f(A, В, С) - Кафедра высшей математики СГАУ

Ненашев Дмитрий Александрович
Факультет двигателей летательных аппаратов
Математическая логика
Кафедра высшей математики
Научный руководитель: Денискина Е.А.
Цель работы
 Познакомиться
с алгеброй
логики и изучить алгоритм
минимизации посредством карт
Карно.
Алгебра логики



Базовыми элементами в алгебре логики являются
высказывания:
отрицание (унарная операция),
конъюнкция (бинарная),
дизъюнкция (бинарная),
а также константы - логический ноль 0 и логическая единица 1
Высказывания
Алгебра
логики
Числовая
алгебра
Мат
логика
дизъюнкция
конъюнкция
∨, ||
∧, &
«+»
«х»
«или»
«и»
отрицание
Ā, ¬
«-»
«не»
Таблицы истинности
Таблица истинностиэто таблица,
показывающая
истинность сложного
высказывания при
всех возможных
значениях входящих
переменных
Основные тождества
Для упрощения логических выражений
существует 25 основных тождеств.
Рассмотрим элементарный пример
такого тождества:
Ā ∨ A= 1 и Ā ∧ A= 0
1 ∨ 0 = 1 и 1 ∧ 0= 0
Стандартные формы записи логических функций
Дизъюнктивные формы

Дизъюнктивная нормальная форма
(ДНФ)

Дизъюнктивной совершенной
нормальной формой (ДСНФ)
Конъюнктивные формы

Конъюнктивная нормальная
форма(КНФ)

Конъюнктивной совершенной
нормальной формой (КСНФ)
Карты Карно

Карты Карно — специальные таблицы, дающие
возможность упростить процесс поиска минимальной
формы булева выражения с помощью графического
представления.
Алгоритм для карт Карно






1. Привести булеву функцию к ДНФ.
2. Нанести единицы на карту Карно.
3. Объединить соседние единицы контурами,
охватывающими 2^т клеток (т - 0, 1, 2, 3..).
4. Провести упрощения. Оставить отдельно по
столбцам и по строкам общие переменные.
5. Объединить оставшиеся члены (по одному
в каждом контуре) дизъюнкцией.
6. Записать полученное упрощенное булево
выражение.
Пример минимизации посредством карт Карно



f(ABC) = Ā B∨ Ā BC ∨ AB∨ ABC
1. Найдем наборы, при которых
функция равна 1.
2. Составим карту Карно и расставим в
ней 1, согласно таблице истинности.
Обведем контурами соседние клетки,
содержащие 1.
Такое действие соответствует
заключению в скобки слагаемых: Ā B v
Ā BC и AB v ABC
F Ā
3. Рассмотрим объединение
C 0
двух соседних единиц.
f(AВС) = Ā В v AB = В (Ā v A)=В
0
Ответ: f(A, В, С) = В
N A B C F
0 0 0 0 0
1 0 0 1 0
2 0 1 0 1
3 0 1 1 1
4 1 0 0 0
5 1 0 1 0
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
ĀB
AB
A
1
1
0
1
1
0
Вывод
С помощью минимизации методом карт Карно мы
смогли упросить функцию из вида:
f(ABC) = Ā B∨Ā BC ∨AB∨ ABC
в вид:
f(AВС) = В.
Завершение
Все компьютеры работают в двоичной системе
исчисления, в которой вся информация закодирована
определенным набором из 0 и 1, где за 1 в двоичном
коде принимается «истинна», а за 0- «ложь».
Нетрудно заметить, что количество операций
существенно уменьшилось, это отлично видно
визуально. А в месте с этим увеличилась
производительность конкретной программы.
Благодаря данному методу можно быстро и
эффективно преобразовывать и упрощать логические
выражения.
Спасибо за внимание