2014-2015-К1-С2-З..

ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ФЗО, 1-й курс, весенне-летний семестр 2014/2015 учебного года
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Зачётка с собой?
Производная функции в точке: определение.
Производная функции в точке: геометрический и механический смысл.
Производная функции на отрезке: определение, механический смысл.
Производные элементарных функций.
Вывести формулу производной функции sin x .
Вывести формулу производной функции cos x .
Вывести формулу производной функции e x .
Основные методы дифференцирования.
Доказать, что производная суммы функций равна сумме производных
функций-слагаемых.
Производная обратной функции.
Вывести формулу производной функции arctg x .
Сколько будет дважды два?
Логарифмическое дифференцирование.
Производная функции, заданной параметрически.
Дифференцирование неявно заданной функции.
Найти производную y x функции y  x  ln  2  e x  1  .


5
x
4
Найти производную y x функции y  4  (5x) .
19. Найти производную y x функции y  (sin x) ln sin
x
.
20. Найти производную y x функции y  45 x  (5x)4 .
 x  cost;
21. Найти производную y x функции 
.
y

ln
sin
t
.

1
1  2x
22. Найти производную y x функции y 
.
 ln
ln 4 1  2 x
x2 y2

 2.
4
8
2
24. Найти производную y x функции y 
(arctg e x )3 .
3
25. Найти производную y x функции x 4  y 4  x 2 y 2 .
23. Найти производную y x функции


26. Найти производную y x функции y  ln cos2 5x .
27. Найти производную y x функции y  (5 x)
1
x
.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
 x  et ;
Найти производную y x функции 
.
 y  arcsin t.
Дифференцируемость функции: определение.
Дифференцируемость функции: необходимое и достаточное условие.
4
Является ли функция y  2 дифференцируемой в точках x1  2 и x2  0 ?
x
Производные высших порядков: определение.
N-раз и бесконечно дифференцируемые функции. Привести примеры.
Дифференциал функции: определение.
Дифференциал функции: геометрическая интерпретация.
Применение дифференциала функции в приближённых вычислениях.
Дифференциалы высших порядков.
x 1
Найти дифференциал функции y  2 x  2
.
x 1
Найти дифференциал функции y  x 2  e x .
40. С помощью дифференциала вычислить приближённо x 2  5 в точке
x0  1,97 .
41. Теорема Ферма (о производной функции в точке экстремума).
42. Теорема Ролля (о производной функции внутри интервала с одинаковыми
значениями на краях).
43. Теорема Коши (о равенстве отношений приращений двух функций на
интервале и их производных в некоторой точке).
44. Теорема Лагранжа (о среднем).
45. Условие постоянства функции на отрезке.
46. Условие монотонности функции на отрезке.
47. Правило Лопиталя.
1
48. Найти предел lim x  sin с помощью правила Лопиталя.
x
x  
1
2
49. Найти предел lim x 2  e x с помощью правила Лопиталя.
x 0
50. Найти предел lim
tg x  sin x
с помощью правила Лопиталя.
x3
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Формула Маклорена. Разложение элементарных функций по формуле
Маклорена: sin x и e x .
По формуле Тейлора разложить функцию y  3 x в окрестности точки x0  1 .
x
По формуле Тейлора разложить функцию y 
в окрестности точки
x 1
x0  2 .
Локальный экстремум функции: определение.
Локальный экстремум функции: необходимое и достаточные условия.
x 0
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
2
58. Глобальный экстремум функции на отрезке: алгоритм нахождения.
16
59. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y  x 2  4 x 
 9 на
x2
отрезке [1; 2] .
60. Выпуклость и вогнутость функции на интервале: определение.
61. Выпуклость и вогнутость функции на интервале: необходимое и достаточное
условия.
62. Точки перегиба функции: определение.
63. Точки перегиба функции: необходимое и достаточные условия.
2
64. Найти точки перегиба функции y  e  x  2 x .
3 ln x
65. Найти точки перегиба функции y 
.
x
78.
79.
Дифференциальное исчисление функции многих переменных
Как зовут преподавателя, которому Вы сдаёте зачёт по высшей математике?
Функция многих переменных: определение, область определения, область
значений.
Функция многих переменных: линии уровня, поверхности уровня.
y 1
Найти область определения функции z  arcsin
.
x
Найти область определения функции z  x  y .
Частные производные функции многих переменных.
Частные производные высших порядков функции многих переменных.
Смешанные производные функции многих переменных.
z
z
Найти частные производные
и
для функции z  x y .
x y
z
z
Найти частные производные
и
для функции z  e xy .
x y
Дифференцируемость функции многих переменных: определение.
Дифференцируемость функции многих переменных: необходимое и
достаточное условия.
Полный дифференциал функции многих переменных.
Найти полный дифференциал функции z  ln( x 2  y3 ) .
80.
81.
82.
83.
Найти полный дифференциал функции z  xy  x  e y / x .
Производная функции многих переменных по направлению.
Градиент.
Найти производную функции z  5x 2  6 xy в точке M 0 ( 2;1) по направлению
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
вектора a  i  2 j .
84. Найти производную функции z  x  y  x 2  y 2 в точке M 0 (3; 4) по
направлению вектора a  2i  j .
85. Касательная плоскость к поверхности, заданной функцией z  f ( x, y) .
3
86. Нормаль к поверхности, заданной функцией z  f ( x, y) .
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
Интегральное исчисление функции одной переменной
Первообразная функции: определение.
Какие темы по математике изучались в текущем семестре?
Доказать, что две первообразные одной и той же функции различаются на
константу.
Неопределённый интеграл: определение.
Свойства неопределённого интеграла.
Записать неопределённые интегралы функций sin x , x n .
Записать неопределённые интегралы функций cos x , a x .
1
1
Записать неопределённые интегралы функций ,
.
x 1  x2
1
1
Записать неопределённые интегралы функций
,
.
1  x2
1  4x2
Метод непосредственного интегрирования: интеграл от функции вида
f (ax  b) .
Интегрирование функции методом поднесения под знак дифференциала.
Интегрирование функции методом замены переменной.
Интегрирование функции методом подстановки.
Метод интегрирования функции по частям.

102. Найти интеграл  tg 5x dx .
1
103. Найти интеграл  cos 2 dx .
x
101. Найти интеграл e  x dx .

105. Найти интеграл  x cos 2 x dx .
106. Найти интеграл  sin 3 2 x dx .
107. Найти интеграл  sin 4 2 x dx .
2
104. Найти интеграл e x dx .
108. Интегрирование дробно-рациональной функции.
109. Интегрирование тригонометрических выражений.
110. Интегрирование иррациональных выражений вида
  ax  b  p1  ax  b  pk 
R  x, 
 ,
 .
  mx  n 
 mx  n  

111. Интегрирование иррациональных выражений вида x m (a  bxn )
112. Найти неопределённый интеграл
x3  4 x 2  4 x  2
 ( x  1)2 ( x2  x  1) dx .
4
r
s.
113. Найти неопределённый интеграл

114. Найти неопределённый интеграл

2 x3  40 x  8
dx .
x( x  4)( x  2)
5 x 1
dx .
( x  1) 2 x
115. Записать интегральную сумму Римана для функции y  x 2 на интервале
[0;10] , если n  4 .
116. Определённый интеграл: определение.
117. Определённый интеграл: основные свойства.
118. Формула Ньютона-Лейбница.
119. Методы вычисления определённых интегралов.
16
120. Вычислить определённый интеграл

256  x 2 dx .
0
10
121. Вычислить определённый интеграл

6

122. Вычислить определённый интеграл
2
4 x
dx .
x  12
cos x
 2  cos x dx .
0
123. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площади
плоской фигуры, заданной в декартовой системе координат.
124. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление площади
плоской фигуры, заданной в полярной системе координат.
125. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление длины
дуги, заданной в декартовой системе координат.
126. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление длины
дуги, заданной параметрически.
127. Геометрические приложения определённого интеграла: вычисление объёмов
тел.
128. Что такое криволинейная трапеция?
129. Где находится кафедра высшей математики?
130. Физические приложения определённого интеграла: вычисление массы
неоднородного стержня.
131. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной
линиями y  ( x  2)3 и y  4 x  8 .
132. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной
линиями y  ( x  1)2 и y 2  x  1 .
133. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной
линиями x  4  y 2 и x  y 2  2 y .
134. Вычислить в декартовых координатах площадь фигуры, ограниченной
 x  6 cos t ,
линиями 
и y  2 3 ( y  2 3) .
 y  4 sin t ,
5
135. Вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией
r  cos 2 .
136. Вычислить в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линиями
r1  2 cos  и r2  3 cos  .
137. Несобственный интеграл 1-го рода: определение.
138. Несобственный интеграл 1-го рода: методы вычисления.
139. Несобственный интеграл 1-го рода: основные свойства.
140. Несобственный интеграл 1-го рода: исследование сходимости.
141. Несобственный интеграл 2-го рода: определение.
142. Несобственный интеграл 2-го рода: методы вычисления.
143. Несобственный интеграл 2-го рода: основные свойства.
144. Несобственный интеграл 2-го рода: исследование сходимости.

145. Вычислить несобственный интеграл

2
x
( x  3)
2
3
dx или доказать его
расходимость.
0
146. Вычислить несобственный интеграл
или доказать его расходимость.
dx
или доказать его расходимость.
 1  x2


147. Вычислить несобственный интеграл
dx

e2
1
x ln 3 x

148. Вычислить несобственный интеграл ln x dx или доказать его расходимость.
0
e
149. Вычислить несобственный интеграл
x
1
1
150. Вычислить несобственный интеграл
dx
или доказать его расходимость.
ln x
dx
 1  x3
или доказать его расходимость.
0
Примечание: Список содержит и теоретические, и практические вопросы (задачи).
Ответ на теоретический вопрос должен быть кратким и конкретным. Ответ на
практический вопрос засчитывается как правильный, если выбран подходящий
метод решения и начат правильный расчёт.
Преподаватель: доцент И. В. Дайняк
6