3. Исследовать на локальный экстремум функцию

9.
10.
11.
13.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е
И С Ч И С Л Е Н И Е .
2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2.
Рейтинг
задания
1
 (5  4e
1. Вычислить интеграл
x
)e  x dx .
0
2. Найти производную функции
z = e1 4 / xy  2 xy в точке М (2,2) по направлению вектора, соединяющего точку M с точкой N (-1,-2).
3. Исследовать на локальный экстремум функцию
4.
z  3x 2  2 xy  5 y 2  14 x  6 y  5
Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
 f x, y dxdy , где D – треугольник с вершинами в точках
D
А(1; 1), В(2; 3), С(4; -2).
x3 1
dx .
5. Вычислить интеграл: 
3
1 4x  x
2
8 x  arctg (2 x)
на отрезке [0, 1/ 2].
1  4x 2
2
2
7. Вычислить массу пластинки , ограниченной линиями x  y  2 x, y   x, y  x , если поверхностная плотность равна x .
6. Найти среднее значение функции f ( x) 
8 . Дать определение частных производных и первого дифференциала функции двух переменных. Сформулировать необходимое
условие дифференцируемости функции многих переменных. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
z = x2+3y2–2y–1 в области, определяемой неравенствами : -1  x  1, –1  y  1.
9. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской кривой. Вычислить длину дуги кривой: { x
 4 cos 3 t , y  4 sin 3 t} ,
 /6  t  /4
10. Дать определение определенного интеграла , сформулировать его свойства. Вычислить несобственный интеграл или установить его

расходимость:

e
ln 2 x
x5
.
Вывести уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, исходя из свойств градиента. Показать, что касательная
плоскость к поверхности xyz=8 в любой ее точке образует с плоскостями координат тетраэдр постоянного объема. Найти этот объем.
Найт 12. Сформулировать свойства и приложения двойного интеграла. Замена переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.
Двойной интеграл в полярной системе координат. Вычислить объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
11.
x 2  у 2  4 x , z  10  y 2 , z  0 .
Заведующий кафедрой математики
Б.Г. Разумейко
Поле ответа
Шифр:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е
И С Ч И С Л Е Н И Е .
2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2.
Код:
Рейтинг
задания
1. Написать уравнение нормали и касательной плоскости к поверхности z 
3
2. Вычислить интеграл:
dx
 ( x  1)( x  1)
2
6  x 2  y 2 в точке М (1, 1, 2).
.
2
3.
Найти дифференциал первого порядка для функции. u = (x
2
 y 2 )2z в точке М (1, -1, 1).
1

4. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле dy
0
2

 x
1 1 y 2
 f ( x, y)dx
2 y
x  cos x
dx .
2
 2 sin x
5.
Вычислить интеграл:
6.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  4 y  x 2  0, y 2  8 y  x 2  0, y  x, x  0 .
1
7. Вычислить интеграл:
x
2
1  x 2 dx.
0
8. Дать определение точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое и достаточные условия
существовния локального экстремума функции двух переменных в точке. Исследовать на локальный экстремум функцию
z= e  x
9.
2
 xy  y 2
(7 x  5 y  25) .
Определенный интеграл как функция верхнего предела. Cформулировать и доказать теорему о производной от определенного

интеграла с переменным верхним пределом. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
dx
 x ln
6
2
x
10. Дать определение градиента и производной по направлению. Записать формулу для вычисления производной по направлению через
градиент функции. Написать уравнения касательных плоскостей к поверхности
x 2  2 y 2  3 y 2  21 перпендикулярных
вектору а (1, 4, 6).
11. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Вывести формулу для нахождения обема тела вращения криволинейной
трапеции вокруг оси OY. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y  x 2  2 x  1, x  2
y  0 вокруг оси OY.
12. Дать определение тройного интеграла. Сформулировать свойства и приложения тройного интеграла. Вычислить массу тела, заданного
.ограничивающими его поверхностями: z=xy, y=x, x=1, z=0 (z 0), если объемная плотность равна
Заведующий кафедрой математики
xy2 z 3 .
Б.Г. Разумейко
Поле ответа
17.
18.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е
И С Ч И С Л Е Н И Е .
2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2.
Рейтинг
задания
 /4
1. Вычислить интеграл:

0
tgx
cos 2 x
dx .
 (1  x) 3 y в точке М (-1, 2) .
3. Исследовать на локальный экстремум функцию z = xy(6 – 3x – 2y).
2.
Найти градиент функции
z  4e  x
2
1
2
4. Расставить пределы интегрирования двумя способами в двойном интеграле
 f x, y dxdy , где D – область, ограниченная линиями
D
x  4  y 2 , x  y 2  2 y.
5. Вычислить интеграл:
3x 2  4 x  9
 ( x  1)( x 2  2 x  5) dx
6. Найти среднее значение функции f(x)=
3
x ln x на отрезке [1, 4].
7. Вычислить массу пластинки , ограниченной линиями
y  6  36  x 2 , y  x , если поверхностная плотность равна
x2  y2 .
8 . Дать определение частных производных второго порядка и второго дифференциала функции двух переменных. Сформулировать
необходимое и достаточное условия существования условного экстремума функции двух переменных. Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
z  x 2  y 2  12 x  6 y  2 в области , определяемой неравенствами: х2 + у2  25, x  y  5 .
9. Вывести формулу для нахождения длины дуги плоской кривой. Вычислить длину дуги кривой: кривой
y  e 2 x  3, ln 4 2  x  ln 4 6 .
19. 10. Дать определение определенного интеграла , сформулировать его свойства. Вычислить несобственный интеграл или установить его

dx
расходимость:

1/ 2
x x 2  2x  1
10. Вывести уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности, исходя из свойств градиента. Найти производную функции
u  ln( e x  2e y  3e z ) в точке М (0, 0, 0) по направлению, составляющему с осью OX угол 60 0 , с осью OY угол 45 0 , с осью
OZ -острый угол.
Найт 12. Дать определение тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические координаты.
Тройной интеграл в цилиндрической системе координат. Вычислить объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
x 2  y 2  z 2  81 , x 2  y 2  45 (внутри цилиндра).
Заведующий кафедрой математики
Б.Г. Разумейко
Поле ответа
Шифр:
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ №
И Н Т Е Г Р А Л Ь Н О Е
И С Ч И С Л Е Н И Е .
2-ой семестр, гр. ЭТ, ЭО, ЭЖ, Т6, С5, А3, Ц2, М1, М2.
Код:
Рейтинг
задания
1. Вычислить производную функции u 
1
x  y2  z2
2
по направлению вектора l ( -2, 2, 1 ) в точке М (1, -2, 2).
( x  1) dx
2
1 x  3x
2

2. Вычислить интеграл:
3.
Найти дифференциал первого порядка для функции. z =
4. Вычислить двойной интеграл
ex
2
y
 2 x  y в точке (1,1).
 dxdy , где D – область, ограниченная линиями
x 2  y 2  4 x, y  3 x, y  x .
D
 /4
xdx
.
2
/ 6 cos x


5.
Вычислить интеграл:
7.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y 2  2 y  3x  1  0, 3x  3 y  7 .
2
7. Вычислить интеграл:

4  x 2 dx.
0
8. Дать определение точки локального экстремума функции двух переменных. Сформулировать необходимое и достаточные условия
существовния локального экстремума функции двух переменных в точке. Исследовать на локальный экстремум функцию
z= e x
9.
2
y
(5  2 x  y) .
Определенный интеграл как функция верхнего предела. Cформулировать и доказать теорему о производной от определенного

интеграла с переменным верхним пределом. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:
x2
2 x 4  1 dx
10. Дать определение градиента и производной по направлению. Записать формулу для вычисления производной по направлению через
градиент функции. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности xy  z  xz  1 , параллельной плоскости x  2 z  y .
11. Дать определение первообразной и неопределенного интеграла. Вывести формулу для нахождения обема тела вращения криволинейной
трапеции вокруг оси OX. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
2
y  x , y  2 x , x  4 вокруг оси OX.
12. Дать определение тройного интеграла. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферической системе координат. Вычислить
массу тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
Заведующий кафедрой математики
z  x 2  y 2 , z  6  x 2  y 2 , если объемная плотность равна z.
Б.Г. Разумейко
Поле ответа