Пример3
advertisement
2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше чем от прямой х+1=0. Пусть точка М(x;y) принадлежит искомой прямой. Расстояние междуточками А и М равно: AM ( x x A ) 2 ( y y A ) 2 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 . Расстояние от точки М до прямой х+1=0 равно d=х-(-1)=х+1. По условию задачи d=2*АМ. Подставляя, получаем: x 1 2 ( x 2 ) 2 ( y 2 ) 2 . Возводим в квадрат и упрощаем: x 12 4( x 2 )2 ( y 2 )2 x 2 2 x 1 4( x 2 4 x 4 y 2 4 y 4 ) x 2 2 x 1 4 x 2 16 x 4 y 2 16 y 32 3 x 2 18 x 4 y 2 16 y 31 0 Преобразуем уравнение: 3 x 2 18 x 4 y 2 16 y 31 0 3( x 2 6 x ) 4( y 2 4 y ) 31 3( x 2 2 * x * 3 9 9 ) 4( y 2 2 * y * 2 4 4 ) 31 3( x 3 ) 2 27 4( y 2 ) 2 16 31 3( x 3 ) 2 4( y 2 ) 2 12 ( x 3 )2 ( y 2 )2 1 4 3 Данная кривая – эллипс. 3. Составить уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат, с фокусами на оси ОХ, если большая ось его равна 8, а расстояние между директрисами равно 16. Уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат имеет вид: x2 y 2 1 a2 b2 По условию задачи, 1) большая полуось равна 8, следовательно a=4. a 2) расстояние между директрисами равно 16. Т.е.: 2 16 Учитывая, что 1 b2 , получаем: a2 Получаем b2=12. Окончательно получаем: x2 y 2 1 16 12 a 1 b2 a2 8 или 1 b2 1 , 16 2
