Задача №1. Пусть случайная величина (далее везде – с.в.) ξ

Задача №1.
Пусть случайная величина (далее везде – с.в.) ξ – это число различных цифр, которые выпали на
верхних гранях при одном подбрасывании трех правильных игральных костей. Построить ряд
распределения и функцию распределения с.в. ξ.
Задача №2.
Подбрасываются 2 правильные игральные кости. Построить ряд распределения с.в. ξ - произведение
двух чисел, выпавших на верхних гранях.
Задача №3.
Дан график функции распределения F(x) случайной величины ξ. Как изменится этот график,
если 1) прибавить к случайной величине 2? 2) вычесть из случайной величины 1? 3) умножить
случайную величину на 2? 4) изменить знак величины на обратный?
Задача №4.
Дан график плотности распределения p(x) случайной величины ξ. Как изменится этот график,
если 1) прибавить к случайной величине 2? 2) вычесть из случайной величины 1? 3) умножить
случайную величину на 3? 4) изменить знак величины на обратный?
Задача №5.
Дискретная случайная величина ξ имеет ряд распределения
ξ
-2
0
1
5
Р
1/4
1/4
1/4
1/4
Построить ряды и функции распределения следующих случайных величин 1) 2 ξ +5, 2) ξ2+1,
3) |ξ|, 4) 2ξ, 5) min(ξ,1), 6) 1/(3-ξ).
Задача №6.
Пять писем, которые предназначены 5-ти различным людям раскладывают случайным образом
по 5 конвертам (на которых написаны соответствующие адреса) и кладут в почтовый ящик. Пусть
случайная величина ξ – число адресатов, которые получат письма, предназначенные именно для
них. Построить ряд распределения с.в. ξ.
Задача №7.
Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид
kx2 (1  x) 2 ,0  x  1,
p ( x)  
0, иначе.
Найти: 1) значение константы k; 2) вероятность того, что ξ ≥0.75.
Задача №8.
Плотность распределения случайной величины ξ имеет вид
0.2, 2  x  7,
p ( x)  
0, иначе.
Найти: 1) вероятность того, что ξ>3; 2) функцию распределения с.в. ξ; 3) вероятность того, что
ξ<5; 4) вероятность того, что ξ>8; 5) вероятность того, что 5≤ ξ≤6.5; 6) вероятность того, что ξ<1;
7) вероятность того, что ξ<5 при условии, что ξ>3.5.
Задача №9.
Пусть ξ – случайная величина, равная времени до того момента, как Вы закончите делать эту
домашнюю работу. Предположим, что плотность распределения случайной величины ξ имеет вид
 1  3x
 e , x  0,
p( x)   3
0, иначе.

Найти: 1) вероятность того, что 3≤ξ≤3; 2) функцию распределения с.в. ξ; 3) вероятность того,
что ξ≥24; 4) вероятность того, что ξ≤-3; 5) вероятность того, что ξ<3 при условии, что ξ<12.
Задача №10.
Функция распределения случайной величины η имеет вид
0, x  0,
7
 x 2 , 0  x  1,
8
 7
F ( x)   , 1  x  7,
8
7 1
 8  8 ( x  7), 7  x  8,

1, x  8.
Найти: 1) вероятность того, что η<5; 2) плотность распределения с.в. η; 3) вероятность того, что
0.5<η<2; 4) вероятность того, что η>7.5 или η<3.
Задача №11.
Время (в минутах), которое необходимо Вам для того, чтобы позавтракать, есть случайная
величина η, которая имеет плотность распределения
3 2
 x , 0  x  4,
p( x)   64
0, иначе.
1. Чему равна вероятность того, что Вы позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты? 2) Чему равна
вероятность того, что в течение недели, Вы ровно 4 раза позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты?
(Предполагается, что Вы завтракаете каждый день, один раз в день). 3) Чему равна вероятность
того, что Вы позавтракаете быстрее, чем за 3 минуты в следующий понедельник или вторник?
Задача №12.
В процессе автоматического контроля качества, компьютер проверяет на прочность веревку, по 10
метров за один раз. Если дефекта на участке не обнаруживается, то компьютер переходит к
следующему участку. Если же дефект обнаружен, то этот участок подвергается повторной проверке
с целью локализации места нахождения дефекта. Предположим, что на 10-тиметровом участке
веревки обнаружился 1 дефект. Пусть случайная величина χ - местоположение дефекта. 1) Найти
плотность распределения
с.в. χ. 2) Найти функцию распределения с.в. χ. 3) Чему равна
вероятность того, что χ>8? 4) Чему равна вероятность того, что 2.3<χ<5.2? 5) Чему равна
вероятность того, что χ<2 при условии, что χ<5?
Задача №13.
Пусть случайная величина ς имеет равномерное распределение от 0 до 14. 1) Чему равна
вероятность того, что ς<20 или ς>130? 2) Чему равна вероятность того, что ς<5 или ς>145 при
условии, что ς<20 или ς>130? 3) Чему равна вероятность того, что ς<1 при условии, что ς<5 или
ς>145?
Задача №14.
Пусть случайная величина ς имеет экспоненциальное распределение с параметром 1/12. 1) Чему
равна вероятность того, что ς>12, при условии, что ς>3? 2) Чему равна вероятность того, что ς<3
при условии, что ς<10? 3) Чему равно значение A при котором вероятность того, что ς<A равна
0.9?
Задача №15.
Пусть случайная величина ς имеет стандартное нормальное распределение. Чему равна вероятность
того, что 1) ς<1.47?, 2) ς>1.47? 3) ς<-1.47? 4) ς>-1.47? 5) ς=1.47? 6) -1.47<ς<1.47?
Задача №16.
Пусть случайная величина χ имеет нормальное распределение с параметрами m=2 и σ=3. Чему
равна вероятность того, что 1) χ<1.62?, 2) χ>-8.49? 3) -4<χ<1?
Задача №17.
Пусть случайная величина ς имеет стандартное нормальное распределение. Чему равно значение z
для которого 1) P(ς<z)=0.95? 2) 2) P(ς>z)=0.15? 3) P(-z<ς<z)=0.65?
Задача №18.
Пусть случайная величина χ имеет нормальное распределение с параметрами m=3 и σ=1.2.
1) Чему равно значение z для которого P(χ<z)=0.1? 2) Чему равна вероятность того, что χ<1?
3) Чему равна вероятность того, что χ>5 или χ<1? 4) Чему равна вероятность того, что χ<3 при
условии, что χ>1?
Задача №19.
Двенадцать процентов населения страны являются левшами. Пусть случайная величина ξ есть
число левшей в аудитории, в которой присутствует 100 человек. Чему равна вероятность того,
что ξ>4?
Задача №20.
Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения, представленную на рисунке ниже.
1) При каких значениях z вероятность события {ξ=z} больше нуля? 2) Найти вероятность того,
что ξ≤0. 3) Найти вероятность того, что ξ<0.
Задача №21.
Пусть случайная величина ξ имеет функцию распределения, представленную на рисунке ниже.
Чему равна вероятность того, что 1) ξ≤1? 2) ξ≤10? 3) ξ≥10? 4) ξ=10? 5) |ξ-5|≤0.1?
Задача №22.
Какие из функций, изображенных на графиках (a)-(f), являются функциями распределения? Ответ
обосновать.
Теория вероятностей и математическая статистика
Домашняя работа №2
ФИО: ________________________
Указания: Домашняя работа выполняется от руки, на отдельных скрепленных листах А4 или в
школьных тетрадях (12\18 стр). К листам/тетрадям прикрепляется данный лист, заполненный
необходимой информацией. Без данного листа домашняя работа не принимается и за нее
студент получает 0 баллов. В случае если домашняя работа написана неразборчивым
почерком, студент получает 0 баллов за эту домашнюю работу. Если работа сдана не в срок, то
за нее студент получает 0 баллов. Переписывание и поздняя сдача домашней работы не
предусматривается, если на то нет уважительной причины (которая подтверждается
соответствующей официальной справкой/заявлением). Если при сдаче своей домашней работы
студент не в состоянии ответить на вопросы по написанному материалу и/или повторить
собственные вычисления, то студент получает 0 баллов за эту домашнюю работу без права
переписывания. Каждое задание оценивается в X баллов. За задание можно получить либо 0
баллов, если задание решено неверно, либо 0.5X, если в задании допущена ошибка в расчетах,
либо X баллов, если ход решения и ответ являются правильными. Если в задании дан только ответ
и он не сопровождается соответствующими пояснениями, то за задание студент получает 0
баллов. Разбор домашних работ проходит только на консультациях. Числовые ответы даются в
виде десятичной дроби и, при необходимости, округляются до 4-го знака после запятой. В
противном случае, ответ не засчитывается.
Номер задачи
(баллы)
№1 (6 балла)
№3 (6 балла)
№5 (6 балла)
№7 (8 баллов)
1)
2)
№8 (14 баллов)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
№9 (10 баллов)
1)
2)
3)
4)
5)
№10 (8 баллов)
1)
2)
3)
4)
№11 (9 баллов)
1)
2)
3)
Ответ
Номер задачи
Ответ
не заполнять
не заполнять
не заполнять
№2 (6 балла)
№4 (6 балла)
№6 (6 балла)
№12 (10 баллов)
1)
2)
3)
4)
5)
№13 (9 баллов)
1)
2)
3)
№14 (9 баллов)
1)
2)
3)
№15 (12 баллов)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
№16 (15 баллов)
1)
2)
3)
не заполнять
не заполнять
не заполнять
не заполнять
не заполнять
не заполнять
не заполнять
не заполнять
Номер задачи
(баллы)
№18 (16 баллов)
1)
2)
3)
4)
№19 (4 балла)
№20 (9 баллов)
1)
2)
3)
№21 (20 баллов)
1)
2)
3)
4)
5)
№22 (20 баллов)
№17 (6 баллов)
1)
2)
3)
Ответ