Тема 2. Разделяющиеся переменные

Тема 2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида P( x)dx  Q( y )dy  0
(2.1)
называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.
Его общим интегралом будет
 P( x)dx   Q( y)dy  C ,
(2.2)
где С – произвольная постоянная.
Уравнение вида M ( x) P( y )dx  N ( x)Q( y )dy  0
или y 
(2.3)
dy
 f ( x) g ( y ),
dx
(2.4)
а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к
уравнениям (2.3) или (2.4), называются уравнениями с разделяющимися переменными.
Разделение переменных в уравнениях (2.3), (2.4) выполняется следующим образом.
Предполагая, что N ( x)  0, P( y )  0 , обе части уравнения (2.3) делятся на N ( x), P( y ) .
Обе части уравнения (2.4) умножаются на dx и делятся на g ( y )  0 . В результате получают
уравнения с разделенными переменными (т.е. уравнение вида (2.1)):
M ( x)
Q( y )
dx 
dy  0,
N ( x)
P( y )

f ( x)dx 
M ( x)
Q( y )
dx  
dy  C ,
N ( x)
P( y )
Пример
2.1.
Найти

dy
 0, которые интегрируются, согласно формуле (2.2):
g ( y)
f ( x)dx  
dy
 C.
g ( y)
общее
уравнение
дифференциального
уравнения
( xy  2 x)dx  ( xy  3 y )dy  0.
Данное уравнение можно представить в виде x( y  2)dx  y ( x  3)dy  0.
Предположим, что x  3  0,
y  2  0 и разделим обе части уравнения на ( x  3)( y  2),
получим уравнение с разделенными переменными
x
y
dx 
dy  0.
x 3
y2
Интегрируя его, согласно формуле (2.2), последовательно получаем следующее:
x
y
dx  
dy  C ,
x 3
y2


3 

2 
 1  x  3 dx   1  y  2 dy  C,
x  3ln | x  3 |  y  2 ln | y  2 | ln C ,
ln e x  ln | x  3 |3  ln e y  ln | y  2 |2  ln C,
ln  e x  | x  3 |3 e y  | y  2 |2   ln C ,
e x  y ( y  2)2 ( x  3)3  C.
Последнее равенство является общим интегралом данного уравнения. При его нахождении
y  2  0. Однако функции x  3 и y  2 могут
были приняты ограничения x  3  0,
являться решениями исходного уравнения. Проверим это, подставляя x  3 и y  2 в
исходное уравнение. Если x  3 , то выражение (3 y  2  3)d (3)  (3 y  3 y )dy  0 переходит в
тождество. Аналогично и при подстановке y  2 . Следовательно, x  3 , y  2 - частные
решения данного уравнения.
Пример 2.2. Найти частное решение уравнения xx  t  1, удовлетворяющее начальному
условию x(1)  0.
Запишем данное уравнение в дифференциальной форме (2.1) xdx  (t  1)dt  0.
Теперь проинтегрируем последнее уравнение
C
 xdx   (t  1)dt  2 ,
x2 t 2
C
 t  ,
2 2
2
x 2  t 2  2t  C. – получили общее решение исходного уравнения.
Использовав
начальное
условие,
определим
значение
произвольной
постоянной
02  12  2 1  C, C  1.
Следовательно,
частное
решение
исходного
уравнения
имеет
вид
x 2  t 2  2t  1, x 2  (t 2  2t  1)  0, x 2  (t  1) 2  0, т.е. точка (0; 1).
Замечание. Уравнение вида y  f (ax  by  c) приводится к уравнению с разделяющимися
переменными с помощью замены t  ax  by  c.
Пример 2.3. Найти общее решение дифференциального уравнения y  4 x  2 y 1.
(2.5)
Для того, чтобы исходное уравнение являлось уравнением в разделяющихся переменных,
произведем замену t  4 x  2 y  1,
Поскольку y 
по переменной x :
(2.6)
dy dy dt
dy
  . найдем
. Для этого продифференцируем выражение (2.6)
dx dt dx
dt
dt
dy
 42 ,
dx
dx
dy 1 dt
   2.
dx 2 dx
Подставляем замену и выражение для
dy
в (2.5):
dx
Приводим последнее выражение к виду (2.1):
Теперь интегрируем:
dt
 2
t
 2 dx  C.
1 dt
 2  t.
2 dx
dt  2(2  t )dx  0,
dt
 2dx  0.
2 t
Вычислив
интегралы
и
выполнив
обратную
замену,
получим:
x  4 x  2 y 1  2ln | 4 x  2 y 1  2 | C.
Задание для работы на семинаре
Найти общее или частное решение следующих дифференциальных уравнений.
Ответ : arctg y  ln | Cx |
1. xy  y 2  1.
2.
 x  xy  dy   y  xy  dx  0 , y(1)=1.
Ответ : y  x  ln | xy | 0
1


2
 Ответ : 5  y   arctgx  C 
4


3. 4( x 2 y  y )dy  5  y 2 dx  0.

4. ydx  ( xy  x )dy  0. Ответ : x  y  ln C y
5. (1  e x ) y  ye x .
 Ответ : y  C (1  e ) 
6. e x 3 y dy  xdx.
 Ответ : e
7. y sin x  y ln y.
x

 Ответ : ln y  Ctg 
2

8. y  (2 x  1)ctgy.
 Ответ : ln | cos y | x  x

x
9. (1  e x ) ydy  e y dx  0.
3y
 3(C  xe  x  e  x ) 
2
C


ex
y
Ответ
:

e
(
y

1)

ln
C

x
e 1


10. sin y cos xdy  cos y sin xdx.

cos x 
 Ответ : C 

cos y 

yx


 x  C ; y  x  2 n, n  Z 
11. y  cos  y  x  .  Ответ : ctg
2


 Ответ : 2x  y  1  Ce 
12. y  y  2 x  3 .
x
13. y   4 x  y  3 .  Ответ : 4 x  y  3  2tg  2 x  C  
2
Задания для самостоятельной работы
1. 3e x sin ydx  (1  e x ) cos ydy  0.
2. 3x
2
y
 Ответ : sin y  C (e
1 2


dy  xdx  0  Ответ : 3 y  3 x  C ln 3 
2


3. y sin x  y cos x  2 cos x.
4. y  sin( y  x).
Ответ : y  C sin x  2
x
 1)3 
5. y '  sin( x  y)  sin( y  x).
6. ( xy  x3 y) y  1  y 2 .

y

tg  1


 2 cos x  C 
 Ответ : ln 2
y


tg  1
2


Ответ : Cx 
(1  x 2 )(1  y 2 )

Cx


 1
7. y  xy  1  x 2 y.  Ответ : y 
x 1 

8. y 2 ln xdx  ( y  1) xdy  0.

1
1 2 
 Ответ :  ln y  C  ln x 
y
2


9. (1  x3 ) y3dx  ( y 2  1) x3dy  0.

1
1 
 Ответ : ln y  2  C  x  2 
2y
2x 

10. ( xy  x) dy  y(1  x)dx  0.


y2
1
 Ответ :  2 y  ln | y | ln | x |   C 
2
x


2
11. стр.11, № 51 – 65, А.Ф. Филиппов, Сборник задач по дифференциальным
уравнениям.