векторная алгебра и аналитическая геометрия
advertisement
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ДРУЖБЫ НАРОДОВ
Е. И. Галахов, О. А. Салиева
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Москва 2009
1
Галахов Е. И., Салиева О. А. Векторная алгебра и аналитическая геометрия: учеб. пособие. М.: РУДН, 2008.
В учебном пособии рассматриваются основные понятия
векторной алгебры и аналитической геометрии (векторы,
операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение, прямые на плоскости, прямые и плоскости в пространстве, кривые второго порядка). Приводятся
соответствующие определения и примеры решения задач, а
также задачи для самостоятельного решения.
Для студентов первого курса факультета физико-математических и естественных наук РУДН, обучающихся по
направлению “Химия”.
2
I семестр
В первом семестре параллельно изучаются разделы “Аналитическая геометрия” и “Математический анализ”. По разделу “Аналитическая геометрия” проводится коллоквиум,
по разделу “Математический анализ” – экзамен.
Аналитическая геометрия
План лекций (14 часов = 7 лекций, коллоквиум)
Введение
Лекция 1. Предмет и основной метод аналитической геометрии. Прямоугольная система координат и прямоугольные координаты точки на плоскости и в пространстве. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в данном отношении (на
прямой, в плоскости и в пространстве). Координаты середины отрезка. Полярная система координат, полярные координаты точки и их связь с прямоугольными координатами. Пример: уравнение окружности. Уравнение линии на
плоскости, явное и неявное уравнения. Пример на построение кривой, заданной уравнением в полярной системе координат: спираль Архимеда. Уравнения (закон) движения
точки на плоскости. Параметрические уравнения линии на
плоскости. Параметрические уравнения окружности.
Лекция 2. Квадратные матрицы и определители 2-го и
3-го порядков. Свойства определителей: теорема о транспонировании, кососимметричность, полилинейность относительно строк (столбцов), достаточные условия равенства
нулю и инвариантности, теорема о разложении по строке
(столбцу), теорема об умножении на чужие алгебраические
дополнения. Вычисление определителей n-го порядка.
3
Векторная алгебра
Лекция 3. Вектор AB, его точка приложения, длина (модуль) и направление. Равенство векторов. Нулевой вектор.
Линейные операции над векторами и их свойства. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности двух векторов.
Компланарные векторы. Разложение вектора на плоскости
и в пространстве. Базис и координаты вектора. Ортонормированный базис и прямоугольные координаты вектора.
Линейные операции в координатной форме. Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме. Проекция вектора на ось и на вектор. Теоремы о проекциях.
Прямоугольные координаты вектора как его проекции на
оси. Радиус-вектор точки и его координаты. Координаты
вектора AB. Выражение длины и направляющих косинусов вектора через его координаты.
Лекция 4. Скалярное произведение двух векторов, его
механический смысл. Скалярный квадрат вектора. Выражение длины вектора, косинуса угла между векторами и
проекции вектора на вектор (на ось) через скалярное произведение. Условие ортогональности двух векторов. Свойства
скалярного произведения. Скалярное произведение в координатной форме. Правая и левая тройки векторов. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное
произведение в координатной форме. Смешанное произведение трех векторов. Условие компланарности трех векторов. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения. Смешанное произведение в координатной
форме. Свойства смешанного произведения.
Аналитическая геометрия
Лекция 5. Прямая линия на плоскости: угловой коэффициент, направляющий и нормальный векторы. Уравнения
4
прямой: векторное; параметрическое; каноническое (проходящей через данную точку с данным направляющим вектором); вертикальной; горизонтальной; проходящей через
данную точку с данным угловым коэффициентом; проходящей через две данные точки; проходящей через данную
точку с данным нормальным вектором; общее. Линейность
уравнений прямой. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Угол между прямыми.
Лекция 6. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором. Общее уравнение плоскости. Линейность уравнений плоскости. Уравнения прямой в пространстве: векторное, параметрические,
канонические, общие. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых (кратко: исследуется с помощью нормальных и направляющих векторов).
Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, параметрические уравнения.
Лекция 7. Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты. Парабола: определение, вывод канонического уравнения. Формулы преобразования прямоугольных
координат на плоскости. Частные случаи: параллельный
перенос системы координат, поворот. Кривые 2-го порядка.
План практических занятий (14 часов = 7 занятий)
Контрольные мероприятия:
1) контрольная работа “Геометрия”;
2) коллоквиум.
Занятие 1. Простейшие задачи аналитической геометрии: расстояние между двумя точками, деление отрезка в
данном отношении. Координаты середины отрезка. Координаты точки пересечения медиан (центра масс) треуголь5
ника. Уравнение окружности. Неявное уравнение линии на
плоскости.
Занятие 2. Полярная система координат, полярные координаты точки и их связь с прямоугольными. Построение
кривой в полярной системе координат. Параметризованная
кривая на плоскости xy и ее построение. Задача параметризации кривой.
Занятие 3. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Разложение определителя по строке (столбцу).
Использование свойств определителя при вычислении. Методы вычисления определителей n–го порядка.
Занятие 4. Линейные операции над векторами. Базис и
координаты вектора. Линейные операции в координатной
форме. Скалярное произведение двух векторов и его свойства. Условие ортогональности двух векторов. Нахождение
длины вектора, угла между векторами и проекции вектора
на вектор с помощью скалярного произведения. Механический смысл скалярного произведения.
Занятие 5. Векторное произведение двух векторов и его
свойства. Геометрический смысл модуля векторного произведения, направление векторного произведения. Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения.
Условие компланарности трех векторов.
Занятие 6. Различные виды уравнений прямой на плоскости: параметрическое; каноническое (проходящей через
данную точку с данным направляющим вектором); вертикальной; горизонтальной; проходящей через данную точку
с данным угловым коэффициентом; проходящей через две
данные точки; проходящей через данную точку с данным
нормальным вектором; общее. Расстояние от точки до прямой. Условия параллельности и перпендикулярности двух
6
прямых. Угол между прямыми.
Занятие 7. Плоскость и прямая в пространстве. Уравнение плоскости: проходящей через данную точку с данным нормальным вектором; проходящей через данную точку параллельно двум данным неколлинеарным векторам;
проходящей через три данные точки; общее. Взаимное расположение двух плоскостей (параллельность, перпендикулярность, угол и расстояние между плоскостями). Уравнения прямой в пространстве: параметрические, канонические, через данные две точки, общие. Взаимное расположение прямой и плоскости, двух прямых (параллельность,
перпендикулярность, угол).
Программа КР “Геометрия”
Теория
Расстояние между двумя точками и деление отрезка в
данном отношении (на плоскости и в пространстве). Координаты середины отрезка. Координаты точки пересечения
медиан (центра масс) треугольника.
Определители второго и третьего порядка. Разложение
определителя по строке (столбцу).
Векторы и линейные операции над ними. Коллинеарные
и компланарные векторы.
Ортонормированный базис и прямоугольные координаты вектора. Линейные операции и условие коллинеарности
двух векторов в координатной форме. Проекция вектора на
ось. Прямоугольные координаты вектора как его проекции
на оси.
Радиус-вектор точки и его координаты. Координаты вектора AB. Выражение длины и направляющих косинусов
вектора через его координаты.
7
Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
Выражение длины вектора, косинуса угла между векторами и проекции вектора на вектор через скалярное произведение. Условие ортогональности двух векторов. Скалярное
произведение в координатной форме.
Векторное произведение двух векторов и его свойства.
Векторное произведение в координатной форме. Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения. Условие компланарности трех векторов. Смешанное произведение в координатной форме. Свойства смешанного произведения.
Уравнения прямой на плоскости xy: параметрические;
каноническое (проходящей через данную точку с данным
направляющим вектором); параллельной оси x (y); проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом; проходящей через две данные точки; проходящей через данную точку с данным нормальным вектором; общее.
Расстояние от точки до прямой (на плоскости xy).
Уравнения плоскости: проходящей через данную точку с
данным нормальным вектором; общее. Расстояние от точки
до плоскости.
Уравнения прямой в пространстве: параметрические, канонические (проходящей через данную точку с данным направляющим вектором), общие.
Взаимное расположение двух прямых (на плоскости и в
пространстве), двух плоскостей, прямой и плоскости.
Тренировочные варианты на уровень A
Вариант 1
1. Какие векторы называются компланарными?
8
2. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (1, 1, −2) параллельно оси z. (Ответ: x = 1, y = −1, z = 2 + t.)
3. Найти проекцию вектора с координатами (4, −2, −4)
на вектор (6, 3, −2).
(Ответ: 22/7.)
4. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
(−1, 2) параллельно прямой 2x − y + 1 = 0. (Ответ:
2x − y + 4 = 0.)
5. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку (2, 0, −3) параллельно прямой x =
−2 + t, y = 2t, z = 1 − 12 t.
(Ответ: x−2
= y4 = z+3
.)
2
−1
Вариант 2
1. Определение векторного произведения двух векторов.
2. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
(Ответ:
Ax + By + Cz = 0.)
3. Найти векторное произведение векторов (3, −1, 2) и
(1, 2, −1).
(Ответ: (−3, 5, 7).)
4. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку (1, 1, 1) параллельно плоскости 2x − y + z −
1 = 0.
(Ответ: 2x − y + z − 2 = 0.)
5. Проверить, компланарны ли векторы a = 2i + j − 3k,
b = 3i − 2j + 2k, c = i − 4j + k.
(Ответ: нет.)
Вариант 3
1. Условие ортогональности двух векторов.
9
2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
(1, −2) с нормальным вектором (3, −1).
(Ответ:
3x − y − 5 = 0.)
3. Найти угол между векторами (4, −2, −4) и (6, −3, 2).
11
(Ответ: arccos 21
.)
4. Написать уравнение высоты CD в треугольнике с вершинами A(1, 2), B(2, −2), C(6, 1).
(Ответ:
x − 4y − 2 = 0.)
5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку (1, −1, 2) перпендикулярно плоскости 2x−z +3 = 0.
(Ответ: x−1
= y+1
= z−2
.)
2
0
−1
Тренировочные варианты на уровни B, C
Вариант 1
1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (2, −1, 1) перпендикулярно плоскостям 2x−y +3z −
5 = 0 и x + 2y + z = 0. (Ответ: 7x − y − 5z − 10 = 0.)
2. Найти длину медианы AD в треугольнике с вершинами A(3, 1, −5), B(4, 2, −5), C(−4, 0, 3).
(Ответ:
7.)
Вариант 2
1. Составить
√ уравнение прямой, проходящей через точку
A(−1, √
3) и образующей угол 120 градусов с осью x.
(Ответ: 3x + y = 0.)
2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через вершину C треугольника ABC перпендикулярно
стороне AB, где A(1, 2, 1), B(−1, 3, 0), C(2, 0, 4). (Ответ: 2x − y + z − 8 = 0.)
10
Вариант 3
1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения медиан треугольника ABC, где A(0, 1, 1),
B(−1, 2, 0), C(3, 0, 1), параллельно плоскости zx. (Ответ: y − 1 = 0.)
2. Вычислить площадь треугольника с вершинами A(1,
√ 1, 1),
B(2, 3, 4), C(4, 3, 2).
(Ответ: 2 6.)
1
Простейшие задачи аналитической
геометрии
1. Расстояние между двумя точками.
Определение 1.1. В пространстве (пространстве Oxyz, или
просто xyz, где x, y, z – прямоугольные координаты) расстояние
M1 M2 между точками M1 (x1 , y1 , z1 ) и M2 (x2 , y2 , z2 ) находится
по формуле
p
(1.1)
M1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 .
Расстояние от точки M (x, y, z) до начала координат
p
OM = x2 + y 2 + z 2 .
(1.2)
На плоскости (плоскости Oxy, или просто xy)
p
M1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (M1 (x1 , y1 ), M2 (x2 , y2 )),
p
OM = x2 + y 2 (M (x, y)).
На прямой (оси Ox, или просто оси x) M1 M2 = |x2 − x1 |
(M1 (x1 ), M2 (x2 )), OM = |x| (M (x)).
Пример 1.1. На оси z найти точку, равноудаленную от точек A(1, −1, 4) и B(2, 1, 3).
11
Обозначим искомую точку через C, а ее аппликату через z.
Так как точка C лежит на оси z, то первые две ее координаты
равны нулю. По условию AC = BC. Вычисляя эти расстояния
по формуле (1.1), получаем
p
p
(0 − 1)2 + (0 − (−1))2 + (z − 4)2 = (0 − 2)2 + (0 − 1))2 + (z − 3)2 .
Это уравнение имеет единственное решение z = 2. Ответ: (0, 0, 2).
Решите эту же задачу для случая A(1, −1, 2), B(2, 1, 2) (ответ: ∅) и случая A(1, −2, 2), B(2, 1, 2) (ответ: все точки оси z).
Каков геометрический смысл полученных результатов?
Что можно сказать о координатах точки A, если
1. A – точка в пространстве xyz, лежащая на оси y?
2. A – точка на плоскости yz, лежащая на оси z?
3. A – точка в пространстве xyz, лежащая в плоскости
xz?
4. A – точка в пространстве xyz, лежащая в плоскости
xy?
5. Через точку A(−1, 3, 2) проведена прямая, параллельная плоскости xy и пересекающая ось z в точке B. Какие
координаты имеет точка B?
6. Какие координаты имеет проекция точки A(2, 2, 1) на
ось y?
Какие координаты имеет точка B, симметричная точке
7. A(1, −1, 3) относительно начала координат?
8. A(5, 0, 4) относительно плоскости xy?
9. A(1, −2, 3) относительно оси y?
10. A(1, 2, −3) относительно оси z?
Найти площадь квадрата, зная его
11. противоположные вершины A(−1, 1), B(2, 0).
12. смежные вершины A(−2, 1), B(1, 2).
12
Задачи повышенной сложности
Найти координаты точки M , лежащей
13. на оси x на расстоянии 5 от точки A(−2, 3);
14. на оси y на расстоянии 13 от точки A(5, −1);
15. на оси y и равноудаленной от точек A(1, 4, −7) и
B(5, 6, −5);
16. на оси z и равноудаленной от точек A(2, −2, 4) и
B(−2, 3, 5).
2. Деление отрезка в данном отношении.
Определение 1.2. Пусть C – внутренняя точка отрезка AB.
AC
Точка C делит отрезок AB в отношении λ, если
= λ.
CB
Координаты точки, делящей отрезок AB (где A(x1 , y1 , z1 ) и
B(x2 , y2 , z2 )) в отношении λ, находятся по формулам
x=
x1 + λx2
,
1+λ
y=
y1 + λy2
,
1+λ
z=
z1 + λz2
1+λ
(1.3)
(на плоскости xy – по первым двум, на оси x – по первой формуле).
Координаты середины отрезка AB (случай λ = 1) равны
x=
x1 + x2
,
2
y=
y1 + y2
,
2
z=
z1 + z2
.
2
(1.4)
Пример 1.2. Найти координаты точки пересечения медиан
треугольника с вершинами A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ), C(x3 , y3 , z3 ).
Обозначим точку пересечения медиан через M и найдем ее
абсциссу. Рассмотрим медиану CD. Точка D является серединой
2
отрезка AB. Поэтому абсцисса точки D равна x = x1 +x
2 . Точка
M делит медиану CD в отношении 2:1, считая от вершины C.
Это означает, что точка M делит отрезок CD в отношении λ =
2. Поэтому ее абсцисса равна
x=
2
x3 + 2 · x1 +x
x1 + x2 + x3
2
=
.
1+2
3
13
Аналогично находятся ордината и аппликата
точки M .
¶
µ
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 z1 + z2 + z3
,
,
.
3
3
3
Ответ:
Найти длину медианы AD треугольника с вершинами
17. A(1, −2, 4), B(−4, 2, 3), C(2, −4, 1).
18. A(3, −9), B(1, 4), C(−5, 2).
19. Найти центр масс треугольника с вершинами A(4, 2),
B(7, −2), C(7, 6).
20. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами A(1, 4), B(−5, 0), C(−2, −1).
21. Отрезок с концами A = (0, 0, 1), B = (3, −3, −5) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
22. Отрезок с концами A = (0, 1), B = (4, −7) разделен
на четыре равные части. Найти координаты точек деления.
Задачи повышенной сложности
23. Найти координаты точки C, симметричной точке
A(3, −1) относительно точки B(2, 1).
24. A(2, −3) – вершина параллелограмма, M (3, −1) –
точка пересечения его диагоналей. Найти координаты вершины, противоположной A.
4. Определители 2-го и 3-го порядка.
Определение 1.3. Квадратная таблица
µ
¶
a11 a12
A=
,
a21 a22
составленная из четырех действительных чисел, называется квадратной матрицей 2-го порядка.
14
Определение 1.4. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице A (или просто – определителем матрицы
A), называется число
¯
¯
¯ a11 a12 ¯
¯
¯ = a11 a22 − a12 a21 .
detA = ¯
a21 a22 ¯
Определение 1.5. Аналогично,
a11 a12
A = a21 a22
a31 a32
если
a13
a23
a33
– квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей
определителем 3-го порядка называется число
¯
¯
¯ a11 a12 a13 ¯
¯
¯
detA = ¯¯ a21 a22 a23 ¯¯ =
¯ a31 a32 a33 ¯
(1.5)
= a11 a22 a33 + a21 a32 a13 + a12 a23 a31 −
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
Определители 3-го порядка обычно вычисляются с использованием следующего правила Саррюса: одно из трех слагаемых,
входящих в правую часть (1.5) со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы A, каждое из двух
других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой
диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы, а
слагаемые, входящие в (1.5) со знаком минус, строятся таким
же образом, но относительно второй (побочной) диагонали.
Определитель 3-го порядка обладает следующими свойствами:
1. если строки матрицы определителя сделать столбцами с
теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится;
15
2. если все элементы строки (столбца) умножить на одно и
то же число, то определитель умножится на это число;
3. если переставить две строки (столбца) определителя, то
он изменит знак; в частности, если две строки определителя равны или пропорциональны друг другу, то он равен
нулю;
4. если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то
определитель равен сумме двух определителей, в первом
из которых в данной строке стоят первые, а во втором –
вторые слагаемые, тогда как все остальные строки (столбцы) в обоих определителях такие же, как в исходном.
Пример 1.3. Вычислить определитель 3-го порядка
¯
¯
¯ a+x x
¯
x
¯
¯
¯ x
¯.
b
+
x
x
¯
¯
¯ x
x
c+x ¯
По правилу Саррюса имеем: слагаемые со знаком плюс –
(a+x)(b+x)(c+x), x3 и x3 , со знаком минус – x2 (b+x), x2 (a+x)
и x2 (c + x). Складывая, получаем abc + x(ab + bc + ac).
Ответ: abc + x(ab + bc + ac).
Вычислить
определители
2-го порядка:
¯
¯
¯ −1 4 ¯
¯.
25. ¯¯
¯
−5
2
¯
¯
¯ a+b a−b ¯
¯.
26. ¯¯
¯
¯ a−b a+b ¯
¯ cos α − sin α ¯
¯.
27. ¯¯
¯
sin
α
cos
α
¯
¯
¯ 2 sin α cos α 2 sin2 α − 1 ¯
¯.
28. ¯¯
2 cos2 α − 1 2 sin α cos α ¯
16
Вычислить
определители
3-го порядка:
¯
¯
¯ 1 2 3 ¯
¯
¯
29. ¯¯ 4 5 6 ¯¯ .
¯ 7 8 9 ¯
¯
¯
¯
¯ 3 4
−5
¯
¯
¯
30. ¯ 2 −1 8 ¯¯ .
¯ 8 7
−2 ¯
¯
¯ 2
¯
¯ a + 1 ab
ac
¯
¯
2
¯.
¯
b + 1 bc
31. ¯ ab
¯
2
¯
¯ ac
bc
c
+
1
¯
¯
¯ sin α cos α 1 ¯
¯
¯
32. ¯¯ sin β cos β 1 ¯¯ .
¯ sin γ cos γ 1 ¯
Задачи повышенной сложности
Решить
уравнения:
¯
¯
¯ 2x x + 1 ¯
¯ = 0.
33. ¯¯
¯
−8
x
+
1
¯
¯
¯ 3
x
−x ¯¯
¯
−1 3 ¯¯ = 0.
34. ¯¯ 2
¯ x + 10 1
1 ¯
2
Виды уравнений линии на плоскости
1. Уравнение линии в прямоугольных координатах.
Определение 2.1. (Упорядоченная) пара чисел (x0 , y0 ) называется решением уравнения F (x, y) = 0, если при подстановке в уравнение x0 вместо x и y0 вместо y получается верное
числовое равенство. При этом говорят, что числа x0 , y0 удовлетворяют этому уравнению.
17
Определение 2.2. Уравнение F (x, y) = 0 называется уравнением данной линии на плоскости xy, если эта линия есть множество всех точек (геометрическое место точек) этой плоскости,
координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
Иногда из уравнения F (x, y) = 0 можно явно выразить y через x (однозначно). В результате получается уравнение y = f (x)
– явное уравнение линии на плоскости xy (уравнение графика
функции f ). F (x, y) = 0 – неявное уравнение линии на плоскости
xy.
Пример 2.1. Составить уравнение окружности радиуса r с
центром в точке C(a, b).
Рассмотрим произвольную точку M (x, y) плоскости. Точка
M
тогда, когда CM =
p лежит на окружности тогда и только
2
2
2
(x − a) + (y − b) = r, т.е. (x − a) + (y − b)2 = r2 .
Ответ:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 .
Даны линии: 1) 3x − 4y − 12 = 0, 2) x2 − 4x − y = 0, 3)
x + y 2 − 10x = 0. На какой из них лежит точка
35. A(1, −3)? 36. M (4, 0)?
2
Найти точку пересечения линий
37. 2x − 3y + 11 = 0 и 3x − y + 6 = 0.
38. x + 2y − 4 = 0 и 2x − y − 3 = 0.
Даны линии: 1) x2 − xy + 1 = 0, 2) 2x2 + |y| + y = 0, 3)
F (x2 , y 2 ) = 0. Какая из них симметрична относительно:
39. оси x?
40. оси y?
41. начала координат?
42. обеих координатных осей?
Построена линия F (x, y) = 0. Как построить линию
43. F (x + 1, y − 2) = 0?
44. F (x − 3, y + 5) = 0?
18
45. F (2x, y) = 0?
46. F (x, 3y) = 0?
Построить линию
47. x2 − y 2 = 0.
48. xy = 0.
49. xy + y 2 = 0.
50. x2 + xy = 0.
51. |x| − |y| = 1.
52. |x| + |y| = 1.
53. x2 + y 2 = 1.
54. x2 + y 2 = 9.
55. (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9.
56. x2 + (y + 3)2 = 4.
Составить уравнение окружности:
57. радиуса 3 с центром в точке C(−2, 3);
58. радиуса 4 с центром в начале координат.
Задачи повышенной сложности
Построить линию
59. x2 + y 2 − 4y = 0.
60. x2 + y 2 + 6x = 0.
Составить уравнение окружности:
61. имеющей центр в точке C(−1, 2) и проходящей через
начало координат;
62. имеющей центр в точке C(2, −3) и проходящей через
точку M (1, 0).
2. Полярные координаты. Уравнение линии в полярных координатах.
Определение 2.3. Полярная система координат на плоскости задается некоторой точкой O этой плоскости (называемой полюсом) и исходящим из нее лучом (называемым полярной
осью).
19
Предполагается, что для измерения длин на плоскости выбран единичный отрезок и что выбрано положительное направление вращения на плоскости против часовой стрелки.
Определение 2.4. Полярными координатами точки M называются: r – длина отрезка OM (полярный радиус), ϕ – угол,
на который нужно повернуть полярную ось, чтобы она совпала
с лучом OM (полярный угол).
Для полюса O : r = 0, а полярный угол не определен. Для
точки M 6= O : r > 0, а полярный угол определен неоднозначно. Он имеет бесконечно много значений, общий вид которых:
ϕ + 2πn (n ∈ Z), где ϕ – одно из его значений (любое). Значение полярного угла, удовлетворяющее условию 0 ≤ ϕ < 2π,
называется главным.
Если на плоскости заданы прямоугольная система координат и полярная, причем полюс совпадает с началом координат,
а полярная ось – с положительной полуосью абсцисс, то для любой точки M 6= O ее прямоугольные координаты x, y и полярные
координаты r, ϕ связаны между собой формулами
x =p
r cos ϕ, y = r sin ϕ,
r = x2 + y 2 , tg ϕ = xy .
(2.1)
Уравнение линии в полярной системе координат имеет вид
F (r, ϕ) = 0 или r = f (ϕ). Координатную сеть образуют окружности с центром в полюсе (r = a, a > 0) и лучи с вершиной в
полюсе (ϕ = b, b ∈ R).
Пример 2.2. Составить уравнение спирали Архимеда и построить ее.
Спиралью Архимеда называется кривая, описываемая точкой M при ее равномерном движении по равномерно вращающемуся лучу. Предполагается, что луч вращается вокруг своей
неподвижной вершины O и что в начальный момент движения
M = O. Определение спирали Архимеда подсказывает, что для
20
вывода ее уравнения наиболее удобно выбрать полярную систему координат, приняв за полярную ось начальное положение луча. Так как оба движения, в которых участвует точка M , равномерны, то расстояние от точки M до полюса O пропорционально
углу поворота ϕ вращающегося луча. Таким образом, уравнение
спирали Архимеда в полярных координатах имеет вид r = aϕ,
где a 6= 0 – некоторая постоянная. Если луч вращается в положительном направлении, то a > 0.
Пример 2.3. Определить вид и расположение кривой r =
2 sin ϕ.
Умножим уравнение на r : r2 = 2r sin ϕ. В прямоугольных
координатах это уравнение имеет вид (см. формулы (2.1)): x2 +
y 2 = 2y, или x2 +(y−1)2 = 1. Это уравнение окружности радиуса
1 с центром в точке (0, 1).
Построить точку (r, ϕ) и найти ее прямоугольные координаты:
63. (2, π3 ).
64. (3, π2 ).
65. (1, − π4 ).
66. (2, π).
Построить линию
67. r = 3.
68. r = 1.
69. ϕ = − π3 .
70. ϕ = π4 .
71. ϕ = 5π.
72. ϕ = −5π.
73. r = sin3 ϕ .
74. r + 2ϕ = 0.
21
3. Параметрические уравнения линии.
Определение 2.5. Уравнения
½
x = ϕ(t),
(t ∈ I),
y = ψ(t)
(2.2)
где I – промежуток, называются параметрическими уравнениями данной линии на плоскости xy, если эта линия есть множество всех точек этой плоскости, координаты x, y каждой из
которых вычисляются по формулам (2.2) при некотором t ∈ I
(другими словами, если точка M (ϕ(t), ψ(t)) “пробегает” эту линию, когда t “пробегает” I). Переменная t называется при этом
параметром. Линия, заданная параметрическими уравнениями,
называется параметризованной. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в пространстве xyz: к двум
уравнениям (2.2) добавляется третье z = χ(t).
В механике уравнения (2.2) называются уравнениями движения точки M (t – время). Они определяют закон движения
точки M . Они же определяют траекторию точки M и являются
параметрическими уравнениями этой траектории. Обратно, на
произвольную параметризованную линию (2.2) можно смотреть
как на траекторию точки M при ее движении по закону (2.2),
если такое движение возможно.
Пример 2.4. Составить параметрические уравнения окружности радиуса a с центром в точке C(x0 , y0 ).
Покажем сначала, что параметрические уравнения окружности радиуса a с центром в начале координат имеют вид
½
x = a cos t,
(t ∈ [0, 2π)).
(2.3)
y = a sin t
Действительно, во-первых, при любом t = t0 точка с координатами x = a cos t0 , y = a sin t0 лежит на окружности x2 + y 2 = a2 ,
так как (a cos t0 )2 + (a sin t0 )2 = a2 – верное числовое равенство.
22
Во-вторых, когда t пробегает промежуток [0, 2π), точка с координатами (2.3) пробегает всю эту окружность.
Заметим теперь, что линия
½
x = b + ϕ(t),
(t ∈ I)
y = c + ψ(t)
получается из линии (2.2) сдвигами на b вдоль оси x и на c
вдоль оси y (b, c ∈ R). Следовательно, параметрические уравнения окружности радиуса a с центром в точке C(x0 , y0 ) имеют
вид
½
x = x0 + a cos t,
(t ∈ [0, 2π)).
(2.4)
y = y0 + a sin t
Часто пишут уравнения (2.2), не указывая промежуток изменения параметра t. Обычно при этом предполагается, что t
принимает все допустимые значения.
Пример 2.5. Построить кривую
½
x = 1 − t4 ,
y = 1 + t2 .
Выражая t2 из второго уравнения и подставляя в первое,
получим уравнение x = 1 − (y − 1)2 . Это уравнение параболы (с
горизонтальной осью). Ее ветви направлены влево, а вершина
находится в точке (1, 1). Она пересекает ось x в точках (0, 0) и
(2, 2). Каждая точка нашей кривой лежит на этой параболе, но
для каждой из них y = 1 + t2 ≥ 1, и поэтому все они лежат на
верхней ветви параболы. Когда t пробегает R, точка (1−t4 , 1+t2 )
нашей кривой пробегает эту ветвь дважды.
75. Лежит ли точка A(1, 0, 1) на линии
x = cos(t + 1),
y = sin(t + 1),
z = t2 ?
23
76. Лежит ли точка A(4, 6) на линии
½
x = t2 ,
y = t − t3 ?
Найти точки пересечения линии
½
x = t2 − 4,
77.
y =t+1
с осью y.
½
x = t2 ,
78.
y = t − t3
с осью x.
Найти точку пересечения линии
x = sin t,
y = 3t,
79.
z = cos t
с плоскостью xz.
x = cos t,
y = sin t,
80.
z=t
с плоскостью xy.
81. Точка движется по закону
x = cos(t + 1),
y = sin(t − 1),
z = 6 − 2t.
В какой момент времени она окажется в плоскости xy?
82. Точка движется по закону
x = t − 5,
y = t2 + 1,
z = t − t3 .
24
В какой момент времени она окажется в плоскости yz?
Построена линия
½
x = ϕ(t),
y = ψ(t).
Как построить линию
½
x = ϕ(t) + 1,
83.
½ y = ψ(t) − 2?
x = ϕ(t − 2),
84.
½ y = ψ(t − 2)?
x = 3ϕ(t),
85.
½ y = ψ(t)?
x = ϕ(2t),
86.
½ y = ψ(2t)?
x = ϕ(−t),
87.
½ y = ψ(−t)?
x = −ϕ(t),
88.
y = −ψ(t)?
Написать параметрические уравнения кривой
89. r = ϕ.
90. r = 2ϕ .
Построить линию
½
x = t − 3,
91.
½ y = 4 − 2t.
x = 1 − t2 ,
92.
2
½ y = t +2 2.
x = 8(t − 1),
93.
½ y = 1 − 2t.
x = 1 − t2 ,
94.
y = 2t2 + 4t.
25
½
x = 1 − 3 sin t,
½ y = 2 + 3 cos t.
x = 1 + 2 cos t,
96.
y = −1 − 2 sin t.
95.
Задачи повышенной сложности
Построена линия
½
x = ϕ(t),
y = ψ(t).
Как построить линию
½
x = |ϕ(t)|,
97.
y
½ = ψ(t)?
x = −ϕ(t),
98.
y = ψ(t)?
Построить
линию
½
x = −| cos t|,
99.
½y = 1 + 2 sin t.
x = 3 sin t,
100.
y = 1 + | cos t|.
3
Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами. Базис и координаты вектора.
Определение 3.1. (Геометрическим) вектором называется направленный отрезок. Точка A называется началом вектора
AB, а точка B – его концом. Про вектор AB говорят, что он
приложен к точке A.
Определение 3.2. Длиной или модулем вектора AB называется длина отрезка AB (обозначается |AB|).
26
Определение 3.3. Говорят, что два вектора имеют одинаковые направления (противоположные направления), если они
лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону
(противоположные стороны).
Все одинаково направленные векторы определяют направление в пространстве. Про каждый из них говорят, что он имеет
это направление. Таким образом, вместо “векторы имеют одинаковые направления” можно говорить “векторы имеют одно и
то же направление” (и обратно).
Определение 3.4. Два вектора называются равными, если
они имеют одинаковые длины и одинаковые направления.
На равные векторы в геометрии смотрят как на один и тот
же вектор, который просто приложен к разным точкам. Такой
вектор называется свободным. Свободные векторы обозначаются через a, b, c, ... Чтобы показать, что свободный вектор a
приложен к точке A, пишут a = AB.
Определение 3.5. Вектор, у которого начало и конец совпадают: AA, BB, . . . , называется нулевым. Длина нулевого вектора считается равной нулю, а его направление не определяется
(можно считать, что оно какое угодно). Все нулевые векторы
считаются равными и рассматриваются как один нулевой свободный вектор. Его обозначают через 0.
Определение 3.6. Суммой двух векторов a и b называется
вектор a + b, который определяется по “правилу треугольника”:
OA + AB = OB (если a = OA, b = AB, то a + b = OB).
Определение 3.7. Произведением вектора a на число λ называется вектор λa, длина которого равна |λa| = |λ| · |a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если λ > 0, и
противоположно ему, если λ < 0.
Эти две операции – сложение и умножение вектора на число – называются линейными.
27
Определение 3.8. Вектор b = BA имеет ту же длину, что
и a = AB, но противоположное направление. Он называется
вектором, противоположным вектору a, и обозначается через
−a. Очевидно, что −a = −1 · a.
Свойства линейных операций – “обычные” (такие же, как
для чисел):
1. a + b = b + a,
2. (a + b) + c = a + (b + c),
3. a + 0 = a,
4. a + (−a) = 0,
5. λ(µa) = (λµ)a,
6. 1 · a = a,
7. λ(a + b) = λa + λb,
8. (λ + µ)a = λa + µa
для любых векторов a, b, c и чисел λ, µ.
Это позволяет сделать важный вывод: любое выражение, составленное из векторов и чисел с помощью линейных операций,
можно преобразовать по обычным алгебраическим правилам.
Определение 3.9. Векторы называются коллинеарными,
если они лежат на параллельных прямых или на одной и той
же прямой.
Если вектор a 6= 0, то любой коллинеарный ему вектор b
можно получить из a умножением на число: b = λa (это число
определено однозначно).
Определение 3.10. Векторы называются компланарными,
если они лежат в параллельных плоскостях или в одной и той
же плоскости.
28
Если векторы a и b неколлинеарны, то любой компланарный
с ними вектор c может быть разложен по этим векторам как
c = λa + µb, причем единственным образом.
Если векторы a, b, c некомпланарны, то любой вектор d в
пространстве может быть разложен по этим векторам в виде
d = λa + µb + νc, причем единственным образом.
Эти утверждения приводят к следующим определениям.
Определение 3.11. Про всякую тройку некомпланарных
векторов говорят, что она образует базис в пространстве. Базисом на плоскости называют всякую пару неколлинеарных векторов этой плоскости, а базисом на прямой – всякий ненулевой
вектор этой прямой. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе.
Координаты вектора в заданном базисе определены однозначно. Таким образом, вектор a имеет координаты x, y, z в базисе e1 , e2 , e3 тогда и только тогда, когда a = xe1 + ye2 + ze3 .
Это равенство записывается также в сокращенной форме a =
(x, y, z).
Линейные операции в координатной форме:
1) при сложении векторов их соответствующие координаты
складываются: если a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ), то a + b =
(x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 );
2) при умножении вектора на число каждая его координата
умножается на это число: если a = (x1 , y1 , z1 ) и λ ∈ R, то λa =
(λx1 , λy1 , λz1 ).
Условие коллинеарности двух векторов в координатной форме:
два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны.
В каждом из этих утверждений имеются в виду координаты
в некотором фиксированном базисе (любом).
Пример 3.1. SABCD – правильная четырехугольная пирамида. AB = a, AD = b, AC = c, SO – высота. SO =?
29
1
2 (a
SO = SA + AO = −AS + 21 AC = −c + 12 (a + b). Ответ:
+ b) − c.
Пример 3.2. ABC – треугольник. Точки P и Q лежат на
стороне AB. AB = 9AP = 3QB. Точка R лежит на стороне
BC, BC = 3RC. M – точка пересечения отрезков P R и CQ.
Доказать, что точка M делит отрезок CQ в отношении λ = 45 .
Обозначим через N точку, делящую отрезок CQ в отношении λ = 54 и докажем, что N = M . Для этого докажем, что
векторы P N и P R коллинеарны.
5
5
5
P N = P Q + QN = AB + QC = (AB + QB + BC) =
9
9
9
5
1
5 4
= (AB + AB + BC) = ( AB + BC).
9
3
9 3
8
2
2 4
P R = P B + BR = AB + BC = ( AB + BC).
9
3
3 3
Таким образом, векторы P N и P R коллинеарны, а тогда
N = M.
Пример 3.3. a, b, c – базис, p = a + b, q = b + c, r = c + a.
Доказать, что p, q, r – базис, и найти разложение вектора s =
2a + b − c по этому базису.
Построив параллелепипед на векторах a, b, c и затем векторы p, q, r, убеждаемся, что они некомпланарны, и, значит, образуют базис. Пусть s = λp + µq + νr. Подставив сюда выражения всех векторов через векторы a, b, c, получаем: a + b − c =
λ(a + b) + µ(b + c) + ν(c + a) = (λ + ν)a + (λ + µ)b + (µ + ν)c.
В силу единственности разложения вектора по базису отсюда
следует, что λ + ν = 4, λ + µ = 1, µ + ν = −1. Решая эту систему,
находим, что λ = 3, µ = −2, ν = 1. Ответ: s = 3p − 2q + r.
101. A и B – точки на окружности с центром O. При
каком условии OA = OB?
102. ABCD – параллелограмм. Равны ли векторы AB и
CD?
30
103. A и B – точки на окружности с центром O. При
каком условии OA + OB = 0?
104. ABCD – параллелограмм. Каково соотношение между векторами AB и CD?
105. ABCD – параллелограмм. AB = a, CB = b. DB =?
106. CA = a, CB = b. AB =?
ABCDEF – правильный шестиугольник, где AB = a и
BC = b.
107. BE =?
108. BD =?
109. CM = b − 2a. Определить положение точки M .
110. EM = a − 2b. Определить положение точки M .
ABCDA1 B1 C1 D1 – параллелепипед, в котором AB = a,
AD = b, AA1 = c.
111. BD1 =?
112. A1 C =?
113. LM = a − b + c, L и M – вершины. L =?
114. LM = a + b + c, L и M – вершины. L =?
115. На окружности с центром O выбрана точка A. Как
нужно выбрать точку B на окружности, чтобы OA и AB
были коллинеарны?
116. ABCD – параллелограмм. Среди всех ненулевых
векторов с началом и концом в вершинах назвать те, которые коллинеарны вектору AB.
117. a, b, c – базис. В каком из следующих случаев векторы образуют базис: 1) −c, 3b, a; 2) a, b, a−b+c; 3) a−b,
b − c, c − a; 4) a, b, 3a − 2b?
118. a, b – базис (в множестве всех векторов на плоскости). В каком из следующих случаев векторы образуют
базис: 1) a, −2b; 2) b, a; 3) a, b + a; 4) a, b, b + a; 5) a − b,
b − a?
31
119. Решив задачу 101, ответить на вопрос: чему равны
координаты вектора BD1 в базисе AB, AD, AA1 ?
120. Решив задачу 97, ответить на вопрос: чему равны
координаты вектора BE в базисе AB, BC?
121. (1, −4, 6) – координаты вектора p в базисе a, b, c;
e1 = −2b, e2 = a, e3 = 3c. Чему равны координаты вектора
p в базисе e1 , e2 , e3 ?
122. (1, 2) – координаты вектора c в базисе a, b; e1 = a,
e2 = a + b. Чему равны координаты вектора c в базисе e1 ,
e2 ?
123. (1, −2) и (2, −3) – координаты векторов a и b (соответственно) в некотором базисе. Чему равны координаты
вектора c = 3a − b в этом базисе?
124. (1, −4, 2) и (−2, 3, 1) – координаты векторов a и b
(соответственно) в некотором базисе. Чему равны координаты вектора c = 2a + b в этом базисе?
125. a = (−1, 3, 2), b = (0, 1, 1), c = (−2, 7, 5). Коллинеарны ли векторы a − c и b + c?
126. a = (1, −1, 2), b = (2, 1, 0), c = (4, −1, 4). Коллинеарны ли векторы a + b и b + c?
Задачи повышенной сложности
127. Векторы a − b и a + b коллинеарны. Доказать, что
векторы a и b коллинеарны.
128. Доказать, что каковы бы ни были векторы a, b, c,
векторы a − b, b − c, c − a компланарны.
Найти значения α и β, при которых векторы a и b коллинеарны:
129. a = (α, 4, −2), b = (3, β, 6).
130. a = (3, −1, α), b = (β, 2, −4).
2. Ортонормированный базис и прямоугольные координаты вектора.
32
Определение 3.12. Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным вектором или ортом. Единичный вектор, имеющий направление данной оси l (данного вектора a),
называется ортом оси l (ортом вектора a). Базис называется
ортонормированным, если он состоит из попарно перпендикулярных единичных векторов.
Орты осей x, y, z прямоугольной системы координат образуют ортонормированный базис и обозначаются через i, j, k соответственно.
Определение 3.13. Координаты вектора a в базисе i, j, k
называются прямоугольными координатами вектора a.
Как и в случае произвольного базиса, прямоугольные координаты вектора определены однозначно. Вектор a имеет координаты x, y, z в базисе i, j, k тогда и только тогда, когда a =
xi + yj + zk, что записывается также в сокращенной форме:
a = (x, y, z). Далее мы будем рассматривать только прямоугольные координаты вектора и поэтому будем называть их просто
координатами.
Определение 3.14. Проекцией точки M на ось l называется точка пересечения оси l с плоскостью, проходящей через
точку M перпендикулярно оси l. Составляющей вектора AB
по оси l называется вектор A1 B1 , где A1 и B1 – проекции точек
A и B на ось l.
Определение 3.15. Проекцией вектора a на ось l называется длина его составляющей по оси l, взятая со знаком “+”, если
направления составляющей и оси l совпадают, и со знаком “-”,
если эти направления противоположны. Обозначается она через
prl a. Под проекцией вектора a на вектор b понимается проекция
вектора a на (любую) ось, имеющую направление вектора b.
Определение 3.16. Величина меньшего из углов, образованных двумя ненулевыми векторами a и b, приложенными к
одной точке, называется углом между векторами a и b и обоd
d
значается через (a,
b). В силу этого определения 0 ≤ (a,
b) ≤ π.
33
cl)) поПод углом между вектором a и осью l (обозначается (a,
нимается угол между вектором a и ортом оси l. Справедливы
формулы:
cl);
prl a = |a| · cos(a,
prl (a + b) = prl a + prl b;
prl (λa) = λ · prl a.
(3.1)
Прямоугольные координаты вектора равны его проекциям на
соответствующие координатные оси.
Определение 3.17. Вектор r = OM называется радиусвектором точки M (O – начало координат).
Координаты радиус-вектора точки M равны соответствующим координатам точки M .
Координаты вектора AB равны разностям соответствующих
координат его конца B и начала A.
Длина вектора a = (x, y, z) равна
p
|a| = x2 + y 2 + z 2 .
(3.2)
Определение 3.18. Косинусы углов α, β, γ между (ненулевым) вектором a и осями x, y, z соответственно называются
направляющими косинусами вектора a.
Справедливы формулы:
Ã
!
x
x
cos α =
=p
,
|a|
x2 + y 2 + z 2
z
.
|a|
(3.3)
Направляющие косинусы вектора равны координатам орта этого вектора.
cos β =
y
,
|a|
cos γ =
A1 A2 . . . A8 – куб с вершинами A1 (1, 1, 1), A2 (1, 1, −1),
A3 (1, −1, 1), A4 (1, −1, −1), A5 (−1, 1, 1), A6 (−1, 1, −1),
A7 (−1, −1, 1), A8 (−1, −1, −1). Найти
131. проекцию вектора A1 A7 на ось y;
34
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
проекцию вектора A4 A6 на ось x;
координаты радиус-вектора вершины A4 ;
координаты вектора A5 A8 ;
координаты орта радиус-вектора вершины A7 ;
координаты орта вектора A1 A4 ;
второй направляющий косинус вектора A2 A8 ;
третий направляющий косинус вектора A1 A7 .
a = (2, 3, −2), b = (3, −3, 1). Найти проекцию вектора
139. c = a + 3b на ось x.
140. c = 2a − 5b на ось y.
141. AB = 3i−j−3k, B(2, 1, 0). Найти координаты точки
A.
142. AB = 3i + j − 5k, A(2, −1, 4). Найти координаты
точки B.
Лежат ли на одной прямой точки
143. A(6, −9), B(2, −3), C(−5, 10)?
144. A(1, −1, 1), B(3, 1, 5), C(4, 2, 9)?
145. Найти координаты орта вектора a = (−3, 6, 2).
146. Найти направляющие косинусы вектора a = (−2, −1, 2).
Задачи повышенной сложности
147. a = (0, 1, −2), b = (−1, 1, 4). |a + 2b| =?
148. a = (−3, 1, 2), b = (3, −2, 4). |b − a| =?
3. Скалярное произведение векторов.
Определение 3.19. Скалярным произведением двух (ненулевых) векторов a и b называется число
ab = |a| · |b| · cos(b
a, b).
Вместо ab применяется и другое обозначение: (a, b).
35
(3.4)
Из формулы (3.4) следует формула для определения угла
между двумя заданными векторами:
cos(b
a, b) =
ab
.
|a| · |b|
(3.5)
Механический смысл скалярного произведения: скалярное произведение силы на перемещение равно работе этой силы на этом
перемещении.
Определение 3.20. Скалярное произведение вектора a на
себя, т.е. aa, называется скалярным квадратом вектора a и обозначается через a2 . Справедлива формула
√
|a| = a2 .
(3.6)
Определение 3.21. Два вектора называются ортогональными, если они перпендикулярны (угол между ними равен π2 )
или если хотя бы один из них равен нулю.
Условие ортогональности двух векторов: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Определение 3.22. Проекция вектора a на вектор b равна
prb a =
ab
.
|b|
(3.7)
Свойства скалярного произведения:
1) ab = ba;
2) (a + b)c = ac + bc;
3) (λa)b = λ(ab);
4) aa > 0 для любого вектора a 6= 0; aa = 0, если a 6= 0.
Свойства 2) и 3) вместе выражают свойство линейности скалярного произведения по отношению к первому сомножителю.
В силу свойства 1) скалярное произведение линейно и по отношению ко второму сомножителю (это означает, что скалярное
произведение билинейно).
36
Скалярное произведение в координатной форме:
ab = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ,
(3.8)
где a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ).
Пример 3.4. A(1, 2, 4), B(2, 5, 6), C(1, 6, 8) – вершины параллелограмма ABCD. Найти угол между его диагоналями.
Обозначим точку пересечения диагоналей через M , а угол
между векторами M A и M B через ϕ. Тогда угол между диагоналями равен либо ϕ, если ϕ ≤ π2 , либо π − ϕ, если ϕ > π2 .
Находим координаты точки M (как середины диагонали AC):
M (1, 4, 6). Находим M A = (0, −2, −2), M B = (1, 1, −0), cos ϕ =
M A·M B
√
= √ 2 0·1+(−2)·1+(−2)·0
= − 12 , ϕ = 2π
3 . Ответ:
2
2
2
2
2
|M A|·|M B|
0 +(−2) +(−2) · 1 +1 +0
ϕ=
2π
3 .
Пример 3.5. A(1, −1, 2), B(3, 0, 4), M (7, 2, 1). Найти расстояние от точки A до плоскости, проходящей через точку M
перпендикулярно прямой AB.
Искомое расстояние d равно модулю проекции вектора AM
·AB|
=
на AB. AM = (6, −1, −1), AB = (2, 1, 2). Отсюда d = |AM
|AB|
=
12−1−2
√
4+1+4
149.
150.
151.
152.
= 3.
|a| = 2,
|a| = 3,
|a| = 2,
|a| = 3,
Ответ: 3.
|b| = 5, (a, b) = 60◦ . ab =?
|b| = 5, векторы a и b коллинеарны. ab =?
b – орт. a(a + 2b) − 2b(a + b) =?
|b| = 2. (a + b)(a − b) =?
Найти скалярный квадрат вектора a = AB + AC, где
A, B, C – вершины
153. квадрата ABCD, длина стороны которого равна 1;
154. равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 1.
Найти скалярное произведение векторов a и b:
155. a = 3i + j + 2k, b = 2i + 3j − k;
37
156. a = 2i + j, b = i − 2j.
Найти угол между векторами a и b:
157. a = i + j − 2k, b = j − k;
158. a = i + 3j + 2k, b = −3i − 2j + k.
Найти величину угла A в треугольнике с вершинами
159. A(2, 4, 1), B(3, 5, −3), C(0, −4, 3).
160. A(1, −2, 5), B(2, −3, 1), C(3, −1, 3).
Найти проекцию вектора a на вектор b:
161. a = 2i − j − k, b = 11i − 10j + 2k;
162. a = 5j − 4k, b = 4i − 3j.
Найти работу силы F при перемещении материальной
точки из положения A в положение B:
163. F = (2, −1, 3), A(−1, 3, 2), B(−3, 4, 5).
164. F = i + 3j − 5k, A(2, 1, 4), B(−1, 1, 1).
Задачи повышенной сложности
Найти скалярное произведение AB · AC, где A, B, C –
вершины
165. равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 2;
166. прямоугольного треугольника с прямым углом A;
167. равнобедренного треугольника, в котором AB =
BC и AC = 4;
168. прямоугольника ABCD, в котором AB = 2.
169. A(−1, −2, 2), B(−2, 3, −1). Найти координаты точки C, лежащей на оси z и такой, что в треугольнике ABC
угол C – прямой.
170. Найти все значения α, при которых угол C в треугольнике ABC: A(2, −2, 4), B(3, −1, 3), C(2, −1, α) прямой.
38
171. Пусть векторы a и b 6= 0 ортогональны. При каком
значении параметра λ вектор a + λb ортогонален вектору
a + b?
172. Даны векторы a и b такие, что |a| = 13, |b| = 19,
|a + b| = 24. Найти |a − b|.
4. Векторное произведение векторов.
Определение 3.23. (Упорядоченная) тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму (совмещающий их направления) виден с конца третьего вектора происходящим против
часовой стрелки (по часовой стрелке).
Определение 3.24. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b называется вектор a × b, длина которого равна
d
|a × b| = |a| · |b| · sin(a,
b)
(3.9)
(т.е. площади параллелограмма, построенного на векторах a и
b, приложенных к одной точке), а направление определяется
двумя условиями: он перпендикулярен каждому из векторов a,
b; тройка a, b, a × b – правая.
Векторное произведение двух коллинеарных векторов считается равным нулю.
Вместо a × b применяется другое обозначение: [a, b].
Свойства векторного произведения:
1) a × b = −b × a;
2) (a + b) × c = a × c + b × c;
3) (λa) × b = λ(a × b).
Свойство 1) называется кососимметричностью векторного
произведения. Свойства 2) и 3) вместе выражают свойство линейности векторного произведения по отношению к первому сомножителю. В силу свойства 1) векторное произведение линейно и по отношению ко второму сомножителю (таким образом,
векторное произведение билинейно).
39
Векторное произведение в координатной форме:
¯
¯
¯ i
j k ¯¯
¯
a × b = ¯¯ x1 y1 z1 ¯¯ ,
¯ x2 y2 z2 ¯
(3.10)
где a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ).
Пример 3.6. Найти площадь треугольника с вершинами
A(1, 2, 0), B(3, 0, −3), C(5, 2, 6).
Площадь треугольника ABC равна 12 S, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах AB¯ и AC. Находим
¯
¯ i j
k ¯¯
¯
AB = (2, −2, −3), AC = (4, 0, 6), AB × AC = ¯¯ 2 −2 −3 ¯¯ =
¯ 4 0
6 ¯
√
= −12i − 24j + 8k. S = |AB × AC| = 122 + 242 + 82 = 28.
Ответ: 14.
Пример 3.7. Доказать, что если хотя бы два из векторов
a, b, c неколлинеарны и a × b = b × c = c × a, то a + b + c = 0.
Первый способ. Пусть, например, векторы a и b неколлинеарны. Тогда a × b 6= 0 и, значит, вектор d = a × b = b × c = c × a
– ненулевой (а векторы a, b, c попарно неколлинеарны). Вектор
d перпендикулярен векторам a, b, c, откуда следует, что векторы a, b, c компланарны. Разложим вектор c по неколлинеарным
векторам a и b: c = λa+µb. Вектор c×a = (λa+µb)×a = µ(b×
a) = −µ(a × b). Но тогда µ = −1, так как c × a = a × b 6= 0. Аналогично доказывается, что λ = −1. Таким образом, c = −a − b,
откуда a + b + c = 0.
Второй способ. Обозначим вектор a + b + c через x. Нужно
доказать, что x = 0. Пусть, например, векторы a и b неколлинеарны. Находим x × a = (a + b + c) × a = b × a + c × a = 0,
так как b × a = −a × b, а c × a = a × b по условию. Следовательно, векторы x и a коллинеарны. Аналогично доказываем,
что x × b = 0 и, значит, векторы x и b коллинеарны. Так как
векторы a и b неколлинеарны, то x = 0.
40
d
173. |a| = 1, |b| = 4, (a,
b) = 3π
. |a × b| =?
4
π
d
174. |a| = 7, |b| = 6, (a,
b) = 6 . |a × b| =?
Найти угол между ненулевыми векторами a и b, если
175. |a × b| = |a| · |b|.
176. |a × b| = 0.
177. |e1 | = |e2 | = 1, t = (e[
1 , e2 ), ϕ(t) = |e1 e2 |, ψ(t) =
|e1 × e2 |. Построить линию x = ϕ(t), y = ψ(t).
178. Упростить выражение (a × b)2 + (ab)2 и вычислить
его при |a| = |b| = 1.
Упростить выражение
179. a × b + b × a.
180. (a − b) × (a + b).
181. (2i + 3j − 5k) × k.
182. j × (i − 2j + 3k).
Найти векторное произведение векторов a и b, если
183. a = (1, −1, 2), b = (3, 4, −2).
184. a = (2, −1, 1), b = (4, 1, −1).
185. a = (1, −2, 3), b = (−2, 4, −6).
186. a = (2, −1, 1), b = (4, −2, −2).
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, если
187. a = (−4, 1, 1), b = (−6, 1, 2).
188. a = (2, 2, 1), b = (1, −2, 2).
Задачи повышенной сложности
Найти угол между ненулевыми векторами a и b, если
189. (a × b)2 = 3(ab)2 ;
190. |a × b| = |ab|.
191. Доказать, что для любых векторов a, p, q, r векторы a × p, a × q, a × r компланарны.
41
192. Доказать, что если векторы a × b и b × c коллинеарны, то векторы a, b, c компланарны.
42
5. Смешанное произведение векторов.
Определение 3.25. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число abc, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов a × b
на третий вектор c:
abc = (a × b)c.
(3.11)
Вместо abc применяется и другое обозначение: (a, b, c).
Условие компланарности трех векторов:
три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их
смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения:
модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (приложенных к одной точке); если оно положительно, то
данная тройка векторов – правая, а если отрицательна, то левая.
Смешанное произведение в координатной форме:
¯
¯
¯ x1 y1 z1 ¯
¯
¯
abc = ¯¯ x2 y2 z2 ¯¯ ,
(3.12)
¯ x3 y3 z3 ¯
где a = (x1 , y1 , z1 ), b = (x2 , y2 , z2 ), c = (x3 , y3 , z3 ).
Смешанное произведение 1) меняет знак при перестановке
любых двух сомножителей; 2) линейно по отношению к каждому
сомножителю. Свойство 1) называется кососимметричностью
смешанного произведения, а свойство 2) – трилинейностью.
Пример 3.8. Доказать, что (a × b)c = a(b × c).
a(b × c) = (b × c)a = bca = −bac = abc = (a × b)c.
Пример 3.9. Найти высоту DE тетраэдра с вершинами
A(−1, 0, 2), B(0, −1, 4), C(1, 1, 3), D(−2, 2, 5).
Параллелепипед, построенный на векторах AB, AC и AD,
в котором за основание принят параллелограмм, построенный
43
на векторах AB и AC, имеет ту же высоту, что и данный тетраэдр. Обозначим через V объем этого параллелепипеда, а через S – площадь его основания. Тогда V = S · DE. Находим
AB
= (1, −1,¯2), AC = (2, 1, 1), AD = (−1, 2, 3), AB × AC =
¯
¯ 1
−1 2 ¯¯
¯
¯ 2
1
1 ¯¯ = 18 (или так: AB AC AD = (AB × AC)AD =
¯
¯ −1 2
3 ¯
(−3)(−1) + 3 · 2√+ 3 · 3 = 18). Тогда V √= |AB AC AD| = 18,
√ S=
√ = 2 3. Ответ: DE = 2 3.
|AB × AC| = 3 3, DE = VS = 318
3
193. a, b, c – левая тройка векторов, |a| = 1, |b| =
d
2, |c| = 3, (a,
b) = π6 , c ⊥ a, c ⊥ b. abc =?
194. a, b, c – правая тройка попарно перпендикулярных
векторов, |a| = 4, |b| = 2, |c| = 3. abc =?
195. jki =?
196. ikj =?
197. abb =?
198. aab =?
199. a(a + 2b)b =?
200. ab(a − b) =?
Упростить выражение:
201. a(3a + b − c)c.
202. ab(a − b + 3c).
203. (a + b)(b + c)(c + a).
204. (a + c)b(a + b).
205. a = (1, 0, 1), b = (2, 0, 1), c = (0, 1, 2). (a × b)c =?
206. a = (0, 1, 1), b = (−1, 1, 2), c = (0, 2, 1). abc =?
Компланарны ли векторы
207. a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 0), c = (1, −1, 1)?
208. a = (3, 1, −3), b = (1, 3, −2), c = (2, −2, −1)?
44
Образуют ли базис векторы
209. a = (2, −1, 2), b = (1, 2, −3), c = (3, −4, 7)?
210. a = (1, 2, −1), b = (0, 1, 0), c = (2, 0, 0)?
Найти объем тетраэдра, заданного вершинами
211. A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 0), C = (2, 1, 0), D = (0, 0, 6);
212. A = (0, 0, 0), B = (2, −1, 1), C = (1, 1, 0), D =
(0, 0, 3).
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
213. a = i + 3j + k, b = 2i + j, c = i + 2j + k.
214. a = i − j + k, b = i + 2j, c = 2i + k.
Определить ориентацию тройки
215. a = (2, 1, 0), b = (1, 0, 1), c = (1, −1, 1).
216. a = (−1, 2, 3), b = (0, 1, 0), c = (2, 4, 0).
Задачи повышенной сложности
Найти все значения α, при которых векторы
217. a = (1, 1, −1), b = (0, 1, 2), c = (α, 1, −1) образуют
базис.
218. a = (α, 1, 0), b = (1, α, 1), c = (1, 1, 1) компланарны.
4
Прямые и плоскости
1. Виды уравнений прямой на плоскости.
Определение 4.1. Всякий ненулевой вектор, параллельный (перпендикулярный) данной прямой, называется направляющим (нормальным) вектором этой прямой. Углом наклона
прямой (к оси x) называется угол, на который нужно повернуть
ось x, чтобы она стала параллельной этой прямой. Тангенс угла
45
наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и
обозначается через k.
Виды уравнений прямой на плоскости:
1) векторное:
r = r0 + ta,
(4.1)
где r0 – радиус-вектор некоторой точки прямой, a – направляющий вектор прямой;
2) параметрические:
½
x = x0 + lt,
(4.2)
y = y0 + mt,
где x0 , y0 – координаты некоторой точки прямой, l, m – координаты направляющего вектора прямой;
3) каноническое:
y − y0
x − x0
=
,
l
m
(4.3)
где x0 , y0 – координаты некоторой точки прямой, l, m – координаты направляющего вектора прямой;
4) параллельной оси y (“вертикальной”):
x = a;
(4.4)
5) параллельной оси x (“горизонтальной”):
y = b;
(4.5)
6) проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом:
y − y0 = k(x − x0 ),
(4.6)
где x0 , y0 – координаты данной точки;
7) с угловым коэффициентом:
y = kx + b ;
46
(4.7)
8) проходящей через две данные точки:
x − x1
y − y1
=
,
(4.8)
x2 − x1
y2 − y1
где x1 , y1 и x2 , y2 – координаты данных точек;
9) проходящей через данную точку с данным нормальным
вектором:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0,
(4.9)
где x0 , y0 – координаты данной точки, A, B – координаты нормального вектора;
10) общее:
Ax + By + C = 0,
(4.10)
где A и B одновременно не равны нулю. В этом уравнении A и
B – координаты нормального вектора прямой.
Расстояние d от точки M0 (x0 , y0 ) до прямой Ax + By + C = 0
находится по формуле
d=
|Ax0 + By0 + C|
√
.
A2 + B 2
(4.11)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M1 (x1 , y1 )
и M2 (x2 , y2 ), находится по формуле
k=
y2 − y1
.
x2 − x1
(4.12)
Вопрос о взаимном расположении двух прямых на плоскости решается в зависимости от того, какими уравнениями они
заданы. Например, угол ϕ между прямыми A1 x + B1 y + C = 0
и A2 x + B2 y + C = 0 находится из формулы
cos ϕ =
|n1 n2 |
,
|n1 | · |n2 |
где n1 = (A1 , B1 ) и n2 = (A2 , B2 ) – нормальные векторы этих
прямых. Условие их параллельности:
B1
A1
=
.
A2
B2
47
Условие их перпендикулярности:
A1 A2 + B1 B2 = 0.
Для прямых, заданных каноническими уравнениями, эти вопросы решаются с помощью их направляющих векторов.
Если известны угловые коэффициенты прямых k1 и k2 , то
угол ϕ между ними находится из формулы
¯
¯
¯ k2 − k1 ¯
¯
¯.
tg ϕ = ¯
(4.13)
1 + k1 k2 ¯
Условие параллельности этих прямых:
k1 = k2 .
(4.14)
Условие их перпендикулярности:
k2 = −
1
.
k1
(4.15)
Ниже под углом, образованным прямой с осью x, понимается
то значение угла наклона этой прямой, которое принадлежит
промежутку [0, π).
Пример 4.1. Найти какой-нибудь направляющий вектор
прямой 2x + y − 3 = 0.
Первый способ. Находим любые две точки данной прямой,
например, A(0, 3), B(1, 1). AB = (1, −2) – направляющий вектор
данной прямой.
Второй способ. n = (2, 1) – нормальный вектор данной прямой. Переставим его координаты и затем изменим знак у одной
из них, например, второй. Полученный вектор a = (1, −2) перпендикулярен вектору n (an = 1 · 2 + (−2) · 1 = 0) и, значит,
является направляющим вектором данной прямой.
Ответ:
(1, −2).
Пример 4.2. A(3, 8), B(16, 16). Имеет ли отрезок AB общую
точку с прямой 2x − 3y + 17 = 0?
48
Во всех точках (x, y), лежащих по одну сторону от прямой
Ax + By + C = 0, выражение Ax + By + C принимает значения
одного знака, причем для разных сторон эти знаки различны.
Так как 2 · 3 − 3 · 8 + 17 = −1 < 0, а 2 · 16 − 3 · 16 + 17 = 1 > 0, то
точки A и B лежат по разные стороны от этой прямой. Значит,
отрезок AB имеет общую точку с данной прямой.
Ответ:
да.
Пример 4.3. A(1, 2) – вершина квадрата ABCD, x−3y+5 =
0 – уравнение его диагонали AC. Найти уравнения его сторон
AB и AD.
Обозначим угловой коэффициент стороны AB через k. Так
как угловой коэффициент диагонали AC равен 13 , а угол между
стороной квадрата и его диагональю равен 45◦ , то по формуле
(4.13) получаем:
¯
¯
¯ k − 1 ¯ ¯¯ 3k − 1 ¯¯
¯
3 ¯
¯,
tg 45◦ = ¯
¯=¯
¯ 1 + 13 · k ¯ ¯ 3 + k ¯
откуда |3k − 1| = |3 + k|. Это уравнение имеет два корня: k1 =
2, k2 = − 21 . Один из них является угловым коэффициентом
стороны AB, а другой – стороны AD. Уравнения этих сторон:
1
y − 2 = 2(x − 1) и y − 2 = − 2(x−1)
.
Ответ: 2x − y = 0 и
x + 2y − 5 = 0.
219. Найти значение α, при котором векторы a1 = (−2, 3)
и a2 = (α, −6) являются направляющими векторами одной
и той же прямой.
220. a = (5, −15) – направляющий вектор прямой L.
Указать еще один направляющий вектор прямой L.
Составить параметрические, каноническое и общее уравнения прямой, проходящей через данную точку M с данным
направляющим вектором a:
221. M (−1, 2), a = (4, −5).
222. M (−2, 1), a = (2, 1).
49
223. M (1, −1), a – орт оси x.
224. M (1, −2), a – орт оси y.
225. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(1, −2) параллельно прямой
½
x = 5 − t,
y = 1 + 3t.
226. Составить параметрические уравнения прямой, проx−1
y+1
ходящей через начало координат параллельно
=
.
2
−1
Найти угловой коэффициент прямой, один из направляющих векторов которой имеет координаты
227. (2, 3).
228. (1, −2).
Чему равен угловой коэффициент прямой, образующей
с осью x угол
229. 30◦ ?
230. 135◦ ?
Найти угол,
√ образованный с осью x прямой
231. x + √
3y − 3 = 0.
232. 3x − 3y + 1 = 0.
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
233. A(−2, 1) и образующей с осью x угол 30◦ .
234. A(3, −4) и образующей с осью x угол 120◦ .
235. A(2, −3) параллельно прямой y = 1 − 3x.
236. A(−2, 5) перпендикулярно прямой y = 2 + 3x.
Найти какой-нибудь нормальный вектор прямой,
237. угловой коэффициент которой равен 1.
238. один из направляющих векторов которой a = (4, −3).
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
50
239. A(1, −2) параллельно прямой x − 3y + 2 = 0.
240. A(−1, 1) параллельно прямой 2x + 6y + 5 = 0.
x−2
y+2
=
.
241. A(−2, −4) перпендикулярно прямой
1
−3
242. A(−1, 0) перпендикулярно прямой 3x − 5y + 7 = 0.
Даны пары прямых: 1) 3x−4y −6 = 0, 8x+6y −3 = 0; 2)
x−1
x − 2y − 4 = 0, 2x − 4y + 5 = 0; 3) 3x − y + 1 = 0, y =
;
3
1−x
4) y = 3(x − 1), y =
; 5) y = 3 − 2x, y = 2(1 − x); 6)
3
x−2
y+1
2x − 3y − 7 = 0,
=
;
3
2
½
x = 3 − 2t,
7)
y = 2 + 3t;
½
x = 1 − 4t,
y = 5 + 6t.
В каком из этих семи случаев прямые
243. параллельны?
244. пересекаются?
245. совпадают?
246. взаимно перпендикулярны?
Найти угол
√ между прямыми:
√
247. 3x − 3y + 2 = 0 и x − 3y − 3 = 0.
248. 3x − y + 5 = 0 и 2x + y − 7 = 0.
249. y = 2x − 1 и y = 3 − x.
250. y = 3x + 1 и y = 1 − x.
51
Задачи повышенной сложности
Каково соотношение между угловыми коэффициентами
k1 и k2 прямых, симметричных относительно
251. прямой x = 5?
252. прямой y = 2?
253. Составить уравнение прямой, касающейся окружности x2 + y 2 = 25 в точке A(4, 3).
254. Составить уравнение высоты AD треугольника ABC
с вершинами A(−2, 2), B(2, −1), C(3, 1).
255. ABCD – трапеция с вершинами A(−1, −1), B(3, −3),
C(−6, 6) и основаниями AD и BC. Составить уравнение
средней линии этой трапеции.
256. A(0, −1), B(8, 3), C(−2, 5). Составить уравнение средней линии треугольника ABC, параллельной стороне AB.
257. Составить уравнение медианы BD треугольника
ABC с вершинами A(3, 2), B(5, −2), C(1, 0).
258. A(1, 4), B(5, 6). Найти координаты точки пересечения прямой AB с прямой y = 3.
2. Плоскость и прямая в пространстве.
Определение 4.2. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором
этой плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку с данным нормальным вектором:
A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0,
(4.16)
где x0 , y0 , z0 – координаты данной точки, A, B, C – координаты
данного нормального вектора.
Общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0,
52
(4.17)
где A, B, C одновременно не равны нулю. В этом уравнении
A, B, C – координаты нормального вектора плоскости.
Расстояние d от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By +
Cz + D = 0 находится по формуле
d=
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
A2 + B 2 + C 2
(4.18)
Вопрос о взаимном расположении двух плоскостей решается
с помощью их нормальных векторов. Если нормальные векторы
коллинеарны, то плоскости параллельны (в частности, если при
этом у них есть хотя бы одна общая точка, то они совпадают
между собой). Если же нормальные векторы не коллинеарны, то
плоскости пересекаются (в частности, если нормальные векторы
ортогональны, то плоскости взаимно перпендикулярны).
Напомним, что направляющим вектором прямой называется
всякий ненулевой вектор, параллельный этой прямой.
Виды уравнений прямой в пространстве:
1) векторное:
r = r0 + ta,
(4.19)
где r0 – радиус-вектор некоторой точки прямой, a – направляющий вектор прямой;
2) параметрические:
x = x0 + lt,
y = y0 + mt,
(4.20)
z = z0 + nt,
где x0 , y0 , z0 – координаты некоторой точки прямой, l, m, n –
координаты направляющего вектора прямой;
3) каноническое:
x − x0
y − y0
z − z0
=
==
,
l
m
n
(4.21)
где x0 , y0 , z0 – координаты некоторой точки прямой, l, m, n –
координаты направляющего вектора прямой;
53
4) общие:
½
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,
(4.22)
где тройки чисел A1 , B1 , C1 и A2 , B2 , C2 не пропорциональны.
Вопрос о взаимном расположении двух прямых в пространстве решается с помощью их направляющих векторов, а для прямой и плоскости – с помощью направляющего вектора прямой
и нормального вектора плоскости. Если направляющие векторы
двух прямых коллинеарны, то прямые параллельны (в частности, если при этом у них есть хотя бы одна общая точка, то
они совпадают между собой). Если же направляющие векторы
не коллинеарны, то прямые пересекаются (если у них есть хотя бы одна общая точка) или являются скрещивающимися (в
противоположном случае).
Если направляющий вектор прямой ортогонален нормальному вектору плоскости, то прямая и плоскость параллельны. В
частности, если при этом у них есть хотя бы одна общая точка,
то прямая лежит в данной плоскости. Если же направляющий
вектор прямой не ортогонален нормальному вектору плоскости,
то прямая и плоскость пересекаются. В частности, если направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости являются коллинеарными, то прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.
Пример 4.4. Составить уравнение плоскости, проходящей
через три точки A(1, −2, 1), B(2, 1, −1), C(2, −3, 2).
Первый способ. Точка M (x, y, z) лежит в плоскости ABC тогда и только тогда, когда векторы AM , AB и AC компланарны.
Находим AM = (x − 1, y + 2, z − 1), AB = (1, 3, −2), AC =
(1,
¯ −1, 1) и записываем
¯ условие компланарности по векторам:
¯ x−1 y+2 z−1 ¯
¯
¯
¯ 1
3
−2 ¯¯ = 0 или x − 3y − 4z − 3 = 0.
¯
¯ 1
¯
−1
1
Второй способ. Вектор AB × AC является нормальным вектором плоскости ABC. Находим AB = (1, 3, −2), AC = (1, −1, 1),
54
¯
¯ i j
¯
n = ¯¯ 1 3
¯ 1 −1
для точки A
¯
k ¯¯
−2 ¯¯ = i − 3j − 4k и записываем уравнение (4.16)
1 ¯
и нормального вектора n:
(x − 1) − 3(y + 2) − 4(z − 1) = 0.
Ответ: x − 3y − 4z − 3 = 0.
½ Пример 4.5. Составить канонические уравнения прямой
2x − 3y + z − 1 = 0,
x + 2y − z − 2 = 0.
Первый способ. Находим любые две точки данной прямой,
например, точки A(1, 0, −1) и B(0, −3, −8). Вектор AB(−1, −3, −7)
является направляющим вектором данной прямой и, значит, ее
y
z+1
x−1
=
=
.
канонические уравнения имеют вид
−1
−3
−7
Второй способ. Находим любую точку данной прямой, например, A(1, 0, −1). Вектор n1 × n2 , где n1 и n2 – нормальные
векторы плоскостей 2x − 3y + z − 1 = 0 и x + 2y − z − 2 = 0,
параллелен каждой из них и, значит, параллелен данной прямой
(она является линией их пересечения). Таким образом, вектор
¯
¯
¯ i j
k ¯¯
¯
a = n1 × n2 = ¯¯ 2 −3 1 ¯¯ = i + 3j + 7k
¯ 1 2
−1 ¯
является направляющим вектором данной прямой и, значит, ее
x−1
y
z+1
канонические уравнения имеют вид
=
=
. От−1
−3
−7
x−1
y
z+1
вет:
=
=
.
−1
−3
−7
Пример 4.6. Написать уравнение плоскости, проходящей
через точки M1 (1, 1, 1) и M2 (0, 2, 1) параллельно вектору a(2, 0, 1).
Первый способ. Задача имеет единственное решение, так как
векторы M1 M2 (−1, 1, 0) и a(2, 0, 1) неколлинеарны. В качестве
55
нормального вектора к плоскости может быть взят вектор
¯
¯
¯ i
j k ¯¯
¯
n = M1 M2 × a = ¯¯ −1 1 0 ¯¯ = i + j − 2k.
¯ 2
0 1 ¯
Уравнение плоскости имеет вид (x − 1) + (y − 1) − 2(z − 1) = 0,
или x + y − 2z = 0.
Второй способ. Точка M (x, y, z) принадлежит искомой плоскости в том и только в том случае, когда векторы M1 M , M1 M2
и a компланарны. Следовательно,
¯
¯
¯ x−1 y−1 z−1 ¯
¯
¯
¯ = 0,
1
0
M1 M · M1 M2 · a = ¯¯ −1
¯
¯ 2
¯
0
1
т. е. x + y − 2z = 0.
Ответ: x + y − 2z = 0.
Пример 4.7. Найти координаты точки пересечения прямой
x−3
y+3
z−4
=
=
с плоскостью 3x + 2y + z − 2 = 0.
2
−1
−1
Записываем параметрические уравнения данной прямой:
x = 3 + 2t,
y = −3 − t,
z = 4 + t.
Подставляем полученные выражения для x, y, z в уравнение
плоскости: 3(3 + 2t) + 2(−3 − t) + (4 + t) − 2 = 0 и находим t = −1.
При этом значении t точка прямой лежит в плоскости. Координаты точки пересечения равны 1, −2, 3. Ответ: (1, −2, 3).
Построить плоскость
259. x − y + z − 3 = 0.
260. x − 2y = 0.
Даны плоскости: 1) x − 3z = 0, 2) y + z − 5 = 0, 3)
x − 5 = 0. Какая из них
56
261.
262.
263.
264.
параллельна оси x?
перпендикулярна оси x?
проходит через начало координат?
проходит через ось y?
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
265. A(−1, 2, 1) параллельно плоскости zx.
266. A(3, 1, −1) перпендикулярно оси x.
267. Найти значения α и β, при которых векторы n1 =
(−1, 2, α) и n2 = (β, 6, 3) являются нормальными векторами
одной и той же плоскости.
268. n = (6, 2, −4) – нормальный вектор плоскости P .
Указать еще один нормальный вектор плоскости P .
Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
269. A(1, 3, −2) с нормальным вектором n = (−2, 1, −1).
270. A(0, −1, 3) с нормальным вектором n = (2, 0, −3).
271. A(−1, 1, 2) параллельно плоскости x + 3z − 4 = 0.
272. A(0, 2, −1) параллельно плоскости 2y − z − 1 = 0.
273. A(−1, 4, 1) перпендикулярно радиус-вектору этой
точки.
274. A(3, 1, −2) перпендикулярно прямой BC, где B(1, 2, −3),
C(2, 1, 1).
275. A(1, 1, 1) параллельно векторам a1 = (0, 1, 2) и a2 =
(−1, 0, 1).
276. A(0, 1, 2) параллельно векторам a1 = (2, 0, 1) и a2 =
(1, 1, 0).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
A и B параллельно вектору a, если
277. A = (1, 2, 0), B = (2, 1, 1), a = (3, 0, 1).
278. A = (1, 1, 1), B = (2, 3, −1), a = (0, −1, 2).
Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
A, B и C, если
279. A = (1, 2, 0), B = (2, 1, 1), C = (3, 0, 1).
57
280. A = (1, 1, 1), B = (0, −1, 2), C = (2, 3, −1).
Даны пары плоскостей: 1) 2x − y − 3 = 0, x + 2y = 0;
2) 3x − 2y − 3 = 0, 2x + 3z − 2 = 0; 3) 3x − y − z − 3 = 0,
−6x+2y +2z +6 = 0; 4) 2x+y −z +4 = 0, 4x+2y −2z +7 = 0.
В каком из этих четырех случаев плоскости
281. параллельны?
282. пересекаются?
283. совпадают?
284. взаимно перпендикулярны?
Найти угол между плоскостями
285. x − 2y − 3z = 0 и 2x + 3y + z − 6 = 0.
286. x + 4y − z = 0 и x − 2y + 2z + 3 = 0.
Построить прямую
x
y
z−1
287. = =
.
2
0
−1
x−1
y
z
288.
=
= .
1
−1
0
Найти координаты точки пересечения прямой
x−5
y+3
z+3
289.
=
=
с плоскостью xz.
1
1
−2
x−1
y−5
z−2
290.
=
=
с плоскостью xy.
1
2
−1
Написать параметрические и канонические уравнения
прямой, проходящей через точку
291. A(1, −2, 4) с направляющим вектором a = (3, −1, 2).
292. A(2, 3, −1) с направляющим вектором a = (2, 1, −1).
293. A(3, −2, 0) параллельно оси x.
294. A(−5, 1, 3) перпендикулярно плоскости xy.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку
295. A(2, 1, 0) и образующей с осями x, y, z углы 45◦ , 60◦ , 120◦
соответственно.
58
296. A(1, −3, 2) и образующей равные углы с осями координат.
297. A(−1, 1, −1) параллельно прямой
x = 1 − 3t,
y = 5,
z = 2 + 4t.
298. A(1, −2, 1) перпендикулярно плоскости, заданной
уравнением 3x + z − 3 = 0.
Составить
канонические уравнения прямой
½
x − 1 = 0,
299.
½ z − 2 = 0.
y − 1 = 0,
300.
z − 3 = 0.
Составить уравнения прямой, проходящей
½ через точку
x + 2z = 0,
301. A(1, −2, −1) параллельно прямой
x − y − z = 0.
½
2x − y = 0,
302. A(2, 1, 0) параллельно прямой
x + y − 3z = 0.
Найти угол между прямыми
x−1
y+1
z x
y+2
z−2
303.
=
= и =
=
.
0
−1
1 1
1
−2
x−3
y−1
z+2 x−3
y+3
z
304.
=
=
и
=
= .
3
1
−2
1
1
2
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
305. A(2, 1, 3) перпендикулярно прямой
x = 1 − t,
y = 2 + 3t,
z = 3 + 2t.
59
306. A(1, 0, 2) перпендикулярно прямой
½
x − y = 0,
z − 3 = 0.
Найти угол между прямой
x
y−2
z+3
307. =
=
и плоскостью x − 2y − z − 3 = 0.
1
−1
0
x−1
y−1
z
308.
=
=
и плоскостью x+3y+2z+5 = 0.
3
2
−1
Задачи повышенной сложности
x
y
z−1
Даны пары уравнений прямой и плоскости: 1) = =
2
3
−4
x−1
y+2
z
и x+2y +2z −2 = 0, 2)
=
= и x−y +z −3 = 0,
1
−1
0
x−3
y−2
z−1
3) x = y = z и 2x + 2y + 2z − 3 = 0, 4)
=
=
2
2
1
и 3x − 4y + 2z − 2 = 0. В каком из этих четырех случаев
309. прямая параллельна плоскости?
310. прямая и плоскость пересекаются?
311. прямая лежит в плоскости?
312. прямая перпендикулярна плоскости?
Доказать, что прямые
x−1
y
z+1
313.
= =
и
1
2
1
½
x + y − 2 = 0,
x−z =0
взаимно перпендикулярны.
x−2
y
z+1
314.
= =
и
1
1
−2
½
x − y − 1 = 0,
2y + z = 0
60
параллельны.
315. Составить уравнения перпендикуляра, опущенного
из точки A(2, 1, −3) на ось x.
316. Составить уравнения медианы AD треугольника
ABC с вершинами A(2, −1, 4), B(−1, 3, 4), C(3, −1, 2).
Найти координаты точки пересечения прямой
317. x−7
= y−4
= z−5
с плоскостью 3x − y + 2z − 5 = 0.
5
1
4
318.
x = 2t − 1,
y = 1 − t,
z = 3t + 1
с плоскостью 2x + 3y − 2z + 11 = 0.
5
Линии второго порядка
1. Эллипс.
Определение 5.1. Эллипсом называется множество всех
точек (геометрическое место точек) плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
Замечание 5.1. Случай совпадения фокусов здесь не исключается. Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Расстояние между фокусами обозначается через 2c, а сумма
расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов – через
2a. Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы лежали на оси x и имели на ней координаты ±c. Уравнение
эллипса в этой системе координат имеет вид
x2 y 2
+ 2 = 1,
a2
b
61
(5.1)
где b =
√
a2 − c2 .
Определение 5.2. Уравнение (5.1) называется каноническим уравнением эллипса. Оси x и y – оси симметрии эллипса
– называются его осями, начало координат – его центр симметрии – его центром, точки (±a, 0) и (0, ±b) пересечения его с
осями – его вершинами, числа a и b – его большой и малой полуосями (соответственно), а число e = ac – его эксцентриситетом
(0 ≤ e < 1). Для окружности c = 0, b = a, e = 0. Параметрические уравнения эллипса (5.1):
½
x = a cos t,
(5.2)
y = b sin t.
Построить эллипс
319. 4x2 + 9y 2 = 36.
320. x2 + 4y 2 = 4.
(x + 4)2 (y − 3)2
321.
+
= 1.
16
9
(x − 3)2 (y + 2)2
322.
+
= 1.
9
4
2
2
323. 9x + 4y − 36x + 8y + 4 = 0.
2
2
324. 9x
½ + 25y + 54x + 100y − 44 = 0.
x = 1 − 3 cos t,
325.
½ y = 2 + 2 sin t.
x = sin t,
326.
y = 3(1 + cos t).
Составить каноническое уравнение эллипса, если
327. b = 4, c = 3.
328. a = 5, c = 4.
329. a = 4, e = 34 .
330. c = 3, e = 35 .
62
Задачи повышенной сложности
331. Фокусы эллипса находятся в точках (±1, 0). Составить его уравнение, зная, что он проходит через точку
M (1, 32 ).
332. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой сумма расстояний от нее до точек (±3, 0) равна 10.
x2 y 2
333. Прямоугольник вписан в эллипс
+
= 1, при4
3
чем так, что две его стороны проходят через фокусы. Найти
его площадь (стороны прямоугольника, вписанного в эллипс, параллельны его осям).
334. Найти площадь квадрата, вписанного в эллипс
x2 y 2
+
= 1.
3
1
2. Гипербола.
Определение 5.3. Гиперболой называется множество всех
точек (геометрическое место точек) плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек
этой плоскости (называемых фокусами) есть величина постоянная (положительная и меньшая, чем расстояние между фокусами).
Расстояние между фокусами обозначается через 2c, а модуль
разности расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов – через 2a. Выберем прямоугольную систему координат
так, чтобы фокусы лежали на оси x и имели на ней координаты
±c. Уравнение гиперболы в этой системе координат имеет вид
x2 y 2
− 2 = 1,
a2
b
где b =
√
c2 − a2 .
63
(5.3)
Определение 5.4. Уравнение (5.3) называется каноническим уравнением гиперболы. Гипербола состоит из двух ветвей. Оси x и y – оси симметрии гиперболы – называются ее
осями, начало координат – ее центр симметрии – ее центром,
точки (±a, 0) – ее вершинами, числа a и b – ее действительной и мнимой полуосями (соответственно), а число e = ac – ее
эксцентриситетом (e > 1).
Гипербола имеет две асимптоты. Уравнения асимптот гиперболы (5.3): y = ± ab x. Если b = a, то гипербола называется равносторонней (или равнобочной).
Построить гиперболу
335. 9x2 − 4y 2 = 36.
336. 4x2 − y 2 = 4.
(x + 3)2 (y − 2)2
337.
−
= 1.
9
16
2
2
(x − 1)
(y + 1)
338.
−
= 1.
4
9
339. 9x2 − 4y 2 + 18x + 16y + 29 = 0.
340. 4x2 − 9y 2 + 16x − 18y − 29 = 0.
Составить каноническое уравнение гиперболы, если
341. b = 3, c = 5.
342. a = 2, c = 3.
343. c = 5, x ± 2y = 0 – уравнения ее асимптот.
344. b = 3, e = 2.
345. Составить уравнения асимптот гиперболы
(5.3), ес√
ли известно, что ее эксцентриситет e = 5.
346. Найти эксцентриситет равносторонней гиперболы.
Задачи повышенной сложности
Найти угол между асимптотами гиперболы
347. 3x2 − y 2 − 12 = 0.
64
348. x2 − 3y 2 − 3 = 0.
349. Фокусы гиперболы находятся в точках (±3, 0). Составить ее уравнение, зная, что она проходит через точку
M (5, 4).
350. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой модуль
разности расстояний от нее до точек (±4, 0)
√
равен 2 10.
x2 y 2
351. Прямоугольник вписан в гиперболу
−
= 1,
4
5
причем так, что две его стороны проходят через фокусы.
Найти его площадь (стороны прямоугольника, вписанного
в гиперболу, параллельны ее осям).
352. Найти площадь квадрата, вписанного в гиперболу
x2 y 2
−
= 1.
3
6
3. Парабола.
Определение 5.5. Параболой называется множество всех
точек (геометрическое место точек) плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки этой плоскости (называемой
фокусом) и данной прямой, лежащей в этой плоскости и не проходящей через фокус (она называется директрисой).
Расстояние от фокуса до директрисы называется параметром параболы и обозначается через p. Выберем прямоугольную
систему координат так, чтобы фокус имел координаты ( p2 , 0), а
уравнение директрисы имело вид x = − p2 . Уравнение параболы
в этой системе координат имеет вид
y 2 = 2px.
(5.4)
Оно называется каноническим уравнением параболы. Ось x –
ось симметрии параболы – называется ее осью. Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы.
65
Построить параболу
353. y 2 = 2x.
354. y 2 = −x.
355. x2 = −y.
356. x2 = 3y.
357. (y + 1)2 = −2(x − 3).
358. (y − 2)2 = 2(x + 1).
359. x2 − 6x + 4y = 0.
360. y 2 − 12x + 4y + 21 = 0.
361. Чему равно расстояние от фокуса параболы y 2 = 6x
до ее директрисы?
362. Расстояние от фокуса параболы до ее вершины равно 1. Составить ее каноническое уравнение.
Задачи повышенной сложности
363. Через фокус параболы y 2 = x перпендикулярно ее
оси проведена хорда. Найти ее длину.
364. Парабола (5.4) проходит через точку M (2, 4). Составить уравнение ее директрисы.
365. Правильный треугольник так вписан в параболу
2
y = 12 x, что одна из его вершин совпадает с вершиной параболы. Найти длину его стороны.
366. Равнобедренный прямоугольный треугольник вписан в параболу y 2 = 2x, причем так, что вершина прямого
угла совпадает с вершиной параболы. Найти длину его гипотенузы.
4. Преобразование прямоугольных координат на плоскости и его использование для приведения уравнения
линии второго порядка к каноническому виду.
Пусть Oxy – “старая” система координат на плоскости, а
O0 x0 y 0 – “новая”, полученная из старой параллельным переносом,
66
переводящим точку O в точку O0 (a, b), и последующим поворотом вокруг точки O0 на угол α. Тогда для произвольной точки
M плоскости справедливы формулы (формулы преобразования
прямоугольных координат на плоскости):
½
x = x0 cos α − y 0 sin α + a,
(5.5)
y = x0 sin α + y 0 cos α + b,
где x и y – старые координаты точки M , а x0 и y 0 – ее новые
координаты.
При α = 0 формулы (5.5) принимают вид
½
x = x0 + a,
(5.6)
y = y 0 + b.
Это – формулы преобразования прямоугольных координат на
плоскости при параллельном переносе системы координат.
При a = b = 0 формулы (5.5) принимают вид
½
x = x0 cos α − y 0 sin α,
(5.7)
y = x0 sin α + y 0 cos α.
Это – формулы преобразования прямоугольных координат на
плоскости при повороте системы координат (вокруг ее начала).
Определение 5.6. Уравнение
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0,
(5.8)
где A, B, C не равны нулю одновременно, называется (алгебраическим) уравнением второй степени с двумя переменными
x и y (в нем слева стоит многочлен второй степени от двух
переменных x и y), а линия, определяемая таким уравнением в
некоторой прямоугольной системе координат, – (алгебраической)
линией второго порядка.
Эллипс, парабола и гипербола – кривые второго порядка.
Формулы преобразования координат часто используются для
67
приведения уравнения линии второго порядка (уравнения (5.8))
к каноническому виду. Первый шаг в решении такой задачи состоит в определении угла α, на который нужно повернуть систему координат, чтобы уравнение данной линии в новых координатах не содержало члена с произведением координат (такой
угол α существует).
Пример 5.1. Привести к каноническому виду уравнение
3x2 + 2xy + 3y 2 + 8x + 8y = 0
(5.9)
и написать формулы соответствующего преобразования координат.
Сделаем поворот системы координат на угол α. Уравнение
линии (5.9) в новых координатах x0 , y 0 имеет вид (см. формулы
(5.7)):
3(x0 cos α − y 0 sin α)2 + 2(x0 cos α − y 0 sin α)(x0 sin α + y 0 cos α)+
+3(x0 sin α + y 0 cos α)2 + 8(x0 cos α − y 0 sin α) + 8(x0 sin α + y 0 cos α) = 0.
Коэффициент B 0 (при x0 y 0 ) в этом уравнении равен
B 0 = 3(−2 cos α sin α)+2(cos2 α−sin2 α)+3·2 sin α cos α = 2 cos 2α.
Выберем α =
вид
π
4
(тогда B 0 = 0). Формулы (5.7) при α =
(
x=
y=
√1 (x0
2
√1 (x0
2
π
4
− y 0 ),
+ y 0 ).
Уравнение линии (5.9) в новых координатах:
³
³
´2
´³
´
3 √12 (x0 − y 0 ) + 2 √12 (x0 − y 0 ) √12 (x0 + y 0 ) +
´2
³
+3 √12 (x0 + y 0 ) + 8 √12 (x0 − y 0 ) + 8 √12 (x0 + y 0 ) = 0.
√
Или (после преобразований): 2x02 + y 02 + 4 2x0 = 0.
Или (после выделения полного квадрата):
√
2(x0 + 2)2 + y 02 − 4 = 0.
68
имеют
(5.10)
Сделаем теперь параллельный перенос по формулам (см.
формулы (5.6))
√
½ 0
x = x00 − 2,
(5.11)
y 0 = y 00 .
Уравнение линии (5.9) в координатах x00 , y 00 : 2x002 + y 002 − 4 = 0.
x002 y 002
Или:
+
= 1.
2
4
Это – уравнение эллипса, но оно не является каноническим
(теперь ясно, что если бы вместо α = π4 мы выбрали α = − π4 ,
то получили бы каноническое уравнение). Сделаем поворот системы координат O00 x00 y 00 на угол α = − π2 . Формулы (5.7) при
таком α:
½ 00
x = ỹ,
(5.12)
y 00 = −x̃.
Уравнение линии (5.9) в координатах x̃, ỹ:
x̃2 ỹ 2
+
= 1.
4
2
Оно – каноническое.
Найдем результирующее преобразование координат (см. формулы (5.10), (5.11) и (5.12)):
√
√
1
1
1
1
x = √ (x0 −y 0 ) = √ (x00 − 2−y 00 ) = √ (ỹ− 2−(−x̃)) = √ (x̃+ỹ)−1,
2
2
2
2
√
√
1
1
1
1
y = √ (x0 +y 0 ) = √ (x00 − 2+y 00 ) = √ (ỹ− 2−x̃) = − √ (x̃−ỹ)−1.
2
2
2
2
2
2
x̃
ỹ
Ответ:
+
= 1 (эллипс),
4
2
(
x = √12 (x̃ + ỹ) − 1,
y = − √12 (x̃ − ỹ) − 1.
A(−2, 1), B(1, −3). Сделан параллельный перенос системы координат. Найти новые координаты точек A и B, если
новое начало координат находится:
69
367. в точке A;
368. в точке B.
Составить формулы параллельного переноса систем координат, при котором каждое из двух данных уравнений
становится однородным:
369. x − y + 1 = 0, 3x + y − 5 = 0.
370. 2x − y = 0, 3x − y − 5 = 0.
Составить формулы параллельного переноса систем координат, при котором данное уравнение кривой второго порядка приводится к каноническому виду:
371. y 2 − 2x − 6y + 13 = 0.
372. 4x2 + 9y 2 − 8x + 36y + 4 = 0.
Написать формулы преобразования координат при повороте системы координат на угол
π
373. .
4
π
374. − .
6
Составить формулы какого-нибудь преобразования координат, переводящего первое из данных уравнений во второе:
√
375. √3x − y + 2 = 0; y 0 = 0.
376. 3x + y − 1 = 0; x0 = 0.
Задачи повышенной сложности
Доказать, что данное уравнение кривой второго порядка
приводится к каноническому виду при повороте системы
координат вокруг
√ начала2 координат на πданный угол α:
2
377. 5x − 2 3xy + 7y − 8 = 0; α = 6 .
378. x2 − xy + y 2 − 3 = 0; α = π4 .
379. 2xy − 1 = 0; α = π4 .
√
380. 2x2 − 2 3xy + 3 = 0; α = π3 .
70
Ответы
1. x = z = 0. 2. y = 0. 3. y = 0. 4. z = 0. 5. (0, 0, 2).
6. (0, 2, 0). 7. (−1, 1, −3). 8. (5, 0, −4). 9. (−1, −2, −3). 10.
(−1, −2, −3). 11. 5. 12. 10. 13. (2, 0). 14. (0, 11). 15. (0, 5, 0). 16.
(0, 0, 7). 17. 3. 18. 13. 19. (6, 2). 20. (−2, 1). 21. M1 (1, −1, −1),
M2 (2, −2, −3). 22. (1, −1), (2, −3), (3, −5). 23. (1, 3). 24. (4, 1).
25. 18. 26. 4ab. 27. 1. 28. 1. 29. 0. 30. 0. 31. a2 + b2 + c2 + 1.
32. sin(α√
− β) + sin(β − γ) + sin(γ − α). 33. x1 = −4, x2 = −1.
34. 4 ± 22. 35. 2, 3. 36. 1, 2. 37. (−1, 3). 38. (2, 1). 39.
3. 40. 2,3. 41. 1,3. 42. 3. 43. Сдвигом на 1 влево и на 2
вверх. 44. Сдвигом на 3 вправо и на 5 вниз. 45. Сжатием к оси y в 2 раза. 46. Сжатием к оси x в 3 раза. 57.
(x+2)2 +(y−3)2 = 9. 58. x2 +y 2 = 16. 61. (x+1)2 +(y−2)2 = 5.
62. (x−2)2 +(y+3)2 = 10. 75. Да. 76. Да. 77. (−3, 0). 78. (1, 0),
(0, 0). 79. (0, 0, 1). 80. (1, 0, 0). 81. t = 3. 82. t = 5. 83. Сдвигом на 1 вправо и на 2 вниз. 84. График не изменится. 85.
Растяжением в 3 раза от оси y. 86. График не изменится. 87.
График не изменится. 88. Отражением относительно (0, 0).
89. r = ϕ = t. 90. r = 2t , ϕ = t. 97. График будет состоять
из частей исходного графика и его отражения относительно
оси y, лежащих в правой полуплоскости. 98. Отражением
всего графика F (x, y) относительно оси y. 101. A = B. 102.
Нет. 103. AB – диаметр. 104. AB = −CD. 105. a + b. 106.
a − b. 107. 2b − 2a. 108. 2b − a. 109. M = E. 110. M = A.
111. b − a + c. 112. a + b − c. 113. L = D. 114. L = A.
115. A = B или AB – диаметр. 116. AB, BA, CD, DC. 117.
1,2. 118. 1,2,3. 119. (−1, 1, 1). 120. (−2, 2). 121. (2, 1, 2). 122.
(1, 1). 123. (1, −3). 124. (0, −5, −5). 125. Да. 126. Да. 129.
α = −1, β = −12. 130. α = 2, β = −6.
√ 131. -2.
√ 132.√-2. 133.
(1, −1, −1).
√ 134.√(0, −2, −2). 135.
√ (−1/ 3, −1/ 3, 1/ 3). 136.
(0, −1/ 2, −1/ 2). 137. −1/ 2. 138. 0. 139. 11. 140. 21. 141.
(−1, 2, 3). 142. (5, 0, −1). 143. Да. 144. Нет. 145. (−3/7, 6/7, 2/7).
71
146. (−2/3, −1/3, 2/3). 147. 7. 148. 7. 149. 5. 150. ±15. 151.
π
2π
2. 152. 5. 153. 5. 154. 3. 155. 7. 156. 0. 157. . 158.
. 159.
6
3
2π
π
. 160. . 161. 2. 162. -3. 163. 4. 164. 12. 165. 2. 166. 0.
3
4
167. 8. 168. 4. 169. (0, 0, −2), (0, 0, 3). 170. α ∈ {2, 3}. 171.
√
π
λ = −|a|2 /|b|2 . 172. 22. 173. 2 2. 174. 21. 175. . 176. 0 или
2
π. 178. |a|2 b|2 = 1. 179. 0. 180. 2a×b. 181. 3i−2j. 182. 3i−k.
183. (−6, 8, 7). 184. (0, 6, 6). 185. 0. 186. 0. 187. 3. 188. 9. 189.
π 3π
π 5π
,
. 190. ,
. 193. −3. 194. 24. 195. 1. 196. −1. 197.
6 6
4 4
0. 198. 0. 199. 0. 200. 0. 201. abc. 202. 3abc. 203. 2abc. 204.
−abc. 205. −1. 206. −1. 207. Нет. 208. Да. 209. Нет. 210. Да.
211. 2. 212. 3. 213. 2. 214. 1. 215. Правая. 216. Левая. 217.
y−2
x+1
=
;
α 6= 1. 218. α ∈ {0, 1}. 219. 4. 220. (1, −3). 221.
4
−5
½
x+2
y−1
x = −1 + 4t,
5x + 4y − 3 = 0. 222.
=
; x =
y = 2 − 5t;
2
1
y+1
x−1
=
;
−2 + 2t, y = −1 + t; x − 2y + 4 = 0. 223.
1
0
x−1
y+2
x = 1 + t, y = −1; y + 1 = 0. 224.
=
; x = 1,
0
1
x−1
y+2
y = −2 + t; x − 1 = 0. 225.
=
. 226. x = 2t,
−1
3
√
5π
. 232.
y = −t. 227. 3/2. 228. −2. 229. 3/3. 230. −1. 231.
√
√
√ 6
√
π
. 233. x − 3y + 2 − 3 = 0. 234. 3x + 3y + 4 3 − 9 = 0.
3
235. 3x + y − 3 = 0. 236. x + 3y − 13 = 0. 237. (1, −1).
238. (3, 4). 239. x − 3y − 7 = 0. 240. x + 3y − 2 = 0. 241.
x − 3y − 10 = 0. 242. 5x + 3y + 5 = 0. 243. 2,5,6,7. 244.
π
π
1
1,3. 245. 4,6,7. 246. 1. 247. . 248. . 249. arccos √ . 250.
6
4
10
1
arccos √ . 251. k2 = −k1 . 252. k2 = −k1 . 253. 4x+3y −25 = 0.
5
72
254. x + 2y − 2 = 0. 255. x + y + 1 = 0. 256. x − 2y + 5 = 0.
257. x + y − 3 = 0. 258. (−1, 3). 261. 2. 262. 3. 263. 1. 264.
1. 265. y − 2 = 0. 266. x − 3 = 0. 267. α = 1, β = −3. 268.
(3, 1, −2). 269. 2x − y + z + 3 = 0. 270. 2x − 3z + 9 = 0. 271.
x+3z −5 = 0. 272. 2y −z −6 = 0. 273. x−4y −z +18 = 0. 274.
x−y+4z+6 = 0. 275. x−2y+z = 0. 276. x−y−2z+5 = 0. 277.
x − 2y − 3z + 3 = 0. 278. 2x − 2y − z + 1 = 0. 279. x + y − 3 = 0.
π
280. 2x−y−1 = 0. 281. 3,4. 282. 1,2. 283. 3. 284. 1. 285. . 286.
3
π
x−1
y+2
z−4
. 289. (8, 0, −9). 290. (3, 9, 0). 291.
=
=
,
4
3
2
−1
x = 2 + 2t,
x = 1 + 3t,
x−2
y−3
z+1
y = −2 − t, 292.
y = 3 + t,
=
=
,
2
1
−1
z = 4 − 2t.
z = −1 − t.
x = 3 + t,
x−3
y+2
z
x+5
y−1
y = −2,
293.
=
= ,
294.
=
=
1
0
0
0
0
z
=
0.
x = −5,
z−3
x−2
y−1
z
x−1
y = 1,
=
295. √ =
,
=
. 296.
=
1
1
−1
1
2
z = 3 + t.
y+3
z−2
x+1
y−1
z+1
x−1
=
=
. 297.
=
=
. 298.
=
1
1
−3
0
−4
3
y+2
z−1
x−1
y
z−2
x
y−1
=
=
. 299.
= =
. 300. =
=
0
1
0
1
0
1
0
x−1
y+2
z+1
x−2
y+1
z
z−3
. 301.
=
=
. 302.
=
= .
=
0
2
3
−1
1
2
1
π
π
303. . 304. . 305. x − 3y − 2z + 7 = 0. 306. x + y −
6
2
π
π
1 = 0. 307. . 308. . 309. 1,4. 310. 2,3. 311. 1. 312. 3.
3
6
x−2
y−1
z+3
x−2
y−1
z−4
315.
=
=
. 316.
=
=
. 317.
0
−1
3
1
0
1
x2 y 2
x2 y 2
(2, 3, 1). 318. (3, −1, 7). 327.
+
= 1. 328.
+
= 1.
25 16
25
9
73
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
+
= 1. 330.
+
= 1. 331.
+
= 1. 332.
16
7
25 16
4
3
x2 y 2
x2 y 2
x2 y 2
+
= 1. 333. 6. 334. 3. 341.
−
= 1. 342.
−
= 1.
25 16
16
9
4
5
√
x2 y 2
x2 y 2
−
= 1. 344.
−
= 1. 345. y ± 2x = 0. 346. 2.
343.
20
5
3
9
π
π
x2 y 2
x2 y 2
347. . 348. . 349.
−
= 1. 350.
−
= 1. 351. 15.
3
3
5
4
10
6
2
352.
√ 24. 361. 3. 362. y = 4x. 363. 2. 364. x = −2. 365.
0). 369.
½ 3. 366.0 4. 367. A(0,½0), B(3,0 −4). 368. A(−3,
½ 4), B(0,
x = x + 1,
x = x + 1,
x = x0 + 5,
370.
371.
372.
y = y 0 − 3.
y = y 0 + 2.
y = y 0 + 10.
(
½
½
x = √12 (x0 − y 0 ),
x = x0 + 2,
x = −y 0 ,
373.
374.
375.
1
0
0
0
y = y + 3.
y = √2 (x + y ).
y = x0 .
(
(
√
√
3 0
3 0
1 0
x=√
x
=
x
−
y
,
x −√ 12 y 0 ,
2
2
2
376.
y = 23 x0 + 12 y 0 + 2.
y = 21 x0 + 23 y 0 + 1.
329.
74
Литература
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике (учебное пособие). М.: Физматгиз, 2001.
2. Сборник задач по математике для втузов. Линейная
алгебра и основы математического анализа. Под ред. А. В.
Ефимова, Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1988.
3. Программа и контрольные задания по математике
для студентов 1 курса. Сост. А. В. Боголюбов, А. Г. Елькин.
М.: “Янус-К”, ИЦ МГТУ “Станкин”, 2005.
4. А. В. Боголюбов, Ю. В. Елисеева, А. Г. Елькин, Е. А.
Яновская. Задачи и контрольные вопросы по математике
для студентов 1 семестра. М.: “Янус-К”, ИЦ МГТУ “Станкин”, 2003.
75
