Выборка объёма , начало первого интервала , шаг

Задача 1
Вычислить двойной интеграл ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 от функции 𝑓(𝑥, 𝑦) по заданной
области 𝐷: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|−1 ≤ 𝑥 ≤ 0, −1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥}, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 𝑒 𝑥𝑦 .
Задача 2
Вычислить объём тела 𝐺 с помощью кратного интеграла, используя
подходящую замену переменных:
3√2
𝐺 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|
≤ 𝑧 ≤ √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 }
2
Задача 3
Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой
Г: ∫Г 𝑥𝑦𝑑𝑠, Г – четверть окружности 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, лежащая в первом
квадранте.
Задача 4
Вычислит криволинейный интеграл по меньшей дуге единичной окружности,
заключённой между точками 𝐴 и 𝐵 и ориентированный в направлении от
точки 𝐴 к точке 𝐵:
∫ 𝑥 2 𝑑𝑦 ,
𝐴𝐵
√2 √2
𝐴( ;
),
2 2
𝐵 (−
√2 √2
;
)
2 2
Задача 5
Вычислить криволинейный интеграл по окружности 𝐶 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 2 + 𝑦 2 = 1},
ориентированный по часовой стрелке:
∮ (𝑦 + 𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 + 𝑦𝑒 −𝑦 𝑑𝑦
𝐶
1
Задача 6
Вычислить поверхностный интеграл 2 рода по внутренней стороне сферы 𝑆 =
{(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4}:
2
∬ (2𝑥𝑦 2 + 𝑥 3 ) 𝑑𝑦𝑑𝑧
3
𝑆
Задача 7
Найти общее решение дифференциального уравнения:
(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 − 𝑒 𝑦 )𝑑𝑦 = 0
Задача 8
Найти общее решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего
начальному условию 𝑦(1) = 1:
𝑥𝑦 ′ − 𝑦 + 2𝑥𝑦 2 ln 𝑥 = 0
Задача 9
Решить задачу Коши:
4𝑦𝑦 ′′ + 𝑦 ′2 + 𝑦𝑦 ′4 = 0,
𝑦(1) = 1,
𝑦 ′ (1) = −1
Задача 10
Найти общее действительное решение однородного дифференциального
уравнения:
𝑦 (4) + 𝑦 ′′ = 0
Задача 11
Два датчика посылают сигнал в общий канал связи, причём первый из них
посылает вдвое больше сигналов, чем второй. Вероятность получить
искажённый сигнал от первого датчика равна 0.06, от второго – 0.03. Какова
вероятность получить искажённый сигнал в общем канале?
2
Задача 12
Семена содержат 0.1% сорняков. Оценить вероятность того, что при
случайном отборе 10000 семян будет найдено от 10 до 13 сорняков.
Задача 13
Случайная величина 𝑋 может принимать только два значения 𝑥1 и 𝑥2 , причём
𝑥1 < 𝑥2 . Известны, вероятность 𝑝1 возможного значения 𝑥1 , математическое
ожидание 𝑀(𝑋) и дисперсия 𝐷(𝑋). Найти закон (ряд) распределения этой
случайной величины.
36
𝑝1 =
,
𝐷(𝑋) = 4,
𝑀(𝑋) = 2
37
Задача 14
Случайная величина 𝑋 задана функцией распределения 𝐹(𝑥), требуется:
1. найти плотность вероятности,
2. математическое ожидание и дисперсию 𝑋,
3. построить графики функции распределения и функции плотности
вероятности.
0,
при 𝑥 ≤ 0
2
𝑥
𝐹(𝑥) = { ,
при 0 < 𝑥 ≤ 5
25
1,
при 𝑥 > 5
Задача 15
Заданы математическое ожидание 𝑀(𝑋) и средне квадратическое отклонение
𝜎 нормально распределённой величины 𝑋. Найти: 1) вероятность того, что 𝑋
примет значение, принадлежащее интервалу (𝛼; 𝛽); 2) вероятность того, что
абсолютная величина отклонения 𝑋 − 𝑀(𝑋) окажется меньше 𝛿.
𝑀(𝑋) = 21,
𝜎 = 16,
𝛼 = 10,
𝛽 = 20,
𝛿=8
Задача 16
Провести исследование генеральной совокупности, используя выборочные
данные соответствующего варианта.
1. Построить статистическое распределение выборки и гистограмму частот
(шаг ℎ указан в варианте).
3
2. Дать точечные оценки генеральному среднему и дисперсии.
3. Предполагая, что выборка сделана из нормальной совокупности, построить
доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии
нормального распределения, приняв доверительную вероятность 𝛾 = 0.95.
4. При уровне значимости 𝛼 = 0.01 проверить гипотезу о нормальности
генеральной совокупности, используя критерий согласия Пирсона.
Выборка объёма 𝑁 = 237, начало первого интервала 𝑎 = 285, шаг ℎ = 7.
4