Laba1 LS

Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Институт компьютерных наук и технологий
Высшая школа киберфизических систем и управления
Отчет по лабораторной работе №1
По курсу: Логические системы
Тема: Синтез комбинационных схем
Вариант: 16
Работа выполнена 26.10.2021
Группа 3532704/90501
Студент:
Мустафин А.Р.
Работа принята
Старший преподаватель
Фадеев И.А
Санкт-Петербург
2021
Цель работы
Минимизировать логическую функцию с помощью:
1) Метода карт Карно
2) Аналитического метода минимизации
3) Методом Куайна-Мак-Класки
Реализовать комбинационную схему.
Выполнение работы
Таблица истинности логической функции (ЛФ) заданного варианта показана в
таблице 1.
Для значений y=1: 1,3-6,10-14,17,19,23-27,31
Для значений y=н: 0,8,21,30
Таблица 1 – Таблица стинности
№
𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝒙𝟐 𝒙𝟏
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
2
0
0
0
1
0
3
0
0
0
1
1
4
0
0
1
0
0
5
0
0
1
0
1
6
0
0
1
1
0
7
0
0
1
1
1
8
0
1
0
0
0
9
0
1
0
0
1
10
0
1
0
1
0
11
0
1
0
1
1
12
0
1
1
0
0
13
0
1
1
0
1
14
0
1
1
1
0
15
0
1
1
1
1
16
1
0
0
0
0
17
1
0
0
0
1
18
1
0
0
1
0
19
1
0
0
1
1
20
1
0
1
0
0
21
1
0
1
0
1
22
1
0
1
1
0
23
1
0
1
1
1
24
1
1
0
0
0
25
1
1
0
0
1
26
1
1
0
1
0
27
1
1
0
1
1
28
1
1
1
0
0
29
1
1
1
0
1
30
1
1
1
1
0
31
1
1
1
1
1
y
н
1
0
1
1
1
1
0
н
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
н
0
1
1
1
1
1
0
0
н
1
Конституента единицы СДНФ
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥̅1
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥2 𝑥̅1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥̅1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥̅1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥̅1
𝑥5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥1
𝑥5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1
𝑥5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥2 𝑥1
𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥̅1
𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥1
𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥̅1
𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1
𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1
2
Представление и минимизация ЛФ с помощью карт Карно
Построим карту Карно (рис. 1) и произведем склеивание.
X5X4
000
001
011
1
1
X3X2X1
010
110
111
101
100
1
1
1
1
1
1
1
н
00
4
01
н
1
1
5
2
3
11
10
6
1
1
1
1
1
1
H
3
1
1
H
Рисунок 1 – Карта Карно
По результатам склеивания запишем ЛФ в минимальной ДНФ:
𝑦 = 𝑥̅4 𝑥̅ 3 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅2 + 𝑥5 𝑥2 𝑥1 + 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅1 + 𝑥5 𝑥4 𝑥̅ 3
Выполним факторизацию Выполним факторизацию логического выражения
(вынесение за скобки) и переход к базису Шеффера:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
𝑦 = ̅̅̅̅̅̅
𝑥1 𝑥2 ∙ 𝑥3 𝑥̅5 ∙ 𝑥̅3 𝑥4 ∙ ̅̅̅̅̅̅
𝑥̅ 2 𝑥̅5 ∙ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥1 ∙ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥̅3 𝑥̅4 ∙ ̅̅̅̅̅̅
𝑥2 𝑥5
Строим принципиальную схему по логическому выражению (см. рис. 2).
Рисунок 2
3
Аналитический метод минимизации
СДНФ заданной функции выглядит следующим образом:
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥̅ 4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥̅ 4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥̅1 + 𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥2 𝑥̅1 + 𝑥̅5 𝑥4 𝑥̅ 3 𝑥2 𝑥̅1 +
1
2
3
4
5
6
+𝑥̅5 𝑥4 𝑥̅ 3 𝑥2 𝑥1 +𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥̅1 +𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥̅2 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥̅1 +𝑥5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥̅ 2 𝑥1 +𝑥5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1 +
7
8
9
10
11
12
+𝑥5 𝑥̅4 𝑥3 𝑥2 𝑥1 +𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥̅1 +𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥̅2 𝑥1 +𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥̅1 +𝑥5 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 𝑥1 +𝑥5 𝑥4 𝑥3 𝑥2 𝑥1
13
14
15
16
17
18
Склеим 1 и 2 слагаемое, получим: 𝑥̅ 5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1
Склеим 11 и 12 слагаемое, получим: 𝑥5 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1
Затем склеим результат склейки предыдущих действий, получим: 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1
Аналогично производим действия, описанные выше с каждой конституентой “1”. В
итоге получаем минимальную ДНФ:
𝑦 = 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅2 + 𝑥5 𝑥2 𝑥1 + 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅1 + 𝑥5 𝑥4 𝑥̅ 3
Минимизация методом Куайна-Мак-Класки
Запишем конституенты “1” в виде их двоичных эквивалентов и разобьем их на
классы 𝑆0 , 𝑆1 , 𝑆1 и т.д по следующему правилу: в классе 𝑆0 – все значения переменных
равны 0, в классе 𝑆1 – в наборе присутствует только одна единица, в классе 𝑆2 − две
единицы и т.д.
Далее осуществляем склеивание к. “1” соседних классов. Затем производим
деление на классы получившихся конъюнкций. Далее повторно склеиваем конъюнкции
соседних классов и повторяем эти действия до тех пор, пока это возможно. Классы к. “1”
представлены в таблице 2.
4
Таблица 2
Класс №
1
S1
4
3
S2
5
6
10
12
17
24
11
S3
13
14
19
25
26
23
S4
27
31
S5
Набор
00001
00100
00011
00101
00110
01010
01100
10001
11000
01011
01101
01110
10011
11001
11010
10111
11011
11111
Класс
S1′
S2′
S3′
S4′
№
1,3
1,5
1,17
4,5
4,6
4,2
3,11
3,19
5,13
6,14
10,11
10,14
10,26
12,13
12,14
17,19
17,25
24,25
24,26
11,27
19,23
19,27
25,27
26,27
23,31
27,31
Набор
000-1
00-01
-0001
0010001-0
0-100
0-011
-0011
0-101
0-110
010101-10
-1010
0110011-0
100-1
1-001
1100110-0
-1011
10-11
1-011
110-1
11011-111
11-11
Класс
S1′′
S2′′
S3′′
№
1,3,17,19
1,14,3,19
4,5,12,13
4,6,12,14
4,12,5,13
4,12,6,14
3,11,19,27
3,19,11,27
10,11,26,27
10,26,11,27
17,19,25,27
17,25,19,27
24,25,26,27
24,26,25,27
19,23,27,31
19,27,23,31
Набор
-00-1
-00-1
0-100-1-0
0-100-1-0
--011
--011
-101-1011-0-1
1-0-1
110-110-1—11
1—11
Получаем минимальную ДНФ. Это осуществляется путём определения набора
простых импликант, которые покрывают все к. ”1”. Составим импликантную матрицу (см.
табл. 3) столбцы которой – номер набора к. “1”, строки – простые импликанты. Далее
отмечаем существенные импликанты, которые покрывают одну или несколько к. “1”, если
таковых не осталось находим близкие к существенным, т. е. которые покрывают
наибольшее число к. “1”. Следом составляем минимальную ДНФ из отмеченных простых
импликант.
5
Таблица 3
№
1,5
10,14
1,3,17,19
4,5,12,13
4,6,12,14
3,11,19,27
10,11,26,27
17,19,25,27
24,25,26,27
19,23,27,31
Импликанта 1 3 4 5 6
+
+
𝑥̅5 𝑥̅4 𝑥̅2 𝑥1
𝑥̅5 𝑥4 𝑥2 𝑥̅1
𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1
⊕ +
+ +
𝑥̅ 5 𝑥3 𝑥̅2
+
𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅1
⊕
+
𝑥̅3 𝑥2 𝑥1
𝑥4 𝑥̅3 𝑥2
𝑥5 𝑥̅3 𝑥1
𝑥5 𝑥4 𝑥̅3
𝑥5 𝑥2 𝑥1
№ конституенты “1”
10 11 12 13 14 17 19 23 24 25 26 27 31
+
+
+
+
+
+
+
⊕
+
+
⊕
+
+
+
+
⊕
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Минимальная ДНФ, согласно методу Куайна-Мак-Класки:
𝑦 = 𝑥̅4 𝑥̅3 𝑥1 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅2 + 𝑥5 𝑥2 𝑥1 + 𝑥4 𝑥̅3 𝑥2 + 𝑥̅5 𝑥3 𝑥̅1 + 𝑥5 𝑥4 𝑥̅3
Вывод
При выполнении работы была минимизирована логическая функция, представленная в
совершенной дизъюнктивной нормальной форме. Были использованы следующие методы
минимизации: метод карт Карно, аналитический метод, метод Куайна-Мак-Класки. Все
методы дали один и тот же результат. Также в лаборатории была реализована
комбинационная схема на логических элементах И-НЕ.
6
⊕