК =
m
КР
n
Получаем ВК = mр
x
n
Следовательно,
ВК: КС = mр/(р+q) n.
Теорема
Задача
2. о
пропорциональных отрезках
в треугольнике.
Решение.
Применим тот же прием, что и при решении
предыдущей задачи: через точку М проведем
прямую, параллельную ВК. Она пересекает сторону
АС в точке D, и согласно обобщению теоремы
Фалеса
KD ; DC = BM ; MC = р ; q
Пусть АК = mх. Тогда в соответствии с условиями
задачи КС = nх, а так как
KD ;
DC = р ; q, то KD = pn
x
p+q
Снова воспользуемся обобщением теоремы
Фалеса:
АО : ОМ = АK ; КD = mх ;
p
p+q
nх
= m
n
q
р
На сторонах АС и ВС треугольника
АВС отмечены точки К и М так,
что АК: КС = m : n,
ВМ : МС = р ; q. Отрезки АМ и ВК
пересекаются в точке О.
Доказать, что
АО : ОМ = m q
1
n p
;
ВО : ОК = p n
q m 1
A
1
K
Аналогично доказывается,
что ВО : ОК = р n ,
1
q m
O
D
B
M
C
Замечание
Существует простой способ, позволяющий
запомнить полученные формулы. Например,
чтобы написать формулу отношения АО :
ОМ, нужно «двигаясь» от точки А к точке В
по отрезкам АК, КС, СМ и МВ, взять
отношение первого отрезка ко второму, т.е.
АК
КС,
A
K
и умножить его на отношение третьего
отрезка к четвертому, сложенное с единицей,
т.е. на
СМ
. В результате получим:
1
МВ
АО : ОМ = AK CM
KC MB
1
=
n q
n p
1
Формула для отношения ВО: ОК получается
по тому же правилу, но нужно «двигаться» от
точки В к точке А:
ВО : ОК = р
q
n
m
1
O
C
B
M