Биномиальный закон распределения.

1
Биномиальный закон распределения.
Пусть заданы числа n Î N и p (0£ p £ 1). Тогда каждому целому числу из
промежутка [0; n] можно поставить в соответствие вероятность, рассчитанную
по формуле Бернулли. Получим закон распределения случайной величины
(назовём её b)
b
0
¼
k
¼
n
Р
¼
¼
Cnk p k (1 - p ) n - k
¼
¼
Будем говорить, что случайная величина b распределена по закону Бернулли.
Такой случайной величиной является частота появления события А в n
повторных независимых испытаниях, если в каждом испытании событие А
происходит с вероятностью p.
Рассмотрим отдельное i-е испытание. Пространство элементарных
исходов для него имеет вид
W = {A, A}
Определим на этом пространстве случайную величину xi следующим образом:
xi = 1, если происходит событие А;
xi = 0, если происходит событие A
Закон распределения случайной величины xi рассматривался в предыдущем
параграфе.
1
0
xi
Р
p
q = 1–p
Mx = ×р; Dx = рq
Для i = 1,2,¼,n получаем систему из n независимых случайных величин xi,
имеющих одинаковые законы распределения. Если теперь сравнить законы
распределения двух случайных величин b и
вывод: b =
n
å Ni .
i =1
n
å Ni , то можно сделать очевидный
i =1
Отсюда следует, что для случайной величины b, имеющей
2
закон распределения Бернулли, математическое ожидание и дисперсия
определяются формулами
n
Mb = M å ξ i =
n
å Mξ i =
n
å p = np;
i =1
i =1
i =1
n
n
n
Db = D å ξ i =
i =1
å Dξ i =
i =1
å pq = npq
i =1
Найдём оценку величины р — вероятности успеха в одном испытании
некоторого биномиального эксперимента. Для этого проведём n испытаний и
подсчитаем х – число успехов. Оценку р* неизвестной величины р определим
x
формулой р* = .
n
Пример.
Из 20 отобранных для контроля образцов продукции 4 оказались
нестандартными. Оценим вероятность того, что случайно выбранный экземпляр
продукции не отвечает стандарту отношением р* = 4/20 = 0,2.
Так как х случайная величина, р* – тоже случайная величина. Значения р*
могут меняться от одного эксперимента к другому (в рассматриваемом случае
экспериментом является случайный отбор и контроль 20-ти экземпляров
продукции). Каково математическое ожидание р*? Поскольку х есть случайная
величина, обозначающая число успехов в n испытаниях по схеме Бернулли, Мx
= np. Для математического ожидания случайной величины р* по определению
æxö
получаем: Mp* = M ç ÷ , но n здесь является константой, поэтому по свойству
ènø
математического ожидания
Mp* =
1
1
Mx = np = p
n
n
Таким образом, “в среднем” получается истинное значение р, чего и
следовало ожидать. Это свойство оценки р* величины р имеет название: р*
является несмещённой оценкой для р. Отсутствие систематического
отклонения от величины оцениваемого параметра р подтверждает
целесообразность использования величины р* в качестве оценки. Вопрос о
точности оценки пока оставляем открытым.