ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА Упражнениения IAY0010 (Aleksander Sudnitson)

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнениения
Tallinn University of Technology
IAY0010 (Aleksander Sudnitson)
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 1.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Системы счисления
 Система счисления (СС) это символический
способ представления чисел.
 Системы счисления делятся на:
• непозиционные;
• позиционные:
 однородные;
 смешанные.
 В рамках данного упражнения основное
внимание уделено однородным позиционным
СС (2-ичной, 8-ричной, 16-ричной).
3
Десятичная СС
4
Двенадцатиричная СС
5
Шестидесятиричная СС
6
Позиционные СС
 СС называется позиционной, если значение
каждой цифры зависит от её положения в
числе.
 Основание СС совпадает с количеством
цифр, используемых для записи чисел в этой
системе счисления.
 Если количество используемых цифр равно
N, то система счисления называется N-арной.
 Произвольное число Х в N-арной СС:
ХN = an×Nn + an-1×Nn-1 + ... + a1×N1 + a0×N0
7
Бинарная (двоичная) СС
 Бинарная (двоичная) СС – это позиционная
система счисления с основанием «2».
 Множество используемых цифр: {0, 1}.
 Число 33710 в двоичной СС:
1010100012 = 1×28 + 1×26 + 1×24 + 1×20
 В основном применяется в вычислительной
технике (наиболее простая реализация).
8
Бинарный поиск
 Загадайте число от 0 до 15 (например 11).
 Задав 4 раза вопрос «Загаданное число
больше или равно S?» можно отгадать число (и
одновременно найти его представление в
бинарной системе).
 Каждый ответ на вопрос даёт значение
одного разряда бинарного представления
загаданного числа (начиная с самого старшего).
 Ответ ДА соответствует «1», ответ НЕТ – «0».
9
Бинарный поиск
 Числа S можно подбирать используя
соответствующее бинарное дерево поиска.
8
(11>8)
4
1
6
3
(11<12) НЕТ
12
2
5
10
7
9
(11>10) ДА
14
11
ДА
13
15
(11=11) ДА
Ответ: 1110 = 10112
10
Преобразование делением
 На каждом шаге частное, полученное в
результате предыдущего шага, делится на «2»
(изначально делится само число).
 Остаток от каждого деления даёт значение
одного разряда бинарного представления
преобразовываемого числа (начиная с самого
младшего).
 Деление продолжается до тех пор пока
частное не будет равно «0».
 Алгоритм применим для переводе в систему с
любым основанием.
11
Преобразование делением
Шаг 1:
11 / 2
Шаг 2:
частное = 5;
остаток = 1.
5/2
Шаг 3:
частное = 2;
остаток = 1.
2/2
Шаг 4:
частное = 1;
остаток = 0.
1/2
частное = 0;
остаток = 1.
Ответ: 1110 = 10112
12
8-ричная и 16-ричная СС
 Восьмеричная СС – это позиционная система
счисления с основанием «8».
 Множество используемых цифр:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
 Шестнадцатиричная СС – это позиционная
система счисления с основанием «16».
 Множество используемых цифр:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}.
 Число 33710 в 8-ричной и 16-ричной СС:
33710 = 5218 = 15116
13
Преобразование в 8-ричную СС
 Для преобразования из двоичной СС в
8-ричную необходимо объединить цифры
бинарного числа в группы по три начиная с
наименьшего разряда.
 Затем каждая группа заменяется
соответствующую цифру из 8-ричной СС.
на
 Обратное преобразование происходит путём
замены 8-ричных цифр на соответствующие
бинарные группы.
14
Преобразование в 8-ричную СС
 Переведём число 1010100012
двоичной в 8-ричную СС:
101010001
5
2
1
(33710) из
Ответ:
1010100012 = 5218
 Переведём число 5218 (33710) из 8-ричной
обратно в двоичную СС:
521
101 010
001
Ответ:
5218 = 1010100012
15
Преобразование в 16-ричную СС
 Для преобразования из двоичной СС в
16-ричную необходимо объединить цифры
бинарного числа в группы по четыре начиная с
наименьшего разряда.
 Затем каждая группа заменяется
соответствующую цифру из 16-ричной СС.
на
 Обратное преобразование происходит путём
замены 16-ричных цифр на соответствующие
бинарные группы.
16
Преобразование в 16-ричную СС
 Переведём число 1010100012
двоичной в 16-ричную СС:
101010001
1
5
1
(33710) из
Ответ:
1010100012 = 15116
 Переведём число 15116 (33710) из 16-ричной
обратно в двоичную СС:
1
151
Ответ:
0101 0001 15116 = 1010100012
17
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 2.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Элементы множеств и подмножества
 Верны ли следующие высказывания:
{2}  {1,2,3,4,5}
Нет. Почему?
{2}  {1,2,3,4,5}
Да.
{1,2,3}  {1,2,3,{1,2,3}}
Да.
{1,2,3}  {1,2,3,{1,2,3}}
Да.
 = {}
Нет. Почему?
19
Способы задания множеств
 Перечислите элементы множества:
{x | x – целое число и х2 < 100}
{-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
 Подберите ограничительное свойство:
{3,6,9,12,15,18,21,24}
{x | x – натуральное число кратное 3, которое
меньше 25}
{1,4,9,16,25,36,49,...}
{x | x – квадрат натурального числа}
20
Мощность множеств
 Чему равна мощность множества:
|A|=4
А = {1,2,3,{1,2,3}}
A = {{,{}}}
|A|=1
A = {,{},a,b,{a,b},{a,b,{a,b}}}
|A|=6
 Чему равна мощность степенного множества:
А = {a,b,c,d}
P(A) = {, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d},
{b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d},
{a,b,c,d}}
| P(A) | = 2 | A | = 16
21
Операции над множествами
 Опишите результирующие множества:
А = { х | x – играет в футбол }
В = { х | x – играет в теннис }
AВ=
AВ=
¬(A) =
¬(В) =
A\В=
В\А=
AВ=
{ х | x – играет в футбол и теннис }
{ х | x – играет в футбол или теннис }
{ х | x – не играет в футбол }
{ х | x – не играет в теннис }
{ х | x – играет только в футбол }
{ х | x – играет только в теннис }
{ х | x – играет только в футбол или
только в теннис }
22
Операции над множествами
 Чему равны результирующие множества:
А = { 1, 2, 4, 6, 7 }
В = { 2, 3, 4, 5, 6 }
Е = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
AВ=
AВ=
¬(A) =
¬(В) =
A\В=
В\А=
AВ=
{ 2, 4, 6 }
{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
{ 0, 3, 5, 8, 9 }
{ 0, 1, 7, 8, 9 }
{ 1, 7 }
{ 3, 5 }
{ 1, 3, 5, 7 }
23
Диаграммы Венна
 Докажите закон дистрибутивности используя
диаграммы Венна:
А  (В  С) = (А  В)  (А  С)
24
Диаграммы Венна
 Представьте в виде формулы выделенное
множество:
((А  В)  (А  С)  (B  С))
25
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 3.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Диаграммы Венна
 Представьте в виде формулы выделенное
множество:
((А  В) \ С)  (А  В  С)
27
Правила элиминации
A\B=АB
AB =
[ (A \ B )  (B \ A ) ] =
= (А  B )  (B  A ) =
= (A  B )  (A  B )
28
Применение правил элиминации
 Примените правила элиминации к формуле:
((А  В) \ С)  (А  В  С) =
[= ((А \ В)  (В \ А)) \ С)  (А  В  С) =]
= (((А  B)  (B  A))  C)  (А  В  С)
 В любой формуле можно избавиться от
операций вычитания и перейти к формуле, в
которой встречаются только дополнение,
объединение и пересечение (перейти в базис
{пересечение, объединение, дополнение}).
29
Совершенная нормальная форма
= (((А  B)  (B  A))  C)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
Здесь мы применили закон
дистрибутивности  относительно .
30
Законы Де Моргана
A  B = A B
A B = A B
А1  А2 … Аn = А1  А2 … Аn
( iI Ai ) =  iI ( Ai )
I = { 1, 2, ... , n}
А1  А2 … Аn = А1  А2 … Аn
( iI Ai ) =  iI ( Ai )
I = { 1, 2, ... , n}
дополнение к пересечению множеств равно
объединению их дополнений;
 дополнение к объединению множеств равно
пересечению их дополнений;

31
Переход к формуле в базисе { , ¬ }
Примените закон Де Моргана и закон
двойного дополнения для перехода в базис
{пересечение, дополнение}:
(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)
32
Переход к формуле в базисе { , ¬ }
Примените закон Де Моргана и закон
двойного дополнения для перехода в базис
{объединение, дополнение}:
(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)
33
Вывод
 В любой формуле можно перейти из
базиса {пересечение, объединение,
дополнение} к базису {пересечение,
дополнение}
или
{объединение,
дополнение}.
34
Диаграмма Венна для 3 множеств
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
ABC
ABC
ABC
Е
ABC
ABC
ABC
ABC
ABC
35
Построение формулы
см. слайд №5 (соверш. норм. форма)
(1)
(7)
(3)
(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)
(1)
(3)
(7)
36
Представление множества
C
A
B
(А  В  С)  ( В  С) =
= (А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С)
37
Алгебраические преобразования
Покажем равносильность этих формул (см.
предыдущий слайд) путём алгебраических
преобразований:
(А  В  С)  (А  В  С)  (А  В  С) =
= (А  В  С)  ((А  A )  (В  С)) =
= (А  В  С)  (( E  (В  С)) =
=(А  В  С)  ( В  С)
38
Виды соответствий
Даны соответствия PAB и QBC.
A = { a, b, c }
B = { d, f }
C = { x, y, z }
P = { < a, d >, < a, f >, < b, d >, < c, f >}
Q = { < d, x >, < f, z > }
Является ли соответствие P
всюду определённым
функцией
Является ли соответствие Q
функцией
сюръекцией
инъекцией
биекцией
?
?
?
?
?
?
39
Виды соответствий
a
P
d
b
c
f
Является ли соответствие P
всюду определённым - ДА
Является ли соответствие P
функцией -------------- НЕТ
40
Виды соответствий
Q
d
x
y
f
z
Является ли соответствие Q
функцией --- ДА
сюръекцией-
НЕТ
инъекцией --- ДА
биекцией ---- НЕТ
41
Композиция соответствий
Найти композицию соответствий P и Q.
R=P◦Q
R
a
d
b
c
x
y
f
z
R = { < a, x >, < b, x >, < a, z >, < c, z >}
42
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 4.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Сведение к ограниченному базису
Представить формулу
( B  C )\ (C  A  B )
в базисе {пересечение, объединение,
дополнение}
Решение:
( B  C )\ (C  A  B ) =
= ( (B  C)  (B  C) )\ (C  A  B ) =
= ( (B  C)  (B  C) )  (C  A  B )
44
Сведение к нормальной форме
( (B  C)  (B  C) )  (C  A  B ) =
= ( (B  C)  (B  C) )  (C  A  B) =
= ( (B  C  C)  (B  C  C) ) 
 ( (B  C  A)  (B  C  A) ) 
 ( (B  C  B)  (B  C  B) ) =
= (B  C ) 
 ( (B  C  A)  (B  C  A) ) 
 (B  C ) =
= ( (B  C )  (A  B  C) )
закон
ДеМоргана
дистрибутивность
идемпотентность,
противоречие
поглощение
45
Переход к базису { , ¬ } и { , ¬ }
Применяем законы Де Моргана и закон
двойного дополнения
(B  C )  (A  B  C) =
= (B  C )  (A  B  C) =
= (B  C )  (A  B  C)
(B  C )  (A  B  C) =
= (B  C )  (A  B  C) =
= (B  C )  (A  B  C)
46
Диаграмма Венна
( (B  C )  (A  B  C) )
B
A
C
47
Транзитивное замыкание
a
d
b
e
c
a
b
f
d
c
e
f
48
Отношение эквивалентности
Дано разбиение:
{{ a, b }, { c, d, e }, { f }}
Задать соответствующее отношение эквивалентности.
a
b
d
c
e
f
{ < a, b >, < b, a >, < a, a >, < b, b >, < c, d >,
< d, c >, < c, e >, < e, c >, < d, e >, < e, d >,
< c, c >, < d, d >, < e, e >, < f, f > }
49
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 5.
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Сведение к ограниченному базису
От исходной формулы
( ( x 1  x2 )  x1 x3 )  x2
перейти к формуле в булевском базисе
(конъюнкция, дизъюнкция и отрицание)
( ( x1  x2 )  x1 x3 )  x 2 =
= ( x1  x2  x1 x3 )  x2 =
= ( x 1  x2 )  x 2 =
= ( ( x1  x2 ) x2 )  ( ( x1  x 2 ) x2 ) =
= x1 x2 x2  x1 x2  x2 x2 =
= x1 x2
51
Проверка через таблицы
x1
x2
x3
( ( x1  x2 )  x1 x3 )  x2
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
((0
((0
((0
((0
((1
((1
((1
((1
0
0
1
1
0
0
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)








0&0 ) 
0&1 ) 
0&0 ) 
0&1 ) 
1&0 ) 
1&1 ) 
1&0 ) 
1&1 ) 
0 = 1
0 = 1
1 =0
1 =0
0 =0
0 =0
1 =0
1 =0
x1 x2
1
1
0
0
0
0
0
0
52
Переход к Карте Карно
Представить рассматриваемую функцию в
x1 x2
форме карт карно
x3
0
00
10
11
01
m000 m100 m110 m010
1 m001 m101 m111 m011 x3
x1
x1
1
0
0
0
1
0
0
0
x2
x3
x2
53
Сведение к нормальной форме
( (x2 & x3)  (x2 & x3) ) & (x3 & x1 & x2 )= закон
ДеМоргана
= ( (x2 & x3)  (x2 & x3) ) &(x3  x1  x2)=
= ( (x2 & x3 & x3)  (x2 & x3 & x3) ) 
 ( (x2 & x3 & x1)  (x2 & x3 & x1) ) 
 ( (x2 & x3 & x2)  (x2 & x3 & x2) ) =
= (x2 & x3 ) 
 ( (x2 & x3 & x1)  (x2 & x3 & x1) ) 
 (x2 & x3 ) =
= ( (x2 & x3 )  (x1 & x2 & x3) )
дистрибутивность
идемпотентность,
противоречие
поглощение
54
Переход к базису { &, ¬ } и {, ¬ }
Применяем законы Де Моргана и закон
двойного отрицания
(x2 & x3 )  (x1 & x2 & x3) =
= (x2 & x3 )  (x1 & x2 & x3) =
= (x2 & x3 ) & (x1 & x2 & x3)
(x2 & x3 )  (x1 & x2 & x3) =
= (x2 & x3 )  (x1 & x2 & x3) =
= (x2  x3 )  (x1  x2  x3)
55
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 6.
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Переход к Совершенной КНФ
От исходной формулы ( x2  x1 x3 ) путём
алгебраических преобразований перейти к СКНФ
x1 x 3  x2 =
= ( x1  x2 ) ( x3  x2 ) =
= ( x1  x2  0) ( x3  x2 ) =
= ( ( x1  x2 )  ( x3 x3 )) ( x3  x2 ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x3  x2 ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x2  x3 ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) (( x1 x1 )  ( x2  x3 ) ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x1  x 2  x3 ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 )
57
Переход к Совершенной КНФ
От исходной формулы ( x1  ~x2 )  x3 путём
алгебраических преобразований перейти к СКНФ
( x1  x2 )  x3 =
= ( x1  x2 )  x3 =
= ( x1 x2 )  x3 =
= ( x1 x2 )  x3 =
= ( x1  x3 ) ( x2  x3 ) =
= ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 ) ( x1  x2  x3 )
См.
предыдущий
слайд
58
Сведение к ограниченному базису
Функция задана формулой ( x1  x2 )   x3 ,
в которой используются операции {, , }. Перейти к
формуле в базисе «штрих Шеффера» {}.
( x1  x 2 )  x3 =
= ( ( x1 x 2 )  ( x1 x2 ) )  x3 =
=
( ( x 1 x2 ) ( x1 x2 ) )  x3 =
= ( ( x1 x 2 ) ( x1 x2 ) )  x 3 =
= ( ( x1 x 2 ) ( x1 x2 ) ) x3 =
= (x1 ( x2  x2 )) (( x1 x1 ) x2 ) x3 =
= ( x1  ( x2  x2 )) (( x1 x1 )  x2 ) x3 =
= ( ( x1  ( x2  x2 ) )  ( ( x1  x1 )  x2 ) )  x3
Дом. задание: представить заданную функцию формулой в
базисе «стрелка Пирса» {}.
59
Сведение к ограниченному базису
Представить функцию x1  x2 формулой в
базисе «стрелка Пирса» {}.
Решение 1.
x 1  x2 =
= x1 x2  x1 x2 =
= ( x1 x2 )  ( x1 x2 ) =
= ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) =
= ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) =
= =(( ( x1  x1 )  ( x2  x2 ) )  ( x1  x2 ) ) =
= (( ( x1  x1 )  ( x2  x2 ) )  ( x1  x2 ) ) 
 (( ( x1  x1 )  ( x2  x2 ) )  ( x1  x2 ) )
60
Сведение к ограниченному базису
Представить функцию x1  x2 формулой в
базисе «стрелка Пирса» {}.
Решение 2.
x1  x2 =
= ( x1  x2 ) ( x1  x2 ) =
=( ( x1  x2) ( x1 x2) ) =
= ( ( x1  x2 )  ( x1  x2 ) ) =
= (( x1  x1)  x2 )  ( (x1  ( x2  x2 ))
61
Построение логической схемы
Реализовать данную функцию
x1 x2  x3 x4
в базисе 2х входного элемента И-НЕ.
x1 x2  x3 x4 
 x1 x2  x3 x4 
 x1 x2 x3 x4
62
Построение логической схемы
x1 x2 x3 x4
x1
&
&
x1 x2
x2
x3
&
y
&
x3 x4
x4
63
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 7.
МИНИМИЗАЦИЯ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ
Минимальная КНФ
Функция задана посредством ДНФ. Найти МКНФ.
x1 x3  x1 x2  x1’ x2 x3’
Путь решения: перейти к карте Карно
(импликанту-эл. конъюнкции из ДНФ
соответствует единичный блок на Карте Карно)
и найти МКНФ методом карт Карно.
65
Решение
x1
x1 x3  x1 x2  x1’ x2 x3’
0
0
1
1
0
1
1
0
x3
x2
x1
0
0
1
1
0
1
1
0
( x2  x3 ) ( x1  x3’ )
x3
x2
66
Все простые имликанты и сокр. ДНФ
Найти (перечислить) все простые импликанты.
Построить сокращённую ДНФ и минимальную ДНФ.
x1
x x ’, x x , x x
2
0
0
1
1
0
1
1
0
3
1
2
1
3
Сокращённая ДНФ:
x3
x2 x3’  x1 x2  x1 x3
x2
x1
0
0
1
1
0
1
1
0
x2
Минимальная ДНФ:
x3
x2 x3’  x1 x3
67
Метод МакКласки -МДНФ
Булева функция (частичная) задана картой Карно.
x1
-
0
1
0
0
1
-
1
x3
x2
Найти все простые импликанты, доопределяя
данную частичную булеву функцию и применяя
метод МакКласки. Указать их на карте Карно
отметив соответствующие «единичные» блоки.
Представить МДНФ.
68
Решение
x1
-
0
1
0
0
1
-
1
x3
x2
1 1 0
М1 = 1 0 1
0 1 1
1 0 0
М0 = 0 1 0
0 0 1
0 0 0
М- =
1 1 1
69
Решение - МДНФ
1 1 0
М1 = 1 0 1
0 1 1
0 0 0
М- =
1 1 1
Склеивание
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1 1 1
1 1 1 - 1
- 1 1
Поглощение
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
1 1 1
МДНФ: x1 x2  x1 x3  x2 x3
x1
-
0
1
0
0
1
-
1
x3
x2
1 1 1 - 1
- 1 1
x1 x2
x1 x3
x2 x3
исключается при
решении задачи
покрытия
70
Метод МакКласки -МКНФ
Булева функция (частичная) задана картой Карно.
x1
-
0
1
0
0
1
-
1
x3
x2
Найти все простые имплиценты доопределяя
данную частичную булеву функцию и применяя
метод МакКласки. Указать их на карте Карно
отметив соответствующие «нулевые» блоки.
Представить МКНФ.
71
Решение - МКНФ
1 0 0
М0 =
0 1 0
0 0 1
0 0 0
М- =
1 1 1
Склеивание
1 0 0
- 0 0
0 1 0
0 - 0
0 0 1
0 0 0 0 0
1 1 1
Поглощение
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 1
x1
-
0
1
0
0
1
-
1
x3
x2
- 0 0
0 - 0
0 0 -
МКНФ: (x2  x3 ) (x1  x3 ) ( x1  x2 )
x2  x3
x1  x3
x1  x2
исключается при
решении задачи
покрытия
72
Метод МакКласки -МДНФ
Булева функция (частичная) задана картой Карно.
x1
0
0
-
0
0
1
-
1
Найти МДНФ.
x3
x2
1 0 1
1 1 0
М- =
М1 =
0 1 1
1 1 1
73
Решение - МДНФ
Склеивание и поглощение
1 0 1
1 - 1
0 1 1
- 1 1
1 1 0
1 1 1 1 1
1 0 1
0 1 1
1
0
0
0
1
0
МДНФ: x1 x3  x2 x3
0
0
-
0
0
1
-
1
x3
x2
Задача покрытия
1 - 1
- 1 1
1 1 -
x1
74
Сокращённая и минимальная ДНФ
Функция задана картой Карно.
x1
x4
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
x3
x2
Найти сокращённую ДНФ и минимальную
(кратчайшую) ДНФ
75
Сокращённая и минимальная ДНФ
Функция задана картой Карно. Найти сокращённую
ДНФ и минимальную (кратчайшую) ДНФ
x1
x1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
x4
0
0
1
0
1
1
1
x3
x4
1
0
1
1
0
0
1
1
x2
x3
x2
Сокр. ДНФ:
x1 x4’  x2 x4  x1 x2  x2’ x3 x4’  x1’ x2’ x3  x1’ x3 x4
Мин. ДНФ:
x1 x4’  x2 x4  x1’ x2’ x3
76
ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Упражнение 8.
АЛГЕБРА ЖЕГАЛКИНА (REED-MULLER)
Алгебра Жегалкина (Reed-Muller)
 Алгебра логических функций в базисе
{&, } называется алгеброй Жегалкина.
 Свойства операций & и :
xy=yx
(операция , как и &, коммутативна)
x (y  z) = x y  x z (дистрибутивность & относительно )
xx=0
(чётное число термов может быть сокращено)
x0=x
(нуль-термы могут быть сокращены)
 Справедливо:
xy=xyxy
x=x1
x  y = x & y = (x  1) (y  1)  1 = x y  x  y
78
Полином Жегалкина (Reed-Muller)
 Полином
Жегалкина
определяется
как
полином по модулю два попарно различных
положительных элементарных конъюнкций
(содержат только положительные литералы).
P(x1…xn) = a0  a1x1  a2x2  ...  anxn 
 a12x1x2  a13x1x3  ...  a1...nx1...xn,
где a0…a1…n  {0,1}
 Примеры полиномов Жегалкина:
P=ABC
P = A  BC  AD
P = 1  A  ABD
79
Полином Жегалкина (Reed-Muller)
 Число попарно различных конъюнкций равно
2n, где n - общее число переменных. Отсюда
число различных полиномов Жегалкина от n
2n
переменных равно 2 .
 Число различных полиномов Жегалкина
совпадает с числом всех булевых функций от
n переменных.
В
виде
полинома
Жегалкина
можно
представить любую булеву функцию, причём
для
каждой
функции
соответствующий
полином будет являться единственным
(каноническое представление).
80
Преобразование в полином Жегалкина
 Когда исходная формула – СДНФ, мы можем
выполнить эквивалентное преобразование,
заменив знаки дизъюнкции на знаки .
 СДНФ состоит из взаимно ортогональных
конъюнкций: при любом наборе аргументов
значение ИСТИНА может принять не более
чем одна из них.
 Если x&y=0, то говорят, что x ортогональна y.
 В общем случае:
xy=xyxy
 Но если x ортогональна y, то:
xy=xyxy=0xy=xy
81
Преобразование в полином Жегалкина
 Функция задана посредством ДНФ: x1x2  x1x2
 Если принять, что f = x1 x2 и g = x1 x2, то здесь
мы имеем как раз тот самый случай, когда
f&g=0 (действительно, x1 x2 x1 x2 = 0 ).
x1 x2  x1 x2 = x1 x2  x1 x2 =
= x1 x2  (x1  1) (x2  1) =
= x1 x2  x 1 x2  1 x2  x1 1  1 =
= 0  x1  x2  1 =
= x1  x2  1
82
Преобразование в полином Жегалкина
 Полином Жегалкина можно строить из
произвольной ДНФ, если предварительно
ортоганализировать её.
 Функция задана посредством ДНФ: x2x3  x1x2
 Наиболее просто провести ортоганализацию
с использованием карт Карно.
x1
x1
0
0
1
1
0
0
0
1
x2
x3
0
0
1
1
0
0
0
1
x3
x2
83
Преобразование в полином Жегалкина
 Выразить представленную картой
функцию полиномом Жегалкина.
Карно
x1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
x3
x4
0
0
0
0
x2
x1 x4  x1 x2 x4  x2 x3 x4 =
= x 1 x2 x4  x2 x 3 x4  x1 x4  x2 x4  x1 x 2  x1  x2
84