Посмотреть решение

Решение.
1) Уравнение плоскости, проходящей через точки Ax1 , y1 , z1 , Bx2 , y2 , z2 , C x3 , y3 , z3  , имеет вид
x  x1
y  y1
z  z1
x2  x1
y2  y1
z2  z1  0 .
x3  x1
y3  y1
z3  z1
x 1
y2
z 1
x 1 y  2 z 1
Тогда уравнение плоскости ABC имеет вид  3  1  2  2 1  1  0 или  2
1 1
02
3 1
0
0
2  0.
2
4
Запишем полученное уравнение в общем виде, то есть в виде Ax  By  Cz  D  0 . Для этого
раскроем определитель по первой строке: x  1(0  4)   y  2 8  0  z  1 4  0  0 . После
преобразований получим: x  2 y  z  2  0 .
2) Уравнение плоскости,
Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0 .
Подставим
в
уравнение
Ax  3  B y 1  Cz  5  0 .
проходящей
через
точку
Ax  x0   B y  y0   C z  z0   0
M 0 x0 , y0 , z0  ,
координаты
имеет
точки
вид
D 3;1;5 :
Условие параллельности плоскостей A1x  B1 y  C1z  D1  0 и A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 имеет вид
A1 B1 C1


. Так как искомая плоскость и плоскость ABC параллельны, то в качестве нормального
A2 B2 C2
вектора N искомой плоскости можно взять нормальный вектор N1  1;2;1 плоскости ABC , то есть
A
B
C
A
B C


в формуле 1  1  1 отношение
можно принять равным единице. Следовательно,
1 2 1
A2 B2 C2
уравнение искомой плоскости примет вид 1 x  3  2 y 1  1 z  5  0 . Запишем это уравнение в
общем виде: x  2 y  z  0 .
3) Уравнения прямой, проходящей через точки M1 x1, y1, z1  и M 2 x2 , y2 , z2  , имеют вид:
x  x1
y  y1
z  z1


.
x2  x1 y2  y1 z2  z1
x  x1
y  y1
z  z1


получим уравнения прямой
x2  x1 y2  y1 z2  z1
x 1
y  2 z 1
x 1 y  2 z 1
AD :




или
.
 3 1 1 2 5 1
2
3
6
Так как A 1;2;1, D 3;1;5 , то в силу
4) Канонические уравнения прямой имеют вид
координаты точки, через которую проходит прямая.
x  x0 y  y0 z  z0
. Здесь


p
q
r
x0 , y0 , z0 
-
В канонические уравнения искомой прямой подставим координаты точки B 3;2;1 . Получим
x  3 y  2 z 1
.


p
q
r
Условие параллельности прямых
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y2 z  z2




и
имеет вид
p1
q1
r1
p2
q2
r2
p1 q1 r1

 .
p2 q2 r2
Так как искомая прямая и прямая AD параллельны, то в качестве направляющего вектора s
искомой прямой можно взять направляющий вектор s1   2;3;6 прямой AD , то есть в формуле
p
q r
p1 q1 r1
 


отношение
можно принять равным единице. Следовательно, уравнение
2 3 6
p2 q2 r2
x  3 y  2 z 1


искомой прямой примет вид
.
2
3
6
x 1 y  2 z 1


координаты направляющего вектора s1  p1 , q1 , r1
2
3
6
определяются равенствами p1  2; q1  3; r1  6 .
5) Для прямой AD :
 x  3t  2

Для прямой  y  2t  1
координаты направляющего . вектора s2  p2 , q2 , r2  определяются
 z  2t  1

равенствами p2  3; q2  2; r2  2 .
Угол  между двумя прямыми представляет собой угол между их направляющими векторами
p1 p2  q1q2  r1r2
s1  p1 , q1 , r1 и s2  p2 , q2 , r2  , и определяются равенством cos  
.
p12  q12  r12  p22  q22  r22
Значит, cos  
 2  3  3  2  6   2
 22  32  62  32  22   22

 6  6  12

4  9  36  9  4  4
 12
12

.
49  17
7 17
x  x0 y  y0 z  z0
и плоскостью Ax  By  Cz  D  0 определяется


p
q
r
Ap  Bq  Cr
.
2
A  B2  C 2  p2  q2  r 2
6) Угол  между прямой
формулой sin  
нормального вектора N  A, B, C
x 1 y  2 z 1


определяются равенствами A  1; B  2; C  1. Для прямой AD :
координаты
2
3
6
направляющего вектора s  p, q, r определяются равенствами p  2; q  3; r  6 . Синус угла
между плоскостью ABC и плоскостью AD равен
Для
плоскости
ABC : x  2 y  z  2  0
координаты
sin  
1   2   2  3  1  6
1   2  1 
2
2
2
 2
2
3 6
2
2

266
2
2


1  4  1  4  9  36
6  49
7 6