Определенный интеграл

18
Тема 5
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла используют при решении практических
задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету
работы, производимой переменной силой и т.д.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов "Основы высшей математики". М., 1998, с.68-72, 74-76, 79-82.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1) Основные свойства неопределенного интеграла.
2) Таблицу основных интегралов.
П. Изучить по указанной литературе следующие теоретические вопросы:
1) Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции).
2) Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
3) Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного
интеграла.
4) Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля.
2
Задача 1. Вычислить определенный интеграл:  x 2 dx
1
Решение:
По формуле Ньютона-Лейбница
b
 f ( x)dx  F ( x)
b
a
 F (b)  F (a) ,
a
где F (x) - первообразная функция для подынтегральной функции f (x) .
Поскольку простейшей первообразной для функции f ( x)  x 2 является
F ( x) 
x3
, в данном случае имеем:
3
2
2
 x dx 
1
x3
3
2
1

2 3 13 8 1 7
   
3 3 3 3 3
Вычислить самостоятельно определенные интегралы:

3
2
1.  sin xdx
0
3.

1
dx
x
3
2.  (1  2 x  3x 2 )dx
1
Задача 2. Вычислить определенный интеграл:
1

1  x dx
0
Решение:
Данный интеграл не является табличным и для вычисления воспользуемся
методом замены переменной, а именно, введем новую переменную:
19
t  1  x, тогда dt  dx и dx  dt .
Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной t ), используя связь между "старой" и "новой" переменными.
Действительно, при x  0 t  1 ,
при x  1 t  0 .
Заменяем в исходном интеграле переменную x на переменную t и записываем новые пределы интегрирования, тогда получаем:
1

0
0
1
2
1  x dx    t dt .
1
Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообразной степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница:
0
1
3
2
  t 2 dt   t 2
3
1
0
1
2
2
  (0  1) 
3
3
Вычислить самостоятельно определенные интегралы методом замены переменной

2
10
1.  cos 5 xdx
2.  e x  xdx
2
0
1
Задача 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y  x  1 , x  1,
x  3, y  0 .
Решение
Вначале представим искомую площадь графически:
у
4
3
2
1
C
B
А
1
D
2
3
4
х
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD.
В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла,
определенный интеграл функции y  f (x) в пределах от x  a до x  b , т.е.
b
 f ( x)dx ,
a
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика
функции y  f (x) , осью абсцисс ОХ и линиями x  a и x  b , искомая площадь
3
S ABCD равна: S ABCD   ( x  1)dx .
1
20
Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы
Ньютона-Лейбница имеем:
3
S ABCD
3
3
3
x2
  ( x  1)dx   xdx   dx 
2
1
1
1
x
3
1

1
9
 2  7.5 кв.ед.
2
Вычислить самостоятельно площади фигур, ограниченные линиями:
1) y  x 3  6; x  0; x  5; y  0.
2) y  x  1; y  0; x  0; x  2.
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
y  6 x  x 2 ; y  0.
Решение:
Представим искомую площадь графически:
у
В
9
6
3
А 1 3 5С
х
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС.
S ABC 
x2
 y( x)dx .
x1
Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования.
Найдем их, решая совместно систему уравнений
y  6x  x 2
y0
6 x  x 2  0; x(6  x)  0; x1  0, x2  6
Точки пересечения этих линий x1  0 и x2  6 и есть искомые пределы при
вычислении определенного интеграла.
Тогда S ABC
6
6
6
x2
  (6 x  x )dx   6 xdx   x dx  6
2
0
0
0
2
6
2
0
x3

3
6
 3  36  72  36 кв.ед.
0
Вычислить самостоятельно площадь, ограниченную линиями:
1) y 2  4 x  0; x  y  0
2) y 3  4 x  0; y  x
Задача 5. Вычислить работу, которую необходимо совершить для растяжения пружины от равновесного состояния на величину d  0.1 м, если коэффициент
упругости пружины k  100 н/м.
21
Решение
Согласно закону Гука для растяжения пружины на величину x необходимо
приложить силу F ( x)  kx .
Работа переменной силы, действующей на тело при перемещении его из
точки x  a в точку x  b , численно равна определенному интегралу от этой силы
6
на отрезке a, b : A   F ( x)dx .
0
Зная закон изменения силы F (x) от растяжения x пружины, найдем работу
d
kx2
A по формуле: A   kxdx 
2
0
d
0
kd 2
.

2
При подстановке в эту формулу численных значений получим окончательный результат A  0.5 Дж.
Решить самостоятельно задачу.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2 см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до
35 см. (Необходимо перевести см в м).
Задачи для решения на практическом занятии:
1. Вычислить определенные интегралы
16
1.
2
1

1
x
 dx
7.
 0.5e
1
2x
8.
dx
( x 
2
7
4.

1
x
2
)dx
x  2  dx
2
1
e x dx
5. 
x
0 2e

6.
2
cos x
 sin 2 x dx
4
1.
3.
5.
 (2 x
3
 3x 2  4)dx
2
0
3
3.
 tgxdx
0
10
2.
3
9.
dx
 2x  3
1
5
( x  1) 2
10. 
dx
x
1
8
11.  ( 3
1

3
x
 e x )dx
2
12.  (5 cos x  x)dx
0
2. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями:
y  x 2 ; y  x3
2. y  x ; y  x
y  sin x; y  0 на отрезке 0,  
4. y 2  9 x; x 2  9 y
y  4  x2 ; y  0
3. Вычислить работу переменной силы.
1) Вычислить работу, совершаемую при сжатии винтовой пружины на 6 см,
если известно, что для сжатия ее на 0,5 см требуется приложить силу 6 Н. Считать, что приложенная сила пропорциональна сжатию пружины ( F  kx ).
22
2) Вычислить работу, производимую спортсменкой при растяжении эспандера на 70 см, если известно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1
см.
4. Решить задачи.
1) В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индикатором
dC
 e t ln 2 . Найти концентрацию препарата в момент времеdt
ни t.
2) Скорость движения тела v  3t 2  2t ( м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с
от начала движения, если при t  0 x  0 .