Diskreetne Matemaatika. F.

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
Домашняя работа.
Пример.
Решение предоставлено в 2009 уч. г.
Eduard Shustrov (099443FAY)
Alexander Sudnitson
Tallinn University of Technology
Задание





Найти минимальные ДНФ и КНФ методом Карт
Карно.
Найти минимальные ДНФ и КНФ методом
МакКласки.
Преобразовать МКНФ и МДНФ к соответствующим
формулам, в которых встречаются только операции
конъюнкции и отрицания.
Представить данную функцию в базисе , т.е.
«штрих Шеффера».
Реализовать данную функцию с использованием
только 2-х входового элемента И-НЕ.
2
Исходная функция
x2 x4
x1 x3 00
00
10
11
01
01
11
10
1
1
-
-
1
0
0
1
-
-
0
1
1
-
0
x4
0
x1
1
1
0
0
-
-
1
0
0
1
-
x3
0
1
1
x2
3
Отмеченная карта Карно
x4
0000
1
1000
x1
-
1010
0
0010
0
0001
1
1001
-
1011
1
0011
1
x4
0101
0
1101
1
1111
-
0111
1
0100
0
0
1100
8
0
x1
1110
-
0110
-
x2
x3
10
2
1
1
9
0
0
11
3
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
4
12
14
6
0
0
-
x3
-
x2
Это представление рекомендуется использовать,
чтобы лучше понять связь между различными
методами минимизации.
4
Метод карт Карно - МДНФ
x4
x4
0
1
9
8
x1
-
10
2
1
0
0
11
3
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
4
12
14
6
0
0
8
0
-
x2
x1 x4  x2 x3  x3 x4
x1
x3
10
2
1
1
9
1
0
0
11
3
1
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
1
4
12
14
6
0
0
0
x3
0
x2
Карта Карно соответствующей
полностью определенной
Булевой функции
5
Метод карт Карно - МКНФ
x4
x4
0
8
x1
10
2
1
1
9
0
0
11
3
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
4
12
14
6
0
0
8
0
-
x1
x3
10
2
1
1
9
1
0
0
x2
11
3
1
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
1
4
12
14
6
0
0
0
x3
0
x2
(x1  x2  x3 ) ( x2  x4 ) ( x3  x4 )
6
Метод Мак-Класки – МДНФ – этап I
0 (0)
(1)
1
(8)
(3)
2 (6)
(9)
(7)
(11)
3
(13)
(14)
4 (15)
(1)
0000
0001
1000
0011
0110
1001
0111
1011
1101
1110
1111
7
Метод Мак-Класки – МДНФ – этап I
0 (0)
(1)
1
(8)
(3)
2 (6)
(9)
(7)
(11)
3
(13)
(14)
4 (15)
0000
0001
1000
0011
0110
1001
0111
1011
1101
1110
1111
0
1
2
3
(0/1)
(0/8)
(1/3)
(1/9)
(8/9)
(3/7)
(3/11)
(6/7)
(6/14)
(9/11)
(9/13)
(7/15)
(11/15)
(13/15)
(14/15)
000−
−000
00−1
−001
100−
0−11
−011
011−
−110
10−1
1−01
−111
1−11
11−1
111−
(0/1/8/9)
0
(0/8/1/9)
(1/3/9/11)
1
(1/9/3/11)
(3/7/11/15)
(3/11/7/15)
(6/7/14/15)
2
(6/14/7/15)
(9/11/13/15)
(9/13/11/15)
(2)
−00−
−00−
−0−1
−0−1
−−11
−−11
−11−
−11−
1−−1
1−−1
8
Метод Мак-Класки – МДНФ – этап II
Построение импликантной матрицы и решение задачи покрытия.
0000 0001 0011 0111 1011 1101
0
0
0
0
1
1
−00− (0/1/8/9)
0
1
0
1
1
0
−0−1 (1/3/9/11)
0
1
1
1
0
0
−−11 (3/7/11/15)
0
0
1
0
0
0
−11− (6/7/14/15)
1
1
0
0
0
1−−1 (9/11/13/15) 0
0011 0111 1011 1101
0
1
0
1
−0−1 (1/3/9/11)
0
1
1
1
−−11 (3/7/11/15)
0
0
1
0
−11− (6/7/14/15)
1
1
0
1−−1 (9/11/13/15) 0
0011 0111
0
1
−0−1 (1/3/9/11)
1
−−11 (3/7/11/15) 1
1
−11− (6/7/14/15) 0
Здесь имеем 2 обязательных импликанта, а третий простой
импликант выбран исходя из «разумных» рассуждений.
9
Метод Мак-Класки – МДНФ
Таким образом все «единичные точки» покрываются тремя
максимальными интервалами:
1−−1
(9/11/13/15)
−00−
(0/1/8/9)
−−11
(3/7/11/15).
Соответствующая МДНФ будет:
Следует обратить внимание на то, что данное решение
совпадает с найденным методом карт Карно.
10
Метод Мак-Класки – МKНФ – этап I
1
2
3
4
(2)
(4)
(8)
(5)
(6)
(9)
(10)
(12)
(14)
(15)
(1)
0010
0100
1000
0101
0110
1001
1010
1100
1110
1111
11
Метод Мак-Класки – МKНФ – этап I
1
2
3
4
(2)
(4)
(8)
(5)
(6)
(9)
(10)
(12)
(14)
(15)
0010
0100
1000
0101
0110
1001
1010
1100
1110
1111
(2/6)
(2/10)
(4/5)
(4/6)
1
(4/12)
(8/9)
(8/10)
(8/12)
(6/14)
2 (10/14)
(12/14)
3 (14/15)
0−10
−010
010−
01−0
−100
100−
10−0
1−00
−110
1−10
11−0
111−
(2/6/10/14)
(2/10/6/14)
(4/6/12/14)
1
(4/12/6/14)
(8/10/12/14)
(8/12/10/14)
(2)
−−10
−−10
−1−0
−1−0
1−−0
1−−0
12
Метод Мак-Класки – МKНФ – этап II
(1)
0010 0100 0101 1010 1100
−−10 (2/6/10/14)
1
0
1
1
0
010−
(4/5)
0
1
1
0
0
−1−0 (4/6/12/14)
0
1
0
0
1
100−
(8/9)
0
0
0
0
0
1−−0 (8/10/12/14) 0
0
0
1
1
111−
(14/15)
0
0
0
0
0
0100 0101 1100
010−
(4/5)
1
1
0
−1−0 (4/6/12/14)
1
0
1
1−−0 (8/10/12/14) 0
0
1
13
Метод Мак-Класки – МKНФ – этап II
(2)
1100
−1−0 (4/6/12/14)
1
1−−0 (8/10/12/14) 1
1100
−1−0 (4/6/12/14)
1
1−−0 (8/10/12/14) 1
Следует обратить внимание на то, что здесь мы имем два
раноценных решения. Одно из них совпадает с рещеннием
найденным ранее методом карт Карно.
Тем не менее мы должны убедиться, что и второе решение
может быть получено методом карт Карно (см. след. слайд).
14
Получение альтернативного решения
x4
x4
0
8
x1
10
2
1
1
9
0
0
11
3
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
4
12
14
6
x2
0
0
8
0
0
x1
x3
10
2
1
1
9
0
0
0
11
3
1
1
1
1
5
13
15
7
0
1
1
1
4
12
14
6
0
0
0
x3
0
x2
Здесь мы доопределили функцию на наборе аргументов
« 1, 0, 0 » (клетка 8) до 0.
15
Преобразование к базису &, ~
Преобразование МДНФ:
Преобразование МКНФ:
16
Преобразование к базису 
17
Представление (реализация) схемой
В интересах оптимальности за
исходную лучше взять МДНФ.
18
Верификация методом истинностных таблиц
19