А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я Г Е О М Е Т Р И Я прямая и плоскость в

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
прямая и плоскость в пространстве
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург — 2013г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
1 / 10
Уравнение плоскости, проходящей через точку и компланарной
двум неколлинеарным векторам
В общей ДСК уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и
компланарной двум неколлинеарным векторам a1 и a2 представляется в
виде
x − x0
l1
l2
y − y0
m1
m2
z − z0
n1
n2
= 0,
где (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 , (l1 ; m1 ; n1 ) и (l2 ; m2 ; n2 ) – соответственно
координаты векторов a1 и a2 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
2 / 10
Общее уравнение плоскости
В общей ДСК плоскость выражается уравнением первой степени:
Ax + By + Cz + D = 0.
Замечание
1
Вид уравнения следует из предыдущего,
2
Вектор n(A; B; C) называется главным вектором плоскости. В случае
ДПСК является нормальным вектором плоскости.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
3 / 10
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой в векторной форме:
r = r 0 + ua1 + va2 ,
u ∈ (−∞; +∞), v ∈ (−∞; +∞),
где r – радиус-вектор точек плоскости, r 0 – радиус-вектор точки M0 , a1 и a2 –
векторы компланарные искомой плоскости и неколлинеарные между собой.
Параметрическое уравнение прямой в скалярной форме:

 x = x0 + ul1 + vl2 ,
y = y0 + um1 + vm2 ,

z = z0 + un1 + vn2 ,
u ∈ (−∞; +∞), v ∈ (−∞; +∞),
где (x; y; z) – координаты точек плоскости, (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 ,
(l1 ; m1 ; n1 ) и (l2 ; m2 ; n2 ) – соответственно координаты векторов a1 и a2 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
4 / 10
Уравнение прямой, проходящей через две точки и компланарной
данному вектору
Уравнение прямой проходящей через две точки M1 , M2 и компланарной
вектору a
x − x1
x2 − x1
l
y − y1
y2 − y1
m
z − z1
z2 − z1
n
= 0,
где (x1 ; y1 ; z1 ) и (x2 ; y2 ; z2 ) – соответственно координаты точек M1 и M2 , (l; m; n)
– координаты вектора a.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
5 / 10
Уравнение плоскости, проходящей через три точки не лежащие
на одной прямой
Уравнение плоскости, проходящей через три точки M1 , M2 , M3 не
лежащие на одной прямой
x − x1
x2 − x1
x3 − x1
y − y1
y2 − y1
y3 − y1
z − z1
z2 − z1
z3 − z1
= 0,
где (x1 ; y1 ; z1 ), (x2 ; y2 ; z2 ), (x3 ; y3 ; z3 ) – соответственно координаты точек M1 , M2 ,
M3 .
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
6 / 10
Уравнение плоскости в отрезках
В общей ДСК
x
y
z
+ + = 1,
a
b
c
где плоскость не проходит через начало системы координат и пересекает её оси в
точках с координатами: Ox в (a; 0; 0), Oy в (0; b; 0), Oz в (0; 0; c).
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
7 / 10
Каноническое уравнение прямой
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку M0 с
направляющим вектором a
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
,
l
m
n
где (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 через которую проходит прямая, (l; m; n)
– координаты направляющего вектора a.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
8 / 10
Параметрическое уравнение прямой
Параметрическое уравнение прямой в векторной форме
r = r 0 + ta,
t ∈ (−∞; +∞),
где r – радиус-вектор точек прямой, r 0 – радиус-вектор точки M0 , a –
направляющий вектор прямой.
Параметрическое уравнение прямой в скалярной форме

 x = x0 + tl,
y = y0 + tm,

z = z0 + tn,
t ∈ (−∞; +∞),
где (x; y; z) – координаты точек прямой, (x0 ; y0 ; z0 ) – координаты точки M0 ,
(l; m; n) – координаты направляющего вектора прямой a.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2013г.
9 / 10
Уравнение прямой проходящей через две точки
Уравнение прямой проходящей через две точки M1 и M2
y − y1
z − z1
x − x1
=
=
,
x2 − x1
y2 − y1
z2 − z1
где (x1 ; y1 ; z1 ), (x2 ; y2 ; z2 ), – соответственно координаты точек M1 и M2 .
В параметрическом виде

 x = x1 + t(x2 − x1 ),
y = y1 + t(y2 − y1 ),

z = z1 + t(z2 − z1 ),
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
t ∈ (−∞; +∞).
2013г.
10 / 10