Кратные интегралы 7

7. Найти длину дуги полукубической параболы у2 = х3
от начала координат до точки (4, 8).
5.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 6 вычислить интегралы.
1. 
Г
dl
1
, где Г – отрезок прямой у = х - 2, заклюxy
2
ченный между точками А (0, -2) и В (4, 0).
Ответ.
2. 
Г
Ответ.
dl
х 2  у2  4
5 ln 2.
, где Г – отрезок прямой, соединяющий
точки О (0, 0) и А (1, 2).
53
.
2
Ответ. ln
3.  х у d l , где Г – контур прямоугольника с вершинами
Г
О (0, 0), A (4, 0), B (4, 2), C (0,2).
Ответ. 24.
4.  2у d l , где Г – первая арка циклоиды х = a (t – sin t),
8
(10
27
8. Найти длину кардиоиды r = a (1 + cos ).
Ответ. 8 а.
9. Найти длину петли линии x = t2, y = t -
Ответ. 4  а
Ответ.
1
(х22 + 1) х 2 2  1 - (х22 + 1)
3
6.  ( х  у ) d l , где Г – окружность х2 + у2 = а х.
Г
 а2
2
2
х 1  1 ].
11. Найти массу первого витка винтовой линии
х = а сos t, y = а sin t, z = b t, плотность которой в каждой
точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.
Ответ.
а 2  b2
8 3 2

2
 2 πa  π b  .
3


а.
х 2 у2
5.  х у d l , где Г – четверть эллипса 2  2 = 1, лежаа
b
Г
а b ( a 2  ab  b 2 )
щая в первом квадранте.
Ответ.
.
3 ( a  b)
Ответ.
t3
.
3
Ответ. 4 3 .
10. Найти массу участка линии у = ln x между точками с
абсциссами х1 и х2, если плотность линии в каждой точке
 (х) = х2.
Г
y = a (1 – cos t).
10 - 1).
.
5.4. Варианты проверочной работы
Вариант 1
1. Найти массу дуги окружности х = cos t, y = sin t
(0  t  ), если линейная плотность ее в каждой точке равна у.
2. Найти длину отрезка прямой у = 2 – х от точки
А (3, -1) до В (0, 2).
Вариант 2
1. Найти длину отрезка прямой у =
х
+ 1 от точки
2
А (2, 2) до В (4, 3).
2. Найти массу дуги окружности x = R cos t, y = R sin t,
0t
π
, если линейная плотность ее в каждой точке равна х.
2
Вариант 3
Вариант 7
3
2
1. Найти длину полукубической параболы y = (х  1) ,
если x  [-1, 4].
2. Найти массу участка линии x = t, y =
1. Найти длину первого витка винтовой линии х = 2 cos t,
у = 2 sin t, z = t, 0  t  2 .
2. Найти массу окружности х2 + у2 = ах, если плотность
 = у.
t  [0, 1], а плотность  = х +
х
+ 1 от точки
2
A ( 0, 1) до точки B (4, 3), если плотность  = х + 3у.
2. Найти длину окружности х2 + у2 = ау.
Вариант 5
π

1. Найти длину линии r = sin3 , если   0,  .
3
 2
2. Найти массу участка кривой x = t, y =
3t2
6
, z = t3 ,
если t = [0, 1], а плотность  = x + z.
Вариант 6
1. Найти длину астроиды x = a cos3 t, y = a sin3 t.
1 2
t , если
2
2у .
Вариант 8
1. Найти длину участка линии х =
Вариант 4
1. Найти массу отрезка прямой у =
2. Найти массу отрезка прямой х + у = а, заключенного
между координатными осями, если плотность  = х у.
1 3
t – t, y = t2 + 2,
3
если t  [0, 3].
2. Найти массу правого лепестка лемнискаты
r2 = a2 cos 2 , если плотность  = х + у.
Вариант 9
1. Найти длину первой арки циклоиды x = a (t – sin t),
y = a (1 – cos t).
2. Найти массу дуги параболы у2 = 2 р х, отсеченной параболой х2 = 2 р у, если плотность  = у.
Вариант 10
1. Найти длину участка линии х =
1 2 1
у - ln y, если
4
2
у  [1, е].
2. Найти массу четверти эллипса x = a cos t, y = b sin t,
если плотность  = ху.
ТЕМА 6. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
ВТОРОГО РОДА
6.1. Теоретические сведения
I. Криволинейный интеграл 2-го рода
 Р (х, у) dx + Q (x, y) dy также вычисляется сведением к опре-
L
деленному интегралу. Для этого необходимо, так же как и в
интегралах 2-го рода, в подынтегральном выражении
Р (x, y) dx + Q (x, y) dy перейти к одной переменной.
II. Если требуется вычислить криволинейный интеграл
по замкнутому контуру L  P (x, y) dx + Q (x, y) dy, то испольL
зуют формулу Грина
 Q  P 

 dx dy.
 P (x, y) dx + Q (x, y) dy =  
y 
D  x
L
Т.е. криволинейный интеграл сводится к двойному интегралу
по области D, ограниченной контуром L.
Криволинейный интеграл 2-го рода, в отличие от криволинейного интеграла 1-го рода, зависит от направления интегрирования. При смене направления на противоположное интеграл меняет знак.
6.2. Рекомендации по решению типовых задач
Пример 1. Вычислить  х 2 dx  ху dy , где Г – часть
в первой четверти у  0. Найдем dy: dy = -
x dx
R2  x2
. После
подстановки у и dy под знак интеграла подынтегральная
функция будет зависеть только от х, а пределы интегрирования по х, учитывая, что интегрирование ведется против часовой стрелки будут R и 0. Таким образом,
0
2
2
 х dx  ху dy =  x dx +
Г
x
R
5
 3

2

х
2x 
2
=  (x - х х ) dx =  

5 
R
 3


0

x
R 2  x 2   
R2  x2

0
R
=

 dx =


1 2
R (6 R - 5 R).
15
Пример 2. Применяя формулу Грина, показать, что криволинейный интеграл  (6xу  5y) dx + (3х2 + 5х) dy по любоГ
му замкнутому контуру равен нулю.
Решение. Функции P (x, y) и Q (x, y) из формулы Грина
у нас имеют вид:
P (x, y) = 6 ху + 5у,
Q (x, y) = 3х2 + 5х.
P
Q
= 6 х + 5,
= 6 х + 5.
y
x
Тогда  (6xу  5y) dx + (3х2 + 5х) dy =
Поэтому
Г
=  [(6x  5) - (6х - 5)] dx dy =  0 dx dy = 0.
D
D
Г
окружности х2 + у2 = R2, пробегаемая против часовой стрелки,
лежащая в I четверти.
Решение. Из уравнения окружности х2 + у2 = R2 выразим у: y = + R 2  x 2 . Перед корнем поставлен знак плюс, т.к.
6.3. Задачи для самостоятельного решения
В задачах 1 – 3 вычислить криволинейные интегралы.
1.  ( х 2  у 2 ) dх , где Г – дуга параболы у = х2 от точки
А =  P dx + Q dy.
Г
О (0, 0) до точки A (2, 4).
Ответ. -
56
.
15
Г
х
у
+ = 1, проходимый против
2
3
движения часовой стрелки.
3. 
Г
7.1. Теоретические сведения
Ответ. 3.
dx - dy
, где Г – контур квадрата с вершинами
xy
A (1, 0), B (0, 1), C (-1, 0), D (0, -1).
Ответ. – 4.
4. Применяя формулу Грина, вычислить
2
2
 2 (x  y ) dx + (х + у) dy, где Г – контур треугольника с
2
Г
вершинами A (1, 1), B (2, 2), C (1, 3).
Ответ. -
4
.
3
5. Вычислить  (x y  х  у) dx + (ху + х – у) dy, где Г –
Г
окружность х2 + у2 = а х, двумя способами: 1) непосредственно; 2) с помощью формулы Грина.
Ответ. -
πа
8
L
4
17
3
; 2)
; 3) ; 1.
3
2
12
ТЕМА 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНОГО
ИНТЕГРАЛА
2.  х dу , где Г – контур треугольника, образованного
осями координат и прямой
Ответ. 1)
3
6. В каждой точке плоскости на материальную точку
действует сила F , проекции которой на оси координат равны
Р = х у, Q = х + у. Вычислить работу силы F при перемещении точки из начала координат в точку (1, 1) : 1 ) по прямой
у = х ; 2) по параболе у = х2 ; 3) по двузвенной ломаной, стороны которой параллельны осям координат (два случая).
Указание: работа находится по формуле
При помощи двойного интеграла можно вычислять площадь не только плоской фигуры, но и произвольной поверхности. Рассмотрим некоторую поверхность Q, уравнение которой задано в декартовых координатах: z = f (x, y). Считаем
поверхность Q такой, что прямая, параллельная оси Оz, пересекает эту поверхность не более чем в одной точке. Обозначим
через D проекцию поверхности Q на плоскость хоу. Пусть в
области D функция f (x, y) непрерывна сама и имеет непрерывные частные производные fх (x, y) и fу (x, y). Это означает, что в каждой точке поверхности Q существует непрерывно
изменяющаяся касательная плоскость и перпендикулярная ей
прямая – нормаль к поверхности. Такая поверхность называется гладкой.
Тогда площадь криволинейной гладкой поверхности вычисляется по формуле
Q =  1  (z x ) 2  (z y ) 2 dS.
D
Если поверхность задана уравнением у =  (x, z) и не
более чем в одной точке пересекается прямой, параллельной
оси Оу, то эту поверхность нужно проектировать на плоскость
хоz, и ее площадь
Q =  1  (уx ) 2  (у z ) 2 dS, где D = прxoz Q.
D