Аффинные задачи

МОУ лицей №23.
20 сентября 2008 г.
Занятие 2: «Аффинные задачи».
Ф. Клейн.
Существует особая группа преобразований, называемых аффинными. Аффинные преобразования – геометрические преобразования, при которых сохраняются прямолинейное расположение точек и отношение длин параллельных отрезков.
Определение.: Aффинными называются cвойства фигур, сохраняющиеся при параллельном
проектировании.
1)Теорема Менелая. Пусть три точки K, L, M лежат на прямых АВ, ВС, АС соответственно. Для того
чтобы эти точки принадлежали одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: AK BL CM


1
KB LC MA
2)Теорема Чевы. Пусть точки А1, В1,С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС и ВА треугольника
АВС. Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется
равенство: АС1  ВА1  СВ1  1.
С1 В А1С В1 А
3) В Δ ABC :
N  AC, AN  NC; M  AB, AM : MB  4 : 3,
BP
CK  AC, BN  MK  P. Найти
?
PN
4) В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС
за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: отношение BF:FA.
5)В треугольнике АВС: AD — медиана, точка О — середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону
АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А.
6)В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину угла А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4.
Найдите отношение длин оснований трапеции.
7)Точка N лежит на стороне АС треугольника АВС , причем AN: NC=2:3. Найти, в каком отношении
медиана АМ делит отрезок ВN?
8)Точки М и N лежат на боковых сторонах трапеции АВСD и MN II AD. Найти MN, если BC=a, DA=5a,
AM:MB=1:3.
9)Точки M и N на сторонах АВ и ВС треугольника АВС делят эти стороны в отношении АМ:МВ=1:3,
ВN:NC=1:2.
Найти: 1) чему равно отношение АО:ON?
2) в каком отношении прямая ВО делит сторону АС?
10) В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и ВК, причем AК : КС = 3:4, ВD : DC = 4:5. Чему
равно отношение АВ:ВС:СD?.
11)Точка К, лежит на стороне АС ,точка М — на стороне ВС треугольника АВС, причем
АК : КС = 1 : 2, ВМ : МС = 1 : 3. Отрезки АМ и ВК пересекаются в точке О.
Найдите: 1) ВО : OК;
2) АО : ОМ
3) AD : DB, где D — точка пересечения MK и АВ.