Содержание Понятие поверхности в Евклидовом пространстве

С о де рж ан ие
1 . П о ня ти е по вер х но ст и в Е вкл и до во м пр ост р ан ст ве .
. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. .
2
2 . Н е яв но е за дан и е по ве рх нос т и . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .
5
3 . П а ра ме тр ич еск о е за да ни е по в ер хн ос ти . . .. . . .. . ..
5
4 . Я в но е за да ние по ве рх но сти . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .
6
5 . К а са те ль на я п л ос ко ст ь в то ч ке п ов ер хно с ти . .
7
6 . Н о рм ал ь и н орм а ль но е се чен и е . .. . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. .
9
7 . П е рв ая к ва дра т ич на я фо рма по ве рх но сти . .. . .. . . 1 0
8 . В т ор ая к ва дра т ич на я фо рма по ве рх но сти . .. . .. . . 1 1
9 . П о лн ая и с р едн я я кр ив из ны п о ве рх но ст ей . . . .. . . 1 5
10.
Г е од ез ич ес кие ли ни и , ге оде з ич ес ка я
к р ив из на . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. 16
11.
Т о чк и по ве рхн о ст и . .. . .. . .. . .. .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 17
12.
П л ощ ад ь по вер х но ст и . . .. .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 19
13.
О р ие нт ац ия пл о ск ос ти . . . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . 19
С о д е р жа н и е . . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . ... . . .. . .. . .. . .. . 2 1
1
1.
П о ня ти е
по в ер хн ос ти
в
Е вк ли д ов ом
п р ос тр ан ст ве .
—
П о ве рх но ст ь
т р ад иц ио нн ое
н аз ва ни е
для
д в у ме рн ого
м н ог оо бр аз ия
в
п р ос тр ан ст ве . Ин ог да э ти м
же
те р ми ном
н аз ы ва ют
п р ои зв ол ьн ое
п о дм но го об раз и е .
М а те ма ти че ски
с т ро го е
опр е де ле ни е
о с но вы ва ет ся
о с но вн ым
к о то ру ю
на
по ня тия х
я вл я ет ся
м ож но
п о ве рх но ст и
по н ят и е
п ре дс та ви ть
п о дв ер гн ут ый
Пример простой поверхности
то по ло гии .
п ро ст о й
к ак
Пр и
эт ом
п о ве рх но сти ,
ку со к
н е пр ер ы вн ым
п л ос ко ст и ,
д е фо рм а ци ям
( ра ст яж ен и ям , с жа ти ям и изг и ба ни ям ) .
В о зь мё м в пр ос т ра нс тв е Е 3 н е ко то ру ю п л о с ко сть
Е2
.
И зв ес тно
м е тр ич ес ки м
я в ля ет ся
чт о
е вк лид о ва
п р ос тр ан ст в о м
п ло ск о ст ь
(Е2, )
г де
от о бр аж ен ие м
я вл яе тс я
м ет ри к а
по
за кону
( M , N) = M N .
О т кр ыт ым
р а ди ус ом
r>0
кру г ом
це нтр о м
н аз ы в ае тся
п л ос ко ст и так и х , ч то
2
с
(M0,M)<r.
в
т оч ке
мн ож ес тв о
М0
и
т оч ек
M
М н ож ес тв о G E 2 н аз ыв ае тс я о тк р ы ты м , ес л и д л я
л ю бо й т оч ки М G с ущ ес тв уе т о т кр ыт ый кр уг с це нт ром
в то чк е М , со де р ж а щ и йс я в мн о же ст ве G.
G
. M
Е2
М н ож ес тв о G E 2 на зы ва ет ся з а мк ну ты м , есл и ег о
д о по лн ен ие C G д о Е 2 от кр ыто .
G
CG
Е
2
О к ре ст но ст ью
т оч ки
М Е2
н а з ыв ае тс я
л юб ое
о т кр ыт ое м нож е с т во , со д ерж а ще е то чк у М .
Т о чк а
М
на з ыв ае тс я
то ч ко й
п ри кос н ов ен ия
м н ож ес тв а G E 2 , ес ли к аж дая ок ре ст но сть эт ой т оч ки
и м ее т с G х о тя б ы о дн у о б щу ю то чк у . М н ож е ст во
т о че к
п ри кос н ов ен ия
мно ж ес тв а
G
в с ех
н а зы ва ет ся
з а мы ка ни ем мн о же ст ва G . За м ык ан ие лю бо г о м но же ст ва
з а мк ну то .
М н ож ес тв о
НсЕ2
на зы ва ет ся
с у ще ст ву ет дв у х о тк ры ты х в Е 2
т а ки х , ч то :
1)
2)
3)
3
;
1
;
1
.
св яз ны м ,
ес л и
м но жес т в G 1
не
и G2
О б ла ст ью н а е в кл ид ов ой пл о ск ос ти на зы в ае тся
в с як ое с вя зно е о тк ры то е мн о же ст во .
З а м к ну то й
о б ла ст ью
н а зы ва етс я
та кое
з а мк ну то е м но ж ес тв о , ко то р ое яв ля ет ся з ам ык ан ием
о б ла ст и .
З а мк ну та я
о гр ан и ч ен н ая
о бл ас ть
н а зы ва ет ся ко м па кт но й .
– д в а п ог руж е ни я о бл а с тей
П у ст ь f : G E 3 и g :
и
в ев кл и дов о п ро ст ра нст в о E 3 . П ог руж е ни я f и g
н а зы ва ют ся
т а ко й
С0
эк ви ва лен т ны ми ,
-
г о м е ом о рф из м
h:
ес ли
ч то
,
с у ще с т в уе т
и м еет
ме сто
р а ве нс тв о f = g * h .
В в ед ён но е
от н ош ен ие
э к ви ва ле нт нос т и
на
явл я ет ся
мн ож е ст ве
от нош е ни ем
в се х
п о гр уж е ний
о б ла ст ей пл ос к ос ти E 2 в п ро с тр ан ст во E 3 , т ак ка к э т о
о т но ше ни е реф л ек си вн о , сим м ет ри чн о и т р ан зи ти вн о .
Д е йс тв ит ел ьно ,
р еф ле кс ив н ос ть
о тн ош е ни я
С0
-
э к ви ва ле нт нос т и вы по лн яет с я , п ос ко ль ку в к ач е ст в е
у к аз ан но го
в ы ше
т о жд ес тв ен ное
г ом ео мо р фи зм а
о то бр аж ени е ;
h
м о жн о
си м ме тр ия
вз ять
о тн ош ен ия
с л ед уе т и з т ог о , ч то об ра тн ы й г ом ео мо рф и зм
у д ов ле тв ор яет
р ав ен ст ву
На кон е ц ,
.
т р ан зи ти вн ост ь о тн ош ен ия
С0
-
э кв ив але н тн ос ти
п р ои зв ед ен ие
вы те к ае т
г о ме о м ор физ м ов
ес ть
из
тог о ,
ч то
го м ео мо рф из м .
В в ед ён но е отн о ше ни е С 0 - эк в ив ал ен т н ост и р аз би ва ет
м н ож ес тв о
4
вс е х
ук аз ан ны х
п ог ру же ни й
на
кл ассы
э к ви ва ле нт нос т и .
Ка жд ы й
э к ви ва ле нт нос т и
та кой
н аз ыв ае т ся
кл ас с
по ве рх н ос ть ю
в
п р ос тр ан ст ве E 3 .
2 . Н ея вн ое за д ан ие п ов ерх н ос ти .
П о ве рх но ст ь ,
з а д анн а я
я в ля ет ся
,
п о ве рх но ст ью ,
ф у нк ци я
о б ла ст и оп р ед е ле ни я
о д но вр ем ен но
гл а дк ой
ре г уля р ной
е сл и
,
не п ре р ы вн о
F
ура в не ни ем
не
ди ф фе ре нц ир уем а
в
св ое й
Ω , а е ё ч ас тн ые п р ои зв од ные
о бр ащ аю т ся
в
ну ль
( ус ло вие
р е гу ля рн ос ти ) н а в сё м м но же с тв е Ω :
3 . П ар ам ет рич е ск ое з ад ани е п ов ер хн ост и .
З а да ди м
по ве р хн ос ть
в ек т ор ны м
ур ав н ением
, и ли , ч то тож е са мо е , тр ем я ур ав не ни ям и в
к о ор ди на та х :
Эта
си ст ема
ур ав не ний
за да ёт
г ла дк ую
р е гу ля рн ую по в ер хн ос ть , ес л и вы по лн ены ус ло ви я :
5

с и ст ем а
о д но зн ач но е
у с та на вл ив ает
с оо тв е тс тви е
м еж д у
вз аи мно
об р аз ом
и
п р оо бр аз ом Ω ;

ф у нк ци и
н е пр ер ыв но
д и фф ер ен ци руе м ы в Ω ;

в ы по лн ен о усл о ви е не вы рож д ен но ст и :
Г е ом ет ри че ски
в е кт ор ы
п ос ле дн ее
о зн а ча ет ,
ч то
н и где н е п ар ал л ель н ы .
П ар а м ет ры
u,
р а сс ма тр ив ать
к о ор ди на ты
Ф и кс ир уя
у с ло ви е
к ак
т о че к
одн у
п о лу ча ем
из
v
м о жно
вну т ре нн ие
пов е рх но ст и .
к оо рди н ат ,
д ва
мы
с ем ей ст ва
к о ор ди на тн ых к ри вы х , п окр ы ва ющ их
п о ве рх но ст ь к о ор ди на тн ой с ет ко й .
Координатная сетка на сфере
4 . Я вн ое з ада н ие п ов ер хно с ти .
П о ве рх но ст ь
S
м ож ет
бы т ь
оп р е де ле н а
как
г р аф ик ф ун кци и z = f ( x ,y ) ; то г да S я вл яет с я гл ад ко й
р е гу ля рн ой
п ов е р хн ост ь ю ,
е сл и
ф ун кц ия
f
д и фф ер ен ци руе м а . Э то т ва ри а нт м ож но р ас с ма тр и в ать
как
ч ас тн ый
с л уч ай
.
6
пар а ме тр ич ес ког о
за да ни я :
С k - по гр уж ен ия
Сk
-
и
эк ви ва ле н тн ым и
н аз ыв аю тс я
(к 1),
д и фф ео мо р ф изм
е с ли
т а ко й ,
з а да нн ом
о т н ош ен ие
Сk
с ущ ест в уе т
ч то
.
Сk
-
П ри
э кв ив ал ен т н о сти
-
я в ля е т ся от но ш ен ие м э кв ив а ле нт но ст и н а м но же стве
С k - п ог ру же ни й об ла ст ей и з E 2 в п ро ст ра н ст во E 3 , т а к
к а к он о ре ф лек с ив но , си м мет р ич но и т р анз и ти вн о .
Г л ад ко й
по ве р хн ос ть ю
кл а сс а
Сk
в
п р ос тр ан ст ве E 3 н аз ыв ае тся к ла сс С k - эк в ив ал ен тн ых
п о гр уж ен ий об л ас те й и з E 2 в пр ос тр ан ств о E 3 .
5 . К ас ат ел ьна я п ло ск ос ть в то чк е по в ерх н о с ти .
К а са те ль на я п л ос ко ст ь в то чке
г л ад ко й
—
пов е рх но ст и
п л ос ко ст ь ,
им е ющ ая
п о ря до к
с о пр ик ос но вен и я
п о ве рх но ст ью
Э к ви ва ле нт ный
в
это
м ак си м ал ьн ый
э т ой
в ар иа нт
с
Касательная плоскость в точке
поверхности.
т о чк е .
оп р ед ел ен ия :
к а са те ль ная
п л ос ко ст ь е ст ь пл ос ко ст ь , с од ер жа ща я к а са те ль ные
к о в се м гл а дк и м к ри вы м , про х од ящ им ч ере з э ту т оч к у .
П у ст ь
гл ад ка я
з а да нн ой п ове р хн ос ти
к ри ва я
на
па ра ме т ри чески
з ада н а в ви де :
.
Н а пр ав ле ни е
в е кт ор :
7
к а са те ль но й к т ак ой кр ив о й д а ё т
О т сю да
ви дно ,
чт о
в се
к а са те ль ны е
ко
вс ем
к р ив ым в д ан н ой то чк е л е жа т в од но й пл ос ко сти ,
с о де рж ащ ей
в е кт ор ы
,
к от ор ые
мы
в ыш е
п р ед по ло жи ли н ез ав ис им ыми .
У р ав не ни е
к а са те ль но й
п ло ск ос ти
в
т оч ке
и ме ет в ид :
( с ме ша нно е
п ро из ве д ение
в е кт ор ов ) .
В
к оо рд ина т ах
ур авн е ни я
к аса т ел ьн ой
п л ос ко ст и д л я р а зн ых с по со б ов з ад ан ия п о ве рх но сти
п р ив ед е н ы в та б ли це :
к а са те ль на я п л ос ко ст ь к
п о ве рх но ст и в то чк е
н е яв но е за дан и е
я в но е за да ние
п а ра ме тр ич еск о
е за да ни е
6 . Н ор ма ль и н о рм ал ьн ое се ч ен ие .
8
В е кт ор ы но рма л и в то чк а х п о ве рх но ст и
О д но й и з ос нов н ых ха ра кт ер и ст ик по ве рх н ос ти
Векторы нормали в точках
поверхности
я в ля ет с я
её
н о рм ал ь
—
е д ин ич ны й
в е кт ор ,
п е рп ен ди ку ляр н ый ка са те ль н ой пл ос ко ст и в за да нн ой
т о чк е :
.
З н ак н ор ма ли з а ви си т о т выб о ра к оо рд ина т .
С е че ни е
п ов е рх но ст и
п л ос ко ст ью ,
с о де рж ащ ей
н о рм ал ь ( в д ан н ой т о чк е ) , об р аз уе т н ек от о ру ю к ри вую
на
по ве рх нос т и ,
с е че ни ем
ко то ра я
по в ер хн ос ти .
н о рм ал ьн ог о
с е че ни я
н а зы ва ет ся
Г л а вн ая
со в па да ет
н о рм ал ьн ым
н о рм ал ь
с
н о рм ал ью
для
к
п о ве рх но ст и ( с то чн ос ть ю д о зн ак а ) .
Е с ли
же
н о рм ал ьн ым
к рив а я
на
с е че ни ем ,
по вер х но ст и
то
её
не
я в ля ет ся
г ла в на я
но рм аль
о б ра зу ет с но р ма ль ю п ов ер х но ст и н ек от о ры й у го л θ .
Т о гд а к ри в изн а k к р и в ой с в яз ан а с к р ив из но й kn
н о рм ал ьн ог о
с е ч ен ия
ф о рм ул ой М ёнь е :
(с
той
же
к а с ат ел ьн ой )
.
К о ор ди на ты ор т а но рм ал и д л я ра зн ых сп о со бо в
з а да ни я по вер х но ст и пр иве д ен ы в та б лиц е :
К о ор ди на ты но р ма ли в т о чке
п о ве рх но ст и
9
н е яв но е за дан и е
я в но е за да ние
п а ра ме тр ич еск о е
з а да ни е
З д ес ь
.
7 . П ер ва я ква д ра ти чн ая фо р ма п ов ер хно с ти .
П е рв ая
ф о рм а
к ва др а ти чн ая
по ве рх н ос ти
―
ф ор м а
ил и
ме тр и че ская
к в ад ра ти чн ая
ф ор ма
от
д и фф ер ен ци ало в ко ор ди на т н а по ве рх нос т и , ко то ра я
о п ре де ля ет
в н ут ре нн юю
о к ре ст но ст и
д ан но й
г е ом ет ри ю
т о чк и .
по в ер хн ос ти
Зн ан и е
в
пе рвой
к в ад ра ти чн ой ф о р мы д ос та то ч но д ля в ыч ис л ен ия д лин
дуг,
уг ло в
м е жд у
к ри вым и ,
п ло ща ди
о б ла ст ей
на
п о ве рх но ст и .
П у ст ь по ве рхн о ст ь за да на у р ав не ни ем r = r ( u , v ) ,
г д е u и v ― вн ут р ен ни е ко орд и на ты н а п ове р хн ос ти ;
dr=rudu+rvdv.
Д и фф ер ен ци ал
н а пр ав ле ни я
р а д иу с - в ек то р а
с м ещ е ни я
из
r
т оч к и
в до ль
в ы б ра н н ог о
в
б ес к он еч но
M
б л из ку ю т оч ку M' . Кв ад рат г ла вн ой л иц е во й ч ас ти
10
п р ир ащ ен ия
д л ин ы
в ы ра ж ае тс я
к вад р ат ом
д и фф ер ен ци ала d r :
и н аз ыв ае тс я п е рв ой ос нов н ой кв ад ра ти ч но й ф ор мой
п о ве рх но ст и .
К оэ фф иц ие нт ы
п ер во й
к в ад ра ти чн ой
ф о рм ы об ыч но о б оз на ча ют че р ез
,
,
.
и л и в те нз о рны х с им во ла х
.
Т е нз ор
н а зы ва етс я
о с но вны м ,
и ли
м е тр и ч ес ки м , т е нз ор ом п ове р хн ос ти .
С в ой ст ва :
П е рв ая
к ва д ра ти чн ая
ф ор ма
я вл яе тся
п о ло жи те ль но о п р ед ел ен ной ф о рм ой в об ы кн ов ен ны х
т о чк ах п ов ерх н ос ти :
EG−F2>0.
8 . В то ра я ква д ра ти чн ая фо р ма п ов ер хно с ти .
П у ст ь
F
-
С2
-
г ла дк а я
п ов ер хно с ть
и
н ек от о р ая е ё п ар ам ет ри зац и я .
В т ор ой
кв адр а ти чн ой
фор м ой
по ве рхн о ст и
н а зы ва ет ся ск а л я рн ое пр ои з ве де ни е I I
в е кт ор
11
н ор ма л и
к
по в ерх н ос ти ,
а
, где
-
F
-
в то рой
д и фф ер ен ци ал
в е кт ор
фу н кц ии
-
.
Так
к ак
то
,
К оэ фф и ци ен ты
II
в т ор ой
к ва др а ти чн ой
ф ор м ы
об оз на чи м
с ле ду ющ им
о б p аз ом :
Т о гд а I I
П о ск ол ьк у
, гд е
E , F, G - к о э ффи ц ие нт ы п ер во й к в ад ра ти чн о й ф ор мы , т о
и м ею т ме ст о сл е ду ющ ие ф орм у лы :
;
;
.
Е с ли п ов ер хно с ть F за да на ур ав не ни ями :
то
ко эф фи ци е нт ы
в то ро й
кв ад ра ти ч но й
,
ф ор мы
в ы чи сл яю тс я п о ф ор му ла м :
,
,
.
П у ст ь п ов ер хн о ст ь F з а дан а яв ны м у рав н ен ием
, где
з а да ющ ая
к ла сс а С 2 . Т о гд а век т ор - фу нк ц ия ,
и ме е т
F,
к о эф фи ци ен ты
ви д
в то ро й
к ва др ат ич н ой
в ы чи сл яю тс я п о ф ор му ла м :
;
12
и
;
ф ор мы
В т ор ая
ква д ра ти чн ая
п о ве рх но с т и
и ме ет
ф о рма
г ео м ет ри че ски й
с м ыс л : г ла вна я ч ас ть ук ло н ен ия
к а са те ль н о й п л ос ко ст и
п о п ов ер хн ост и
б л из ку ю
к в ад ра т и чн ой
п р и см ещ е нии
и з то чк и к ас ан ия
то чк у
вы ра жа ет с я
ф о рм ы .
от
в б е ск он еч но
по ло ви но й
Т а ки м
в торой
о б ра зом ,
.
П у ст ь
г л адк а я по ве р хн ос т ь
н е ко то ра я е ё п а ра ме тр из аци я , и
на
г л ад ка я к р ивая
, вн ут ре нни е у ра вн ен ия к от ор ой
н а ту ра ль ны й п а р а ме тр н а
К р ив ая
з ад а ёт ся
В е кт ор
ме жд у
в е кт ор ом
, где
-
ве кто р
–
к л а с са
.
.
ф у нк ци ей
у г ол
и
явл я ет ся
в ек то р ом
к р ив из ны кр ив о й в д ан н ой т оч к е
-
в е кт ор ом
и
г л а вн ой
н о рм ал и
н ор ма л и
по в ер х н ос ти
к р ив ой .
О т но ш ение
п о ст оя нн о д л я вс ех кр ив ых н а по ве рх но с ти
п р ох од ящ их че р ез т о чк у
ж е н ап ра в ле ни е
О т но ше ни е
,
и и ме ющ и х в н ей од но и т о
( од ну и т у ж е к ас ат ел ь ну ю ) .
н а з ыв а е тс я нор м ал ьн ой к рив и зн ой
п о ве рх но ст и в да нн о й то чк е в да нн ом н а пр ав л е ни и .
13
Н о рм ал ьн ым се ч ен ие м по вер х но ст и
н а зы в а ет ся
л и ни я
п о ве рх но ст и
с
Г,
яв л яю ща яс я
п ло ск ос т ью ,
н о рм ал ь к п ове р хн ос ти в точ к е
п о ве рх но ст и в то чк е
н а пр ав ле ни ем
пр ох о дя щ ей
ч ерез
, Н ор ма льн о е с еч ен ие
ко т ор ое
к ри ви з на
н а пр ав ле ни и
пе р ес еч ен ие м
о пр ед е ля ет ся о дно з на чн о те м
,
Н о рм ал ьн ая
в е ё то ч ке
он о
с од е рж ит .
п ов ер х но ст и
ес ть
с
в
т о чн ос ть ю
да нн ом
до
зн ака
к р ив из на но рм а ль но го се че н ия по ве рх н о с ти в т очке
, им ею ще го в э т ой т оч ке т о ж е н ап ра вле н ие , чт о и
к р ив ая
Р а ве нс т во
.
с о с та в л я ет
с о де рж ан ие те о ре мы М ен ье .
П у ст ь ч ер ез н о рм ал ь к пов е рх но ст и в т о чк е
п р ов ед ен ы
п ло ск ос ти ,
п о ве рх но ст ь
п о н ор ма ль ным се че ни ям
к р ив из ны
ко то рые
пе ре се ка ют
. Но р ма ль ны е
эти х с еч ен ий ме н яю тс я пр и п е ре хо де о т
л и ни и к ли нии , п ри ни ма я н а иб ол ьш ее и н аи ме нь ше е
з н ач ен ия . Н апр а вл е н ия
д а нн ой
т оч ке ,
д о ст иг аю т
в
- гл а дк ой по ве рх н ос ти
ко то рых
э к ст ре му мо в ,
н а зы в а ют ся
н а пр ав ле ни ями по ве рх но сти
н ор ма ль ны х с е че ни й
н а пр а в ле ни ям ,
кр ив из ны
г ла вн ым и
, а н ор ма ль ны е к ри ви зн ы
, с оот в ет ст ву ю щ их э тим
на з ыв аю тся
к р ив из на ми п о в ер хн ос ти
но рм ал ьн ые
гл ав ны ми
в т оч ке
н ор ма ль ны ми
.
9 . П ол на я и ср е дн яя к ри виз н ы по ве рх нос т ей .
14
в
Для
р аз ны х
з а да нн ой
н а пр ав ле ни й
т о чк е
п ове р хн ос ти
п о лу ча ет ся
р а з н ая
н о рм ал ьн ог о
с е ч е ни я ,
н а зы ва ет ся
в
н о рм ал ьн ой
к р ив из на
к от о рая
к р ив из но й ;
Поверхности с отрицательной (слева),
нулевой (в центре) и положительной
(справа) кривизной.
е й п ри п ис ыв ае т ся з н ак п лю с , е сл и г лав н ая н о рм аль
к р ив ой ид ёт в то м ж е н апр а вл ен ии , ч то и но рм ал ь к
п о ве рх но ст и , и л и ми ну с , е сл и н ап ра вл е ни я н ор ма лей
п р от ив оп ол ожн ы .
В о об ще
г ов ор я ,
в
к аж дой
то чк е
п ове р хн ос ти
с у ще ст ву ют дв а пе рп ен ди ку л яр ны х н ап ра в ле ни я e 1 и
e2,
в
к от оры х
н ор ма ль на я
м и ни ма ль но е
и
н а пр ав ле ни я
н аз ыв аю тся
к ри ви зн а
м ак сим а ль но е
п ри ни ма ет
зна ч ен ия ;
гл ав ны ми .
эти
И ск лю че ние
с о ст ав ля ет сл у ча й , к ог д а н ор ма ль на я к р ив из на п о
в с ем н ап ра вле н ия м од ин ако в а ( н ап ри ме р , у сф ер ы и ли
на
то р це
э л ли пс ои да
в р ащ е ни я ) ,
т о гд а
все
н а пр ав ле ни я в то чк е — гл ав н ые .
Н о рм ал ьн ые кр и ви зн ы в гл а вн ых на пр ав л ениях
н а зы ва ют ся гл а вн ым и кр иви з на ми ; о бо зн а чи м и х κ 1 и
κ 2 . В ел ич ин а :
K=κ1κ2
н а зы ва ет ся га у сс ов ой кр ив и зн ой , п ол но й кр ив из ной
или
п ро ст о
т а кж е
к р ив из но й
т ерм и н
по в ер хн ос ти .
с ка ляр
В с тр еч ае тся
к ри ви зны ,
ко то ры й
п о др аз ум ев ает р ез ул ьт ат св ё рт ки те нз ор а кр ив из ны ;
15
п р и э то м с ка ля р кр ив из ны вд в ое бо ль ше , ч е м г ау сс ова
к р ив из на .
Г а ус со ва кр ив и зн а м ож ет б ы ть вы чи сл ен а че рез
м е тр ик у ,
и
в н ут ре нн ей
г л ав ны е
п о э т ом у
она
ге о ме тр ии
к рив и зн ы
о т но ся тс я ) .
к
По
я вл яе тс я
п ове р хн ос те й
( от м ет им ,
чт о
вну т ре нн ей
гео м ет ри и
не
зн а ку
к л ас си фи ци ров а ть
то чк и
кр иви з ны
п о ве рх но сти .
п л ос ко ст и р ав н а н ул ю . Кри в из на
в с юд у
р ав н а
.
об ъе кт ом
мо жно
К ри ви зн а
сф ер ы р а ди ус а R
С ущ ест в уе т
и
по в ер хн ос ть
п о ст оя нн ой от р иц ат ел ьн ой к ри ви зн ы — пс е вд ос фе ра .
1 0 . Ге од ез иче с ки е ли ни и , г е од ез ич ес кая кр ив из на .
К р ив ая
на
г е од ез ич ес кой
по ве рхн о ст и
ли н ие й ,
или
пр о ст о
наз ы ва ет ся
гео д ез ич ес ко й ,
е с ли в о вс ех е ё то чк ах гл а вн ая но рм ал ь к к ри в о й
с о вп ад ае т
с
н ор ма ль ю
к
п ов ер хн ос ти .
Пр им ер :
на
п л ос ко ст и гео д ез ич ес ки ми б у д ут п ря мые и о т р е зк и
п р ям ых , н а сфе р е - бо ль ши е к р уг и и и х отр е зк и .
Э к ви ва ле нт ное
л и ни и
п ро ек ц ия
с о пр ик ас аю щую с я
Е с ли
к ри ва я
оп ре де л ени е :
её
г л ав но й
п ло ск о ст ь
не
ес ть
яв ля ет с я
у
г ео дез и че ск ой
н о рм ал и
н уле в ой
на
ве кт о р .
ге од ез ич е ск ой ,
то
у к аз ан на я про е кц ия н ен уле в ая ; е ё д ли на на зы ва ет ся
16
г е од ез ич ес кой к ри ви зн ой kg к р ив ой н а п о ве рх но ст и .
И м ее т ме ст о со о тн ош ен ие :
,
г д е k - кр ив из н а д ан но й к ри в ой , kn - к рив и зн а е ё
н о рм ал ьн ог о с е че ни я с т ой ж е ка са те л ьно й .
Г е од ез ич ес кие л ин ии от но с ят ся к в ну т ре нней
г е ом ет ри и . Пер е чи сл им и х гл а вн ые с во йст в а .
Ч е ре з
да нн ую
н а пр ав ле ни и
т оч ку
п ро хо ди т
п ов ер х но ст и
о дн а
и
в
за д ан ном
т ол ьк о
одна
г е од ез ич ес кая .
Н а д ос та то чно ма ло м уч аст к е по ве рх нос т и дв е
т о чк и
п р ит ом
вс ег да
мо жн о
со ед и ни ть
г ео де з ич ес ко й ,
т оль к о
о д но й .
П о яс н ен ие :
п р от ив оп ол ожн ы е
по лю са
с ое ди ня ет
на
и
с фе ре
б ес ко не чн ое
к о ли че ст во ме р ид иа но в , а д ве бл из ки е т оч ки мо жно
с о ед ин ит ь н е т ол ьк о от рез к ом б ол ьш ого кр уг а , н о и
его
д оп ол нен и ем
до
по лн о й
о кр у ж нос т и ,
та к
что
о д но зн ач но сть со бл юд ае тся то ль ко в мал о м .
Г е од ез ич ес кая
я вл яе тс я
к р ат ча йш ей .
Б ол ее
с т ро го : н а мал о м ку ск е п ове р хн ос ти к рат ч ай ши й пу ть
м е жд у за да нны м и то чк ам и ле ж ит п о ге о дез и че ск ой .
1 1 . То чк и пов е рх но ст и .
Т о чк и по ве рхн о ст и
,
н аз ы ва ютс я
эл ли пт ич е ск им и .
о к ре ст но ст и
э лл ип ти че ск о й
к а са те ль на я
п л ос ко ст ь
т о чк а по ве рхн о ст и
17
, в ко тор ы х по лн ая к ри в из на
в
то чк и
д а нн ой
и пл оск о ст и .
В
м а ло й
по в ер хн ос ти
т очк е
ле жи т
по
- э лл ип ти че ск а я то чк а
Т о чк и по ве рхн о ст и
Г и пе рб ол ич еск и ми .
, в к от ор ы х
, на зы ва ют ся
м ал ой
о кр ес тн о с ти
В
г и пе рб ол ич еск о й т оч к и п о в е рх но ст и
п л ос ко ст ь
в
.
да нн ой
т о чк е
к а с ат ел ьн ая
пе рес е ка ет
э ту
о к ре ст но ст ь п о па ре кр ивы х , п ер ес ек ающ и хс я в эт ой
т о чк е
по д
о
р а сп ол ож ен а
н ен ул ев ым
по
об е
у гл ом .
с т ор он ы
Э та
о кр ес тн ос ть
от
к а с ат ел ьн ой
п л ос ко ст и в да н но й то чк е и и ме ет в ид сед л а .
- г ип ер бо ли че с ка я то чк а .
Т о чк и по в ер хн о ст и
н а зы ва ют ся
, в к от ор ы х
п а ра б о ли ч ес ки ми .
,
В
п а ра бо ли че ско й т оч ке об ра щ аю тс я в н ул ь и ли од на
г л ав на я
н орм а ль на я
с л уч ае
ма ла я
к рив и зн а
ок ре с т но с ть
и ли
об е .
то чк и
В
п ер вом
и м ее т
вид
п а ра бо ли че ско г о ц ил ин др а . В о вт ор ом сл у ч а е т оч ка
н а зы ва ет ся то ч ко й у пл ощ ен и я . В ма ло й о к ре ст но сти
т о чк и
уп ло ще н ия
п ов ер хн о ст ь
мо же т
и ме ть
с л ож но е ст рое н ие .
- п ар аб ол ич ес к ая т оч ка .
1 2 . Пл ощ ад ь п о ве рх но ст и .
18
о чень
Ещё
о ди н
важ н ый
ат ри бу т
п о ве рх но ст и
—
её
п л ощ ад ь , к о тор а я вы чи сл яет с я п о ф ор м уле :
З д ес ь
.
В ко ор ди на тах по лу ча е м :
я в но е за да ние
п а ра ме тр ич еск о е
з а да ни е
в ы ра
ж е ни
е
для
п л ощ
ади
1 3 . Ор ие нт аци я п ло ск ос ти .
Т а кж е в аж но й х а ра кт ер ис ти кой
п о ве рх но ст и
я вл яе тс я
её
о р ие нт ац ия .
Лента Мёбиуса.
П о ве рх но ст ь
н аз ыва е тся
д в ус то ро нн ей , ес ли н а в се й е ё пр от яжё н но ст и он а
о б ла да ет не пр е ры вн ым ве кт о ро м н ор ма ли . В пр от ив ном
с л уч ае п ов ерх н ос ть н аз ыва ю т од но ст оро н не й .
19
О р ие нт ир ов анн о й
н аз ыв ае т ся
дв ус то р о н няя
п о ве рх но ст ь с вы бр ан ны м на п ра вл ен ие м н о рм ал и .
П р им ер ам и
о дн о ст ор он ни х ,
н е ор ие нт ир уем ы х
п ов ер хно с те й
а
с ле до в ате л ьн о
я вл яют с я
и
б ут ыл к а
К л ей на и ли лен т а Мё би ус а .
С п ис ок л ит ера т ур ы
1.
А т ан ас ян
Л .С . Гу ре ви ч
Г. Б .Г ео ме тр ия, ч . I I
- М. Пр ос ве щен и е, 1 97 6. - 4 4 7 с.
20
2.
Б а ке ль иа н
И .Я .В ыс ш ая
г ео м ет рия.
М . Пр ос ве ще ние , 1 96 7. - 367 с .
3.
Б а ке ль ма н
И .Я .
д и фф ер ен ци аль н ую
И . Я. Ба ке ль ман ,
и
д р. Вв ед ен и е
г ео ме т ри ю
в
А .Л .В ерн е р,
в
ц ел ом
Б .Е .Ка н то р. -
М . :Н ау ка , 197 3 . - 4 40 с .
4.
В а зы ле в
В. Т. . Ду ни че в
К. И .Г ео ме тр ия, ч . I I
- М. Пр ос ве щен и е, 1 97 5. - 3 6 7 с.
5.
И л ьи н
В .А .,
П о зн як
Э .Г .
Ан ал ит иче с ка я
г е ом ет ри я. — М .: Ф ИЗ МА ТЛИ Т , 20 02 . — 2 4 0 с.
6.
К у др яв це в
Л . Д.
К ур с
м ат ем ат иче с к о го
а н ал из а. М .: Д ро фа . — 570 с.
7.
М и ще нк о
А . С,
д и фф ер ен ци аль н ой
Ф оме н ко
г ео ме тр и и
и
А .Т. К ур с
то по л ог ии . -
М . :Н ау ка ,1 983 . - 43 9 с.
8.
П о го ре ло в
А . В ,Д иф фе ре нци а ль ная
г е ом ет ри я. - М . :Н ау ка ,1 969 . - 17 6 с .
9.
П о го ре ло в
А .И .
Д иф фе ре н ци ал ьная
г е ом ет ри я. 6 - е и зд ан ие . — М. : Н а ук а, 1 97 4.
10.
П о го ре ло в
А .В .
Г ео ме т ри я. -
М . :Н ау ка ,1 983 . - 2 88 с .
11.
Р а ше вс ки й
г е ом ет ри и.
—
П.
3-е
К.
Ку рс
д и фф ер ен ци ал ь н ой
из дан и е.
—
М .:
Г И Т ТЛ ,
1 9 50 .
12.
Р о зе нд ор н
д и фф ер ен ци аль н ой
Н а ук а, 19 71 . - 6 4 с.
21
Э . Г.
З а да чи
ге о ме тр ии . -
по
М.: