Математический анализ 2 семестр Лекция 9 Сходимость условная и абсолютная.

Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ
2 семестр
Лекция 9
Сходимость условная и абсолютная.
Признаки сходимости.
16 апреля 2014 года
Лектор: Доцент НИЯУ МИФИ, к.ф.-м.н.
Тищенко Мария Маратовна
1
Примеры
2360. Сходится ли интеграл?
2
dx
0 ln x
2
Примеры
Решение 2360. Подынтегральная функция
1
f ( x) 
ln x
неограниченно возрастает в окрестности 1. Точка 1
является внутренней точкой промежутка интегрирования,
поэтому разобьем интеграл на два.
2
1
2
dx
dx
dx
0 ln x  0 ln x  1 ln x
3
Примеры
В окрестности 1 подынтегральная функция эквивалентна:
ln x
1
( x  1) при x  1,
ln x
1
при x  1
( x  1)
Так как степень (x-1) равна 1, интеграл расходится по
признаку сравнения со степенной функцией.
Ответ: интеграл расходится.
4
Примеры
2361. При каких p сходится интеграл?


x p 1e  x dx
0
5
Примеры
Решение 2361. Промежуток интегрирования
неограничен, поэтому мы должны рассматривать
поведение в окрестности бесконечно удаленной точки.
1 случай
p 1  0
В данном случае в окрестности 0 нет особенности,
подынтегральная функция ограничена. Исследовать
сходимость надо только на бесконечности.
x p 1e  x  ( x p 1e

x
0
p 1  x
e dx 

 Me
x
 2x
2
)e
x
2
 Me
x
2
 2x 
0
dx  M (2e | )  2M
0
По признаку сравнения интеграл сходится.
6
Примеры
2 случай
p 1  0
Подынтегральная функция неограниченно возрастает
в окрестности x=0, если p<1 .
Разобьем промежуток интегрирования на два


2
x p 1e x dx   x p 1e x dx 

0
0
2

x p 1e  x dx
7
Примеры
2
x
e dx  
p 1  x
0
1
1 p
x
2
0
e
x

1
1 p
x
1
x1 p
e  x dx, e 2  e  x  1,
при x  0
В первом интеграле экспонента ограничена и не обращается
в 0, по признаку сравнения несобственный интеграл 2 рода
сходится, если степень знаменателя 1-p < 1 или p>0.
Второй интеграл сходится, так как при p < 1 степенная
функция на бесконечности стремится к 0, то есть ограничена
на множестве (2, +∞ ), а интеграл от экспоненты сходится.
Ответ: интеграл сходится при p>0.
8
Примеры
Пример. При каких p и q сходится интеграл?

arctgx
2 | x  3 |p  | x |q dx
9
Примеры
Решение. Промежуток интегрирования неограничен,
поэтому мы должны рассматривать поведение
интеграла в окрестности бесконечно удаленной точки.
Кроме того, в окрестности 0 и 3 подынтегральная
функция неограниченная. Исследовать сходимость надо
в окрестности 0, 3 и на бесконечности.
При x , стремящемся к 0
arctgx
f ( x) 
| x  3 | p  | x |q
x
c

при x  0
p
q
q 1
3 | x |
| x|
Несобственный интеграл 2 рода сходится абсолютно
при q – 1 < 1 или при q < 2.
10
Примеры
При x, стремящемся к 3
arctgx
arctg 3
c
f ( x) 


при x  3
p
q
p
q
p
| x 3| | x |
| x  3 | 3
| x 3|
Несобственный интеграл 2 рода сходится абсолютно
при p<1.
При x, стремящемся к бесконечности

arctgx
c
2
f ( x) 
 p q  p  q при x  
p
q
| x 3| | x |
x x
x
11
Примеры
Несобственный интеграл 1 рода (при x, стремящемся к
бесконечности ) сходится абсолютно при p + q > 1.
Объединяем все 3 условия, получаем
p <1,q<2 и 1–p<q.
Ответ. При p < 1 и 1 – p < q <2 сходится интеграл

arctgx
2 | x  3 |p  | x |q dx
В остальных случаях интеграл расходится.
12
Примеры
2363. Исследовать сходимость интеграла

xm
0 1  xn dx, (n  0)
Примеры
Решение № 2363. Разобьем интеграл на два, чтобы
анализировать сходимость в окрестности 0 и окрестности
бесконечности.

3
xm
xm
0 1  x n dx  0 1  x n dx 

xm
3 1  x n dx
Рассмотрим первый интеграл. Так как n > 0, то знаменатель
стремится к 1, подынтегральная функция эквивалентна
xm
m
f ( x) 

x
при x  0
n
1 x
тогда несобственный интеграл 2 рода сходится при m > -1.
Примеры
Рассмотрим второй интеграл в окрестности бесконечности.
Так как n > 0, то подынтегральная функция эквивалентна
xm
1
f ( x) 
 n m при x  
n
1 x
x
тогда несобственный интеграл 1 рода сходится при n - m > 1.
Ответ: интеграл сходится при m > - 1, n - m > 1. При остальных
значениях параметров интеграл расходится.
Примеры
Пример. При каких p сходится интеграл.

1
 | x  b |p dx
Решение. Разобьем промежуток интегрирования на 4
части, чтобы каждая содержала только одну
особенность.

1
 | x  b |p dx 
b3

b
b 1
b
1
1
 | x  b |p dx  b1 | x  b |p dx 

1
1
dx

dx
p
p

|xb|
|xb|
b3
Примеры
Сходимость первого и четвертого интегралов (на
бесконечности) будет при p>1.
Сходимость второго и третьего интегралов (в окрестности
конечной точки x=b) будет при p<1.
Ответ: интеграл

1
 ( x  b) p dx
всегда расходится, так условия сходимости на бесконечности и
в конечной точке взаимоисключающие.
Примеры
2370 а). Исследовать сходимость интеграла
1

0
xn
1 x
4
dx,
Примеры
Решение № 2370 а). Разобьем интеграл на два, чтобы
анализировать сходимость в окрестности 0 и окрестности
1бесконечности.
1

0
0,5
xn
1 x
4
dx 

0
1
xn
1 x
4
dx 

0,5
xn
1 x
4
dx
Рассмотрим первый интеграл. Знаменатель стремится к 1,
подынтегральная функция эквивалентна
f ( x) 
xn
1  x4
 x n при x  0
тогда несобственный интеграл 2 рода сходится при n > -1.
Примеры
Рассмотрим второй интеграл. Числитель стремится к 1,
подынтегральная функция эквивалентна
f ( x) 
xn
1 x
4

xn
(1  x)(1  x)(1  x )
2

1
(1  x)
1
тогда несобственный интеграл 2 рода сходится.
Ответ. Интеграл сходится при n > -1.
при x  1
2
4
Абсолютная и условная сходимость
Понятие абсолютной и условной сходимости.
Рассмотрим интеграл от модуля


f ( x ) dx
a
Определение. Если сходится интеграл


f ( x ) dx
a
то исходный интеграл


f ( x )dx
a
называется абсолютно сходящимся.
21
Абсолютная и условная сходимость
Определение. Если сходится интеграл


f ( x )dx
a
а интеграл


f ( x ) dx
a
расходится, то исходный интеграл


f ( x )dx
a
называется условно сходящимся (неабсолютно).
22
Абсолютная и условная сходимость
В дальнейшем мы будем считать, что функция f(x)
задана на полупрямой a < x <+∞ и для любого R > a
существует определенный интеграл
R
 f ( x)dx
a
Утверждение 1.
Если интеграл


f ( x )dx
a
абсолютно сходится, то он является сходящимся.
23
Абсолютная и условная сходимость
Доказательство:
Дано: Интеграл


f ( x ) dx
a
сходится, тогда по критерию Коши
b
  0 b  b( )  a : b  b, b  b   | f ( x) | dx  
b
Тогда по свойствам неравенств верно, что
b
b
b
b
 f ( x)dx   | f ( x) | dx
24
Абсолютная и условная сходимость
Тогда
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 f ( x)dx  
b
что по критерию Коши означает, что интеграл


f ( x)dx
a
сходится.
25
Признак Дирихле-Абеля.
Теорема 4. Признак Дирихле-Абеля.
Пусть 1) функции f(x), g(x) определены на
полупрямой [a, +∞ ] и для любого R > a существует
определенный интеграл
R
 f ( x) g ( x)dx
a
2) f(x) непрерывна на [a, +∞ ] и имеет на [a, +∞ ]
ограниченную первообразную F(x) ,
3) функция g(x) монотонно не возрастает на
полупрямой [a, +∞ ] ,
4) функция g(x) стремится к 0 при x, стремящемся
к бесконечности ,
5) функция g(x) имеет непрерывную производную
g’ (x) на [a, +∞ ] ,
тогда сходится интеграл

 f ( x) g ( x)dx
a
26
Признак Дирихле-Абеля
Доказательство. По Критерию Коши интеграл


f ( x ) g ( x )dx
a
сходится тогда и только тогда, когда
  0 b  b( )  a : b  b, b  b 
b
 f ( x) g ( x)dx  
b
Интеграл, записанный под модулем, преобразуем по
формуле интегрирования по частям
b
 f ( x) g ( x)dx  F ( x) g ( x)
b
b
b
b
  F ( x) g ( x)dx
b
27
Признак Дирихле-Абеля
Так как F(x) - ограниченная функция
K : x  [a, ) | F ( x) | K
Так как функция g(x) монотонно не возрастает на
полупрямой [a, + ∞ ] и стремится к 0, то
g ( x )  0, g '( x )  0
Тогда для интеграла верны оценки:
b
 f ( x) g ( x)dx  F ( x) g ( x)
b
b
b
b
  F ( x ) g ( x )dx 
b
b
 K [ g (b)  g (b)]  K  (  g ( x ))dx 
b
28
Признак Дирихле-Абеля
 K [ g (b)  g (b)]  K ( g (b)  g (b)) 
 2 Kg (b)
Вернемся к критерию Коши. Возьмем произвольное
 0
так как g(x) стремится к 0 при x, стремящемся к 0, то
  0 b : b  b верно g (b) 

2K
29
Признак Дирихле-Абеля
Тогда
  0 b : b  b, b  b верно
b
 f ( x) g ( x)dx  
b
что и означает сходимость исходного интеграла.
Теорема доказана.
.
30
Примеры.
2379. Исследовать на абсолютную и условную
сходимость


0
x cos x
dx.
100  x
31
Примеры.
Решение № 2379. Рассмотрим в каких точках
подынтегральная функция неограниченна. Такая точка
x= - 100, она не принадлежит промежутку интегрирования.
Рассматриваем сходимость на бесконечности. Функция
cosx имеет ограниченную первообразную sinx , второй
сомножитель g(x)
x
1
 0,5 при x  
100  x x
монотонно стремится к 0, следовательно, несобственный
интеграл 1 рода
g ( x) 


0
x cos x
dx
100  x
сходится по признаку Дирихле-Абеля.
32
Примеры.
Рассмотрим интеграл из модулей.


x cos x
x | cos x |
dx  
dx 
100  x
100  x
0

0



0



0

x (1  cos 2 x)
dx 
2(100  x)
x cos 2 x
dx  
100  x
0
x
1
dx 
2(100  x)
2


0
x cos 2 x
dx
(100  x)
33
Примеры.
Второй из полученных интегралов сходится по
признаку Дирихле-Абеля, а первый расходится по
признаку сравнения со степенной функцией на
бесконечности. Сумма сходящегося и расходящегося
интеграла расходится. Следовательно, интеграл из
модулей расходится, то есть несобственный интеграл
1 рода сходится условно.
Ответ: несобственный интеграл сходится условно.
34
Примеры
Пример № 2368. Сходится ли интеграл?


0
sin 2 x
dx
x
Примеры
Решение № 2368. Разобьем интеграл на два, чтобы
анализировать сходимость в окрестности 0 и окрестности
бесконечности.


0
2
sin 2 x
sin 2 x
dx  
dx 
x
x
0

1  cos 2 x
I2  
dx 
2x
2


2


2
sin 2 x
dx  I1  I 2
x
1
dx 
2x


2
cos 2 x
dx
2x
Рассмотрим первый интеграл. И числитель и знаменатель
стремятся к 0. По 1 замечательному пределу
подынтегральная функция ограничена. Первый интеграл не
является несобственным, это обычный определенный
интеграл от ограниченной, непрерывной функции.
Примеры
Рассмотрим второй интеграл в окрестности бесконечности.

1  cos 2 x
I2  
dx 
2x
2


2
1
dx 
2x


2
cos 2 x
dx
2x
тогда несобственный интеграл 1 рода расходится как сумма
сходящегося и расходящегося интегралов
Ответ: интеграл расходится.
Пример
Пример. Исследовать на абсолютную и условную сходимость
интеграл


1
sin( x )
dx

x
Решение. Положим
f ( x )  sin( x ), g ( x ) 
1
x
Тогда, видим, что при
 0
F ( x)   cos( x), x  R | F ( x) | 1, g ( x) 
0
x 
38
Пример
Условия признака Дирихле-Абеля выполнены, интеграл
сходится.
Исследуем на абсолютную сходимость. Так как
| sin( x) | 1 для x  R

.

1
sin( x )
dx 

x


1
| sin x |
dx 

x


1
1
dx

x
По признаку сходимости для степенной функции
α > 1 интеграл сходится абсолютно.
Рассмотрим
при
0  1
Покажем, что интеграл из модулей расходится.
39
Пример
| sin( x ) | sin 2 ( x ) для x  R


1
sin( x )
dx 

x



1
| sin x |
dx 

x
1  cos 2 x

dx 

2x
1


1


1
sin 2 x
dx 

x
1
dx 

2x


1

1  cos 2 x
1 2 x dx 
cos 2 x
dx

2x
Поскольку второй из полученных интегралов отличается
от уже рассмотренного заменой sin(x) на cos(x), то он
сходится, а первый интеграл расходится при
0  1
40
Пример
Если мы рассматриваем сумму сходящегося и
расходящегося интеграла, то сумма расходится. Итак мы
получили, что рассматриваемый интеграл сходится
условно при
0  1
Рассмотрим теперь случай
 0
Если
 0
то

 sin( x)dx  lim cos( x)
a
B
B
a
 lim cos( B)  cos(a )
B
41
Пример
Интеграл расходится, так как нет предела функции cos(x).
Если
 0
То обозначим
   ,   0


1
sin( x )
dx 

x


x  sin( x )dx
a
Докажем, что интеграл расходится по критерию Коши.
Запишем отрицание сходимости по критерию Коши.
42
Пример


f ( x )dx расходится
a
   0 : b  a b  b, b  b :
b
 f ( x )dx  
b
Будем доказывать расходимость интеграла, выберем
  1, b  a b1  [b]  1, b1  N , b1  b, b1  1,
b   ( 16  2b1 )  b, b   ( 65  2b1 )  b :
b





x
sin(
x
)
dx

(
b

b
)
min
(
b
)
sin( x ) 

4
6
 1  12 
2
3
1
b
Итак, интеграл расходится по критерию Коши при
 0
43
Пример
Ответ: интеграл


1
sin( x )
dx

x
расходится при
 0
интеграл сходится условно при
0  1
интеграл сходится абсолютно при
 1
44
Пример
График интегрального синуса
5
4
y=1/x
3
2
y
y=F(x)
1
y=(sinx)/x
0
-1
0
2
4
6
8
10
12
y=sinx
-2
x
45
Дистанционный курс высшей математики
НИЯУ МИФИ
Математический анализ.
Лекция 9 завершена.
Следующая лекция № 10 состоится
23 апреля 2014 года
и будет посвящена применению признаков
абсолютной и условной сходимости
и понятию интеграла в смысле главного значения.
Спасибо за внимание!
46