Лекция №3 часть 2

Модель - случайная величина
Случайная величина (СВ) - это величина,
которая в результате опыта может принять то
или иное значение, причем заранее не
известно, какое именно.
Случайная величина - понятие более общее,
чем случайное событие и является
количественной характеристикой результата
опыта.
• К
случайным
величинам
в
электроэнергетике относятся такие важные
параметры режима как ток, напряжение,
активная и реактивная мощности, а также
показатели качества электроэнергии (ПКЭ),
спрос
электроэнергии
и
мощности,
длительность
аварийного
простоя
оборудования, ущерб от низкого качества
электроэнергии и ущерб, обусловленный
перерывом
в
электроснабжении,
разрядные или пробивные напряжения
изоляции.
• Различают три типа случайных величин:
дискретные, непрерывные, смешанные.
• Дискретной называется случайная величина,
принимающая отдельные друг от друга значения,
которые можно пронумеровать. Возможные
значения дискретных (прерывных) величин могут
быть заранее перечислены. Это число в
ограниченном интервале является конечным.
Вероятность того, что дискретная случайная
величина примет одно из возможных значений,
равно вероятности появления случайного события,
соответствующего этому значению. Примеры
дискретных величин: ординаты ступенчатых
графиков электрических нагрузок, число агрегатов,
аварийно вышедших из строя, число пробоев
кабеля и т.п.
• Непрерывной называется случайная величина,
возможные значения которой непрерывно
заполняют некоторый промежуток или всю
числовую ось от минус бесконечности до плюс
бесконечности. Возможные значения
непрерывных случайных величин не могут
быть заранее перечислены, т.к. непрерывно
заполняют некоторый промежуток, т.е. даже в
весьма малых интервалах они могут
принимать бесконечное множество значений.
• Пример непрерывной случайной величины параметры режима - бесчисленное множество
ординат непрерывных графиков напряжения,
тока, мощности.
• Примером смешанной случайной величины
служит нагрузка ЭП с непрерывным
графиком за время включения, но
работающего с паузами или участками
холостого хода.
Законы распределения случайных
величин
Значения, которые случайная величина может
получить с той или иной вероятностью в
рассматриваемом
случайном
явлении,
называются её возможными значениями. Так,
случайные величины X,Y,Z будут иметь
соответственно возможные значения x,y,z.
Совокупность возможных значений случайной
величины и вероятностей того, что она примет
эти возможные значения, образует закон
распределения случайной величины.
• Законом распределения случайной величиной
называется соотношение, устанавливающее связь
между возможными значениями случайной
величины и соответствующими им вероятностями.
• Закон распределения может задаваться в
табличной, графической и аналитической формах.
• Для дискретных случайных величин закон
распределения случайной величины наиболее
просто задаётся в табличной форме - в виде
таблицы распределения. В верхней строке этой
таблицы указываются все значения, принимаемые
этой случайной величиной, а в нижней - количество
этих значений. Такая таблица называется рядом
распределения.
Поскольку подсчёт вероятностей ведётся по
всей совокупности значений случайной
величины, т.е. мы имеем полную группу
несовместных событий, то сумма
вероятностей всех возможных значений
дискретной случайной величины равна
единице.
• Ряд распределения становится более
наглядным,
если
его
представить
графически. Для этого по оси абсцисс
откладываются
значения
дискретной
случайной величины, а по оси ординат - их
вероятности.
Полученные
точки
соединяются отрезками прямых, хотя в
промежутках
между
дискретными
случайными величинами график не имеет
смысла. Полученная фигура называется
многоугольником распределения
Для непрерывной случайной величины ряд
распределения не существует, т.к. вероятность
любого конкретного значения равна 0. Поэтому
для непрерывных случайных величин
определяют вероятность попадания не в точку, а
в некоторый интервал, а универсальной
характеристикой случайной величины любого
типа является функция
распределения. То
есть, для
количественной оценки вероятностей как
непрерывных, так и дискретных, и смешанных
случайных величин вводят функцию
распределения.
• Функцией распределения случайной
величины называется вероятность того, что
случайная величина Х будет принимать
значения, меньшие некоторой неслучайной
величины х, т.е. вероятность выполнения
неравенства X<x, или
F(x) - это положительная возрастающая функция,
изменяющаяся от 0 до 1.
Чтобы найти функцию распределения F(x) дискретной
случайной величины, можно использовать ряд
распределения, производя суммирование слева направо.
Текущие значения F(x) получаются
суммированием вероятностей
случайных величин, меньших х.
Функцию F(x) называют интегральной
функцией распределения или интегральным
законом распределения.
• Пример: Вероятность, того, что величина Х
принимает определённые значения
приведена в табл. Построить функцию
распределения F(х)
X
2
5
8
P
0,4
0,5
0,1
Пример ТЭЦ
• Пример:
случайная величина Х задана
интегральной функцией распределения:
Определить вероятность того, что в
результате измерений величина Х
примет значение, заключённое в
интервале (0;1/3)
Дифференциальным законом распределения,
f (x), случайной величины Х называют
производную от её интегрального закона
распределения или от интегральной
функции, то есть
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х
примет значения, лежащие в интервале (a, b), определяется
равенством
Обычно f (x) изображается в виде кривых. Площадь под кривой
f(x) равна вероятности попадания случайной величины в
рассматриваемый интервал
• Вероятность попадания в заданный интервал
DХ равна площади выделенной фигуры.
• Функция распределения F (x) и плотность
распределения f (x) полностью описывают
случайную величину. Однако, в практических
задачах такое описание может оказаться
трудно осуществимым. Поэтому используют
числовые характеристики, отражающие
существенные особенности законов
распределений.
• Их в теории вероятностей называют
моментами. В практических задачах чаще
всего оперируют начальными моментами I и II
порядков и центральными моментами II, III, IV
порядков.