130_18
advertisement
Задание №18, Вариант 130. Парабола p 2 симметрична параболе p1 , заданной уравнением у ах 2 (а 0) , относительно точки Т( b; ab2 ), b>0. Некоторая прямая пересекает каждую параболу ровно в одной точке: p1 – в точке À1 , p 2 – в точке À2 так, что угол À1 À2Ò прямой. Касательная к параболе p1 , проведенная в точке Т, пересекает прямую À1 À2 в точке К. Найдите отношение, в котором точка К делит отрезок À1 À2 . По свойству симметрии точка Т – середина отрезка, соединяющего вершины парабол p 1 и p 2 , следовательно, вершина параболы p 2 имеет координаты (2b; 2ab 2 ) (рис.). Очевидно, что прямая, которая пересекает каждую параболу ровно в одной точке и отлична от их общей касательной, параллельна оси Оу. В этом случае угол А 1 А 2 Т будет прямой, если ординаты точек Т и А 2 равны. Но тогда эти точки будут симметричны относительно прямой х = 2b (оси симметрии параболы p 2 ), следовательно, абсцисса точки А 2 равна 3b. Таким образом, прямая А 1 А 2 задается уравнением х = 3b. Далее из уравнения у а (3b) 2 находим ординату точки А 1 : у 9ab 2 . Так как tg KTА 2 равен значению производной функции у ах 2 в точке х = b, то из прямоугольного треугольника КА 2 Т легко найти длину катета КА 2 : ÊÀ 2 ÒÀ2 tg ÊTÀ 2 2b 2ab 4ab 2 . Таким образом, получили А 1 А 2 9ab 2 ab 2 8ab 2 ; КА 2 4ab 2 , КА2 1 A1 А 2 , следовательно, точка К – середина отрезка А 1 А 2 . 2 Ответ: 1:1. т.е.
